Cuestionario: Polynômes du second degré et factorisation — 12 preguntas

1. Quelle écriture correspond à un polynôme du second degré ?

A. P(x)=ax^2+bx+c avec a≠0

B. P(x)=a(x-x_1)(x-x_2) avec a=0

C. P(x)=ax^3+bx^2+c avec a≠0

D. P(x)=ax+b avec a≠0

Answer: (A)

Explicación

Un polynôme du second degré s’écrit sous la forme ax^2+bx+c avec a non nul. Si a était nul, il ne resterait plus de terme en x^2.

2. Qu’appelle-t-on une racine d’un polynôme ?

A. Un réel x tel que P(x)=0

B. Le point où la courbe coupe l’axe des ordonnées

C. Une valeur de x qui rend P(x)=1

D. Le coefficient du terme en x^2

Answer: (A)

Explicación

Une racine est précisément une valeur réelle qui annule le polynôme. Les autres propositions décrivent un coefficient, une intersection graphique ou une mauvaise condition.

3. Si x1 est une racine d’un polynôme du second degré, quel facteur doit apparaître dans sa factorisation ?

A. (x^2-x1)

B. (x-a)

C. (x+x1)

D. (x-x1)

Answer: (D)

Explicación

Quand x1 est une racine, le facteur associé est bien (x-x1). C’est la traduction de P(x1)=0 en langage factorisé.

4. Si un polynôme du second degré admet deux racines réelles distinctes x1 et x2, quelle forme factorisée prend-il ?

A. P(x)=a(x+x1)(x+x2)

B. P(x)=x1x2(x-a)

C. P(x)=(x-x1)+(x-x2)

D. P(x)=a(x-x1)(x-x2)

Answer: (D)

Explicación

Avec deux racines réelles distinctes, le polynôme se factorise en produit de deux facteurs linéaires. Le coefficient a reste devant le produit.

5. Pour P(x)=ax^2+bx+c ayant deux racines x1 et x2, quelle relation relie leur somme aux coefficients ?

A. x1+x2=-c/a

B. x1+x2=b/a

C. x1+x2=-b/a

D. x1+x2=c/a

Answer: (C)

Explicación

La somme des racines vaut l’opposé du coefficient de x divisé par celui de x^2. Ici, c’est donc -b/a.

6. Pour P(x)=ax^2+bx+c ayant deux racines x1 et x2, quelle relation relie leur produit aux coefficients ?

A. x1x2=-c/a

B. x1x2=c/a

C. x1x2=b/a

D. x1x2=-b/a

Answer: (B)

Explicación

Le produit des racines est égal au terme constant divisé par le coefficient de x^2. Cela donne c/a.

7. Quelle est l’expression générale de la forme canonique d’un polynôme du second degré ?

A. P(x)=ax^2+bx+c

B. P(x)=a(x+α)^2-βx

C. P(x)=a(x-α)^2+β

D. P(x)=a(x-α)(x-β)

Answer: (C)

Explicación

La forme canonique s’écrit toujours sous la forme a(x-α)^2+β. Elle met en évidence le sommet de la parabole.

8. Quel est le discriminant d’un trinôme ax^2+bx+c ?

A. Δ=4a^2-bc

B. Δ=b^2-4ac

C. Δ=2b-4ac

D. Δ=b^2+4ac

Answer: (B)

Explicación

Le discriminant est défini par Δ=b^2-4ac. C’est lui qui permet ensuite d’étudier le nombre de solutions réelles.

9. Que conclure pour l’équation ax^2+bx+c=0 lorsque le discriminant est négatif ?

A. Elle a deux solutions réelles distinctes

B. Elle a une solution double

C. Elle n’a aucune solution réelle

D. Elle se factorise en carré parfait

Answer: (C)

Explicación

Si Δ<0, il n’existe aucune racine réelle. Les autres cas correspondent à Δ=0 ou Δ>0.

10. Quelle est la formule des deux solutions réelles quand le discriminant est strictement positif ?

A. x1=(b-√Δ)/a et x2=(b+√Δ)/a

B. x1=-b/(2a) et x2=Δ/(2a)

C. x1=(-b-√Δ)/(2a) et x2=(-b+√Δ)/(2a)

D. x1=(-b+Δ)/(2a) et x2=(-b-Δ)/(2a)

Answer: (C)

Explicación

Quand Δ>0, l’équation admet deux solutions réelles distinctes données par les formules avec ±√Δ sur 2a. La solution double n’apparaît que lorsque Δ=0.

11. Quelle forme factorisée convient à un trinôme du second degré lorsque son discriminant est strictement positif ?

A. a(x−x0)^2 avec une racine réelle double

B. (x−r1)(x−r2) sans coefficient a

C. a(x−x1)(x−x2) avec deux racines réelles distinctes

D. a(x−α)^2+β avec β positif

Answer: (C)

Explicación

Lorsque Δ>0, l’équation admet deux racines réelles distinctes et le trinôme se factorise sous la forme a(x−x1)(x−x2). La forme au carré correspond au cas Δ=0, pas au cas Δ>0.

12. Que peut-on conclure sur la factorisation réelle d’un trinôme du second degré lorsque son discriminant est négatif ?

A. Il ne se factorise pas en produit de deux facteurs linéaires réels

B. Il s’écrit forcément a(x−x1)(x−x2) avec x1 et x2 réels

C. Il admet exactement deux racines réelles distinctes

D. Il se factorise en un carré d’un facteur linéaire réel

Answer: (A)

Explicación

Si Δ<0, le trinôme n’a aucune racine réelle et ne peut donc pas être écrit comme produit de deux facteurs linéaires réels. Le cas du carré d’un facteur linéaire correspond au discriminant nul.