Initialisation : étape où l’on vérifie que la propriété est vraie pour la première valeur de n (souvent n=1). Elle sert de point de départ au raisonnement par récurrence.
Hérédité : étape où l’on suppose que la propriété est vraie pour un rang n donné, puis on montre qu’elle l’est aussi pour le rang suivant n+1. Elle établit la transmission de la propriété d’un rang à l’autre.
Conclusion du raisonnement par récurrence : étape finale qui, en combinant l’initialisation et l’hérédité, permet d’affirmer que la propriété est vraie pour tout entier naturel n à partir du premier rang, selon le principe de l’effet domino.
Propriété vraie pour tout entier naturel : affirmation démontrée par le raisonnement par récurrence, valable pour tous les n ≥ 1, grâce à la validité initiale et à l’héritage.
Raisonnement par récurrence : méthode rigoureuse permettant de prouver qu’une propriété est vraie pour tous les entiers naturels en suivant trois étapes : initialisation, hérédité, conclusion.
1. Qu'est-ce que le principe du raisonnement par récurrence ?
2. Quelle est la conséquence principale de la validation des étapes d'initialisation et d'hérédité dans un raisonnement par récurrence ?
3. Comment peut-on appliquer le théorème de comparaison pour déterminer la limite d'une suite ?
Principe du raisonnement par récurrence
Méthode pour prouver une propriété pour tous n.
Initialisation — rôle ?
Vérifier la propriété pour n=1.
Hérédité — étape clé ?
Montrer que propriété vraie pour n implique n+1.
Conclusion du raisonnement
Propriété vraie pour tout n ≥ 1.
Suite définie par récurrence
Termes déterminés par relation impliquant termes précédents.
Suite majorée — définition ?
Existe M tel que uₙ ≤ M pour tout n.
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