Cuestionario: Probabilités conditionnelles et indépendance — 8 preguntas

1. Quelle formule permet de calculer la probabilité de B sachant A lorsque p(A) est non nulle ?

A. pA(B) = p(A) × p(B)

B. pA(B) = p(A∩B) / p(A)

C. pA(B) = p(A) / p(A∩B)

D. pA(B) = p(A∩B) + p(A)

Answer: (B)

Explicación

La probabilité conditionnelle de B sachant A se définit par le rapport entre la probabilité de l’intersection et celle de A. On doit donc diviser par p(A), et non multiplier les probabilités.

2. Quelle relation relie la probabilité de B sachant A à celle de son complément sachant A ?

A. pA(B) = 1 + pA(B̅)

B. pA(B) = pA(B̅) − 1

C. pA(B) = p(B) − p(A)

D. pA(B) = 1 − pA(B̅)

Answer: (D)

Explicación

Comme B et son complément B̅ couvrent tous les cas possibles sous la condition A, leurs probabilités conditionnelles se complètent à 1. La formule correcte est donc pA(B) = 1 − pA(B̅).

3. Qu’appelle-t-on une famille complète d’événements ?

A. Des événements qui se recouvrent tous partiellement et forment Ω

B. Des événements deux à deux disjoints dont la réunion est l’univers Ω

C. Des événements indépendants dont les probabilités sont égales

D. Des événements disjoints dont la réunion est forcément vide

Answer: (B)

Explicación

Une famille complète est constituée d’événements incompatibles deux à deux et dont la réunion couvre tout l’univers. C’est cette propriété qui permet ensuite d’utiliser les probabilités totales.

4. Quelle formule correspond à la décomposition de la probabilité de B avec un événement A et son complément ?

A. p(B) = p(B∩A) × p(B∩A̅)

B. p(B) = pA(B) + pA̅(B)

C. p(B) = p(B∩A) + p(B∩A̅)

D. p(B) = p(A) + p(A̅)

Answer: (C)

Explicación

On découpe B en deux cas exclusifs, celui où A est réalisé et celui où A ne l’est pas. La probabilité de B est donc la somme des deux intersections correspondantes.

5. Dans un arbre pondéré, comment calcule-t-on la probabilité d’un chemin ?

A. En soustrayant les probabilités des branches successives

B. En prenant la plus grande probabilité des branches

C. En additionnant les probabilités des branches successives

D. En multipliant les probabilités des branches successives

Answer: (D)

Explicación

La probabilité d’un chemin est le produit des probabilités portées par les branches qui le composent. Additionner les branches est une erreur fréquente.

6. Que doit vérifier la somme des probabilités des branches issues d’un même nœud ?

A. Elle vaut 0

B. Elle vaut 1

C. Elle dépend du nombre de sommets de l’arbre

D. Elle vaut la probabilité du nœud précédent

Answer: (B)

Explicación

À partir d’un même nœud, toutes les branches représentent des choix possibles qui couvrent le cas en cours, donc leurs probabilités totalisent 1. C’est un repère essentiel pour construire un arbre pondéré.

7. Quel critère caractérise l’indépendance de deux événements A et B ?

A. p(A∩B) = p(A) + p(B)

B. p(A∪B) = p(A) × p(B)

C. p(A∩B) = p(A) × p(B)

D. p(A|B) = p(A) + p(B)

Answer: (C)

Explicación

Deux événements sont indépendants si et seulement si la probabilité de leur intersection est égale au produit de leurs probabilités. C’est le test direct d’indépendance donné dans le cours.

8. Si A et B sont indépendants, quelle propriété supplémentaire est vraie ?

A. B est indépendant de A

B. p(A∩B) = p(A) + p(B)

C. A et B sont forcément incompatibles

D. A devient impossible

Answer: (A)

Explicación

L’indépendance est symétrique : si A est indépendant de B, alors B est aussi indépendant de A. Les autres propositions confondent indépendance et incompatibilité ou utilisent une mauvaise formule.