Cuestionario: Principes et limites des suites mathématiques — 20 preguntas

1. Que permet de conclure le principe de récurrence lorsqu’une propriété est vraie au rang de départ et héréditaire à partir de ce rang ?

A. Qu’elle est vraie pour tout entier naturel à partir du rang de départ

B. Qu’elle devient vraie dès qu’on a vérifié l’hérédité

C. Qu’elle est vraie uniquement pour les rangs pairs

D. Qu’elle est vraie seulement au rang de départ

Answer: (A)

Explicación

Le principe de récurrence combine l’initialisation et l’hérédité pour établir la propriété pour tous les entiers à partir du rang initial. L’hérédité seule ne suffit pas.

2. Dans un raisonnement par récurrence, à quoi correspond l’hérédité ?

A. À démontrer directement la propriété pour tous les entiers

B. À vérifier la propriété au rang initial

C. À calculer l’expression explicite d’une suite

D. À montrer que P(k) vraie entraîne P(k+1) vraie

Answer: (D)

Explicación

L’hérédité consiste à partir de P(k) vraie pour déduire P(k+1) vraie. L’initialisation, elle, vérifie le premier rang.

3. Quelle étape est indispensable pour démontrer par récurrence une formule explicite d’une suite définie par récurrence ?

A. Vérifier la formule au rang initial puis prouver le passage de k à k+1

B. Comparer la suite à une suite géométrique

C. Résoudre uniquement l’équation de récurrence sans initialisation

D. Montrer seulement que la suite est monotone

Answer: (A)

Explicación

Pour établir une formule explicite, on commence par l’initialisation puis on prouve l’hérédité en utilisant la relation de récurrence. Sans cela, la démonstration n’est pas complète.

4. Quel type de propriété démontre-t-on typiquement par récurrence pour étudier le sens de variation d’une suite ?

A. La valeur exacte de la somme de ses termes

B. Une inégalité du type u_{n+1} ≥ u_n ou u_{n+1} ≤ u_n

C. La convergence de la suite sans autre argument

D. Une égalité entre deux suites quelconques

Answer: (B)

Explicación

La monotonie se prouve souvent par récurrence en établissant une inégalité entre deux termes consécutifs. Cela permet de conclure que la suite est croissante ou décroissante.

5. Pour a>0, quelle inégalité de Bernoulli est valable pour tout entier naturel n ?

A. (1+a)^n ≥ 1+na

B. (1+a)^n ≤ 1+na

C. (1+a)^n ≥ a^n

D. (1+a)^n = 1+na

Answer: (A)

Explicación

L’inégalité de Bernoulli donne une minoration de (1+a)^n par 1+na lorsque a est positif. C’est une borne inférieure classique utilisée en récurrence.

6. Quelle est la première valeur utilisée pour initialiser la démonstration par récurrence de l’inégalité de Bernoulli ?

A. n=1

B. n=2

C. n=0

D. n=a

Answer: (C)

Explicación

L’initialisation se fait au rang n=0, car on obtient alors (1+a)^0=1 et 1+0·a=1. C’est le point de départ de la récurrence.

7. Quand une suite admet-elle pour limite +∞ ?

A. Lorsque ses termes dépassent tout réel donné à partir d’un certain rang

B. Lorsque ses termes oscillent entre deux valeurs

C. Lorsque ses termes deviennent tous nuls

D. Lorsque ses termes se rapprochent d’une valeur finie

Answer: (A)

Explicación

Une limite +∞ signifie qu’à partir d’un certain rang, la suite est au-dessus de n’importe quel réel fixé. C’est une notion de dépassement sans borne supérieure.

8. Quelle affirmation caractérise une suite convergente ?

A. Elle admet une limite finie

B. Elle ne peut pas être bornée

C. Elle admet forcément une limite infinie

D. Elle est nécessairement géométrique

Answer: (A)

Explicación

Une suite convergente possède une limite finie L. Une suite peut être divergente même si elle n’a pas de limite finie.

9. Dans quels cas peut-on additionner directement les limites de deux suites ?

A. Uniquement si les suites sont géométriques

B. Dès qu’une des deux suites diverge

C. Lorsque la somme n’est pas une forme indéterminée

D. Seulement si les deux limites sont nulles

Answer: (C)

Explicación

La limite d’une somme est la somme des limites tant qu’il n’y a pas de forme indéterminée. Si une forme indéterminée apparaît, il faut d’abord la lever.

10. Quelle expression correspond à une forme indéterminée dans le calcul d’une limite ?

A. ∞/∞

B. 5/0

C. 0+∞

D. 1×∞

Answer: (A)

Explicación

Le quotient ∞/∞ est une forme indéterminée, car le rapport dépend des ordres de grandeur. Les autres écritures ne sont pas classées ainsi dans le cours.

11. Quelle est la forme indéterminée associée à une différence de deux grandeurs qui tendent vers l’infini ?

A. 0 × 0

B. ∞ + ∞

C. ∞ − ∞

D. 1/∞

Answer: (C)

Explicación

La différence ∞−∞ est indéterminée, car le résultat dépend des croissances relatives des deux termes. Il faut donc transformer l’expression avant de conclure.

12. Pour lever l’indétermination d’un quotient polynômial quand n tend vers l’infini, quelle méthode est privilégiée ?

A. Remplacer n par sa limite

B. Factoriser par le terme dominant

C. Additionner le numérateur et le dénominateur

D. Prendre la racine carrée des deux membres

Answer: (B)

Explicación

Le cours recommande de factoriser par le monôme de plus haut degré pour comparer les ordres de grandeur. Cette méthode permet de faire apparaître la limite.

13. Quel résultat permet le théorème de comparaison vers +∞ ?

A. Si u_n est bornée, alors v_n est forcément convergente

B. Si u_n ≥ v_n à partir d’un rang et u_n→+∞, alors v_n→+∞

C. Si u_n ≤ v_n à partir d’un rang et u_n→+∞, alors v_n→+∞

D. Si u_n→L et v_n→L, alors v_n→+∞

Answer: (C)

Explicación

Quand une suite minorante tend vers +∞, toute suite plus grande à partir d’un certain rang tend aussi vers +∞. C’est l’idée centrale de la comparaison.

14. Dans le théorème des gendarmes, quelle condition doit vérifier la suite intermédiaire ?

A. Être monotone stricte

B. Être géométrique de raison comprise entre −1 et 1

C. Être toujours positive

D. Être encadrée entre deux suites ayant la même limite

Answer: (D)

Explicación

Le théorème des gendarmes s’applique lorsque la suite du milieu est coincée entre deux suites qui convergent vers la même limite. On en déduit alors la même limite pour la suite intermédiaire.

15. Quelle condition suffit, avec la monotonie, pour garantir la convergence d’une suite ?

A. Être strictement positive

B. Être définie par récurrence

C. Être bornée

D. Être géométrique

Answer: (C)

Explicación

Le théorème de convergence monotone affirme qu’une suite monotone et bornée converge. La bornitude complète la monotonie.

16. Que conclut-on d’une suite croissante qui n’est pas majorée ?

A. Elle tend vers +∞

B. Elle tend vers −∞

C. Elle est forcément constante

D. Elle converge forcément

Answer: (A)

Explicación

Le cours donne comme corollaire qu’une suite croissante non majorée diverge vers +∞. C’est l’extension naturelle du théorème de convergence monotone.

17. Quelle relation définit une suite géométrique de raison q ?

A. u_{n+1}=u_n−q

B. u_{n+1}=u_n/q

C. u_{n+1}=q·u_n

D. u_{n+1}=u_n+q

Answer: (C)

Explicación

Une suite géométrique est obtenue en multipliant chaque terme par une raison constante q. La relation de récurrence s’écrit donc u_{n+1}=q·u_n.

18. Si |q|<1, quel est le comportement d’une suite géométrique ?

A. Elle n’a pas de limite

B. Elle tend vers 0

C. Elle tend vers +∞

D. Elle devient constante

Answer: (B)

Explicación

Quand la valeur absolue de q est strictement inférieure à 1, les puissances q^n s’annulent à l’infini. La suite géométrique tend donc vers 0.

19. Quelle formule donne la somme 1+q+q^2+…+q^n lorsque q≠1 ?

A. q^{n+1}−1

B. (1+q^{n+1})/(1+q)

C. (1−q^{n+1})/(1−q)

D. (1−q^n)/q

Answer: (C)

Explicación

La somme géométrique s’écrit (1−q^{n+1})/(1−q) pour q différent de 1. Cette condition évite une division par zéro.

20. Que faut-il étudier pour connaître la limite d’une somme géométrique à l’infini ?

A. La dérivée de la somme

B. La valeur de u_0 seulement

C. Le signe de n

D. La limite de q^n

Answer: (D)

Explicación

À l’infini, le comportement de la somme dépend de q^n : si |q|<1, alors q^n→0 et la somme converge. C’est donc la puissance q^n qui décide du résultat.