Hoja de repaso: Révisions de mathématiques de Première

📋 Plan du Cours

1. Suites numériques
2. Suites arithmétiques et géométriques
3. Fonctions du second degré
4. Dérivation et tangentes
5. Variations et courbes
6. Fonction exponentielle
7. Trigonométrie, vecteurs et géométrie
8. Géométrie repérée et paraboles
9. Probabilités conditionnelles
10. Variables aléatoires discrètes
11. Fonctions et dérivation
12. Exponentielle et logarithme
13. Trigonométrie et produit scalaire
14. Orthogonalité sur une parabole
15. Droites et distances
16. Distances, milieux et aires
17. Intersections et tangentes
18. Cercle circonscrit

📖 1. Suites numériques

🔑 Notions clés & Définitions

• Suite numérique : Une liste ordonnée de nombres qui associe à tout entier n, à partir d’un certain rang, un nombre réel noté u_n.
• Sens de variation : Une suite est croissante si u_{n+1}≥u_n, décroissante si u_{n+1}≤u_n, strictement croissante si u_{n+1}>u_n, strictement décroissante si u_{n+1}<u_n et constante si u_{n+1}=u_n à partir d’un certain rang.

★ À maîtriser

• Une suite est définie explicitement lorsque u_n est exprimé directement en fonction de n, tandis qu’elle est définie par récurrence lorsque l’on donne un terme initial et une relation exprimant u_{n+1} en fonction de u_n.

• Une suite est convergente si elle admet une limite finie lorsque n tend vers +∞, et divergente si elle n’admet pas de limite finie, notamment lorsqu’elle tend vers +∞, vers −∞ ou oscille.

• Une suite est arithmétique lorsque $u_{n+1}-u_n$ est constant et géométrique lorsque $\frac{u_{n+1}}{u_n}$ est constant avec des termes non nuls.

📐 Formule — Une suite arithmétique vérifie $u_n=u_0+nr$, tandis qu’une suite géométrique vérifie $u_n=u_0q^n$.

• Pour étudier le sens de variation d’une suite, on étudie le signe de $u_{n+1}-u_n$ ; une différence positive donne une suite croissante et une différence négative une suite décroissante.

• La démonstration par récurrence comporte une initialisation, une hypothèse de récurrence et une hérédité permettant de conclure que la propriété est vraie pour tout entier naturel.

Compléments

• Une démonstration par récurrence comporte une initialisation au rang initial, une hérédité montrant que la propriété au rang n entraîne celle au rang n+1, puis une conclusion valable pour tout n≥n_0.

📐 Formule — Pour la suite définie par $u_n=2^n+3n$, on a $u_{n+1}-u_n=2^n+3>0$, donc la suite est strictement croissante et tend vers $+\infty$.

📖 2. Suites arithmétiques et géométriques

🔑 Notions clés & Définitions

• Suite arithmétique : Vérifie u_{n+1}=u_n+r, où r est sa raison, et son terme général est u_n=u_p+(n-p)r.
• Suite géométrique : Vérifie u_{n+1}=u_nq, où q est sa raison, et son terme général est u_n=u_pq^{n-p}.

★ À maîtriser

📐 Formule — La somme des termes d’une suite arithmétique vérifie $\sum_{k=0}^{N}u_k=\frac{N+1}{2}(u_0+u_N)$.

📐 Formule — Pour q≠1, la somme des termes d’une suite géométrique vérifie $\sum_{k=0}^{N}u_k=u_0\frac{1-q^{N+1}}{1-q}$.

Compléments

• Une suite arithmétique est croissante si r>0, décroissante si r<0 et constante si r=0 ; elle tend respectivement vers +∞, −∞ ou u_0.

• Une suite géométrique converge vers 0 lorsque |q|<1, tend vers une infinité selon le signe de u_0 lorsque q>1, est constante lorsque q=1 et oscille entre u_0 et −u_0 lorsque q=−1.

💡 Astuce mémo

Arithmétique = addition constante ; géométrique = multiplication constante

📖 3. Fonctions du second degré

🔑 Notions clés & Définitions

• Polynôme du second degré : Une fonction définie sur ℝ de la forme f(x)=ax²+bx+c avec a≠0.

★ À maîtriser

📐 Formule — La forme canonique est $f(x)=a(x-\alpha)^2+\beta$ avec $\alpha=-\frac{b}{2a}$ et $\beta=\frac{b^2-4ac}{4a}$.

📐 Formule — Le discriminant de l’équation ax²+bx+c=0 est $\Delta=b^2-4ac$.

📌 Si Δ<0, l’équation du second degré n’a aucune solution réelle ; si Δ=0, elle a une solution réelle double x_0=−b/(2a) ; si Δ>0, elle a deux solutions réelles x_1=(−b−√Δ)/(2a) et x_2=(−b+√Δ)/(2a).

• Pour a>0, la parabole est décroissante puis croissante et possède un minimum ; pour a<0, elle est croissante puis décroissante et possède un maximum.

Compléments

• Pour le bénéfice B(x)=−2x²+20x−32, le bénéfice maximal est atteint au sommet de la parabole, donc pour x=5 centaines d’objets, et vaut 18 milliers d’euros.

📖 4. Dérivation et tangentes

🔑 Notions clés & Définitions

• Dérivée : De f en a est définie par $f'(a)=\lim_{h\to0}\frac{f(a+h)-f(a)}{h}$ lorsqu’elle existe.
• Tangente : À la courbe de f au point A(a,f(a)) est la droite de coefficient directeur f'(a) et d’équation y=f'(a)(x-a)+f(a).

★ À maîtriser

• Les dérivées usuelles comprennent (x^n)'=nx^{n−1}, (e^x)'=e^x, (sin x)'=cos x et (cos x)'=−sin x.

📌 La dérivée d’un produit vérifie (fg)'=f'g+fg', tandis que celle d’un quotient vérifie (f/g)'=(f'g−fg')/g² lorsque g ne s’annule pas.

Compléments

• Pour étudier les variations d’une fonction dérivable, on calcule sa dérivée, on étudie son signe, puis on en déduit les intervalles de croissance et de décroissance.

📖 5. Variations et courbes

🔑 Notions clés & Définitions

• Point critique : Un point où la dérivée s’annule ou n’existe pas.

★ À maîtriser

• Sur un intervalle I, f'(x)>0 implique que f est strictement croissante, f'(x)<0 implique que f est strictement décroissante et f'(x)=0 implique que f est constante.

• Si la dérivée change de signe de + vers − en a, f(a) est un maximum local ; si elle change de − vers +, f(a) est un minimum local ; si elle ne change pas de signe, il n’y a pas d’extremum local.

Compléments

📌 Pour comparer deux courbes, on étudie le signe de la différence de leurs fonctions ; lorsque cette différence est nulle, les courbes se coupent.

📖 6. Fonction exponentielle

🔑 Notions clés & Définitions

• Fonction exponentielle : L’unique fonction f telle que f'(x)=f(x) pour tout réel x et f(0)=1.

★ À maîtriser

• La fonction exponentielle est définie sur ℝ, strictement croissante, strictement positive, tend vers +∞ en +∞ et tend vers 0 en −∞.

📐 Formule — Les propriétés algébriques fondamentales sont $e^{a+b}=e^ae^b$, $e^{-a}=\frac1{e^a}$ et $e^{a-b}=\frac{e^a}{e^b}$.

• Pour tous réels a et b, e^a=e^b équivaut à a=b et e^a<e^b équivaut à a<b.

Compléments

• Pour résoudre une équation comportant e^x, on peut poser X=e^x, avec X>0, puis résoudre l’équation obtenue en X.

📖 7. Trigonométrie, vecteurs et géométrie

🔑 Notions clés & Définitions

• Cercle trigonométrique : Le cercle de centre O et de rayon 1 dans un repère orthonormé, et le radian mesure un angle par la longueur de l’arc intercepté.

★ À maîtriser

• Sur le cercle trigonométrique, le point associé à l’angle θ a pour coordonnées (cos θ,sin θ), avec cos θ comme abscisse et sin θ comme ordonnée.

📐 Formule — Les fonctions trigonométriques vérifient $\cos^2(x)+\sin^2(x)=1$, $\sin(x+2\pi)=\sin x$ et $\cos(x+2\pi)=\cos x$.

📐 Formule — Les dérivées usuelles sont $(\sin x)'=\cos x$ et $(\cos x)'=-\sin x$.

📐 Formule — Pour un vecteur de coordonnées (x,y), sa norme vérifie $\|\vec u\|=\sqrt{x^2+y^2}$ et, pour A(x_A,y_A) et B(x_B,y_B), $\overrightarrow{AB}=(x_B-x_A,y_B-y_A)$.

📐 Formule — Le produit scalaire vérifie $\vec u\cdot\vec v=x_ux_v+y_uy_v=\|\vec u\|\|\vec v\|\cos(\theta)$.

📌 Deux vecteurs sont orthogonaux si et seulement si leur produit scalaire est nul, c’est-à-dire $\vec u\perp\vec v\Longleftrightarrow\vec u\cdot\vec v=0$.

Compléments

• Le sinus est impair, car sin(−x)=−sin x, tandis que le cosinus est pair, car cos(−x)=cos x.

📐 Formule — La distance entre A(x_A,y_A) et B(x_B,y_B) est $AB=\sqrt{(x_B-x_A)^2+(y_B-y_A)^2}$, et la distance de M(x_M,y_M) à ax+by+c=0 est $d(M,D)=\frac{|ax_M+by_M+c|}{\sqrt{a^2+b^2}}$.

💡 Astuce mémo

Coordonnées pour calculer ; cercle pour visualiser

📖 8. Géométrie repérée et paraboles

★ À maîtriser

📐 Formule — La forme canonique d’un trinôme du second degré s’écrit $f(x)=a(x-h)^2+k$, où le sommet de la parabole est le point $(h,k)$ et son axe de symétrie est la droite $x=h$.

• Si le coefficient $a$ d’une fonction quadratique est positif, la parabole est ouverte vers le haut et possède un minimum ; s’il est négatif, elle est ouverte vers le bas et possède un maximum.

📐 Formule — Pour la fonction $f_m(x)=x^2-2mx+m^2-1$, on a $f_m(x)=(x-m)^2-1$ ; son sommet est donc $(m,-1)$ et ses racines sont $m-1$ et $m+1$.

• Pour déterminer les intersections d’une parabole et d’une droite, on égalise leurs expressions de $y$, on résout l’équation obtenue et on interprète le nombre de solutions comme le nombre de points d’intersection.

Compléments

• Dans un triangle inscrit dans un cercle dont le diamètre est un côté, placer le centre à l’origine permet d’utiliser l’équation du cercle, d’exprimer la hauteur, puis d’optimiser l’aire en fonction d’une seule variable.

📖 9. Probabilités conditionnelles

🔑 Notions clés & Définitions

• Probabilité conditionnelle : De $B$ sachant $A$, notée $P_A(B)$, est définie par $P_A(B)=\frac{P(A\cap B)}{P(A)}$ lorsque $P(A)\ne0$.

📝 Points essentiels

📐 Formule — La relation fondamentale des probabilités conditionnelles est $P(A\cap B)=P(A)\times P_A(B)$.

📐 Formule — Si $(A_1,\ldots,A_n)$ est une partition de l’univers, alors $P(B)=\sum_{i=1}^{n}P(A_i)P_{A_i}(B)$ ; dans le cas de $A$ et de son complémentaire, $P(B)=P(A)P_A(B)+P(\overline A)P_{\overline A}(B)$.

📐 Formule — Deux événements $A$ et $B$ sont indépendants si et seulement si $P(A\cap B)=P(A)P(B)$, ce qui équivaut à $P_A(B)=P(B)$ lorsque $P(A)\ne0$.

📐 Formule — La formule de Bayes s’écrit $P_B(A)=\frac{P(A)P_A(B)}{P(B)}$.

📖 10. Variables aléatoires discrètes

🔑 Notions clés & Définitions

• Variable aléatoire : $X$ est une fonction qui associe un nombre réel $X(\omega)$ à chaque issue $\omega$ d’une expérience aléatoire.

★ À maîtriser

📐 Formule — La loi de probabilité d’une variable aléatoire donne ses valeurs possibles et leurs probabilités, dont la somme vérifie $\sum_iP(X=x_i)=1$.

📐 Formule — L’espérance d’une variable aléatoire discrète est $E(X)=\sum_i x_iP(X=x_i)$ et vérifie $E(aX+b)=aE(X)+b$ ainsi que $E(X+Y)=E(X)+E(Y)$.

📐 Formule — La variance et l’écart-type sont définis par $V(X)=E[(X-E(X))^2]=E(X^2)-[E(X)]^2$ et $\sigma(X)=\sqrt{V(X)}$.

Compléments

📐 Formule — Les propriétés de variance sont $V(X+b)=V(X)$ et $V(aX+b)=a^2V(X)$.

📖 11. Fonctions et dérivation

★ À maîtriser

📐 Formule — La dérivée de la fonction $f(x)=-2x^2+4x+1$ est $f'(x)=-4x+4$, et sa forme canonique est $f(x)=-2(x-1)^2+3$.

📐 Formule — La tangente à la courbe de $f$ au point d’abscisse $a$ a pour équation $y=f'(a)(x-a)+f(a)$.

• Pour étudier les variations d’une fonction dérivable, on détermine les zéros de sa dérivée, on établit son signe et on en déduit les intervalles de croissance et de décroissance.

Compléments

• Pour maximiser l’aire d’un rectangle contre un mur avec 100 mètres de clôture, la contrainte est $2x+y=100$, l’aire est $A(x)=100x-2x^2$ et le maximum est atteint pour $x=25$, $y=50$ et $A=1250\ \mathrm{m^2}$.

📖 12. Exponentielle et logarithme

★ À maîtriser

📐 Formule — Pour une population modélisée par $P(t)=50000e^{0{,}0191t}$, on a $P'(t)=0{,}0191P(t)$, donc la population est strictement croissante.

📐 Formule — Pour tout réel $x$, on a $e^x\ge 1+x$, et pour tout réel strictement positif $x$, on a $\ln(x)\le x-1$.

Compléments

📐 Formule — La fonction $f(x)=(2x-1)e^x$ a pour dérivée $f'(x)=(2x+1)e^x$ et atteint son minimum en $x=-\frac12$.

💡 Astuce mémo

Exponentielle : croissance ; logarithme : fonction inverse

📖 13. Trigonométrie et produit scalaire

📝 Points essentiels

📐 Formule — Toute fonction $a\sin(x)+b\cos(x)$ peut s’écrire $R\sin(x+\varphi)$ avec $R=\sqrt{a^2+b^2}$.

• La suite définie par $u_n=\frac{n\pi}{4}$ vérifie $\sin(u_{n+8})=\sin(u_n)$ ; la suite $(\sin(u_n))$ est donc périodique de période $8$.

📐 Formule — Pour $f(x)=\sin(x)+\sqrt3\cos(x)=2\sin\left(x+\frac\pi3\right)$, l’ensemble image est $[-2{,}2]$.

📖 14. Orthogonalité sur une parabole

★ À maîtriser

• Pour un point M(t,t^2-2t+3) de la parabole, les vecteurs sont $\overrightarrow{MA}=(-t,-t^2+2t)$ et $\overrightarrow{MB}=(2-t,-t^2+2t)$ pour A(0,3) et B(2,3).

📐 Formule — Le produit scalaire vérifie $\overrightarrow{MA}\cdot\overrightarrow{MB}=t^4-4t^3+5t^2-2t=t(t-1)^2(t-2).$

📌 Les vecteurs $\overrightarrow{MA}$ et $\overrightarrow{MB}$ sont orthogonaux si et seulement si leur produit scalaire est nul.

• Les points correspondants sont A(0,3), M_1(1,2) et B(2,3), et M_1 est le sommet de la parabole.

Compléments

• Les valeurs solutions sont t=0, t=1 et t=2, avec t=1 comme racine double.

📖 15. Droites et distances

🔑 Notions clés & Définitions

• Vecteur directeur : D'une droite d'équation ax+by+c=0 est orthogonal à son vecteur normal (a,b).

★ À maîtriser

📐 Formule — Pour la droite ax+by+c=0 et le point M(x_0,y_0), la distance vaut $d(M,D)=\frac{|ax_0+by_0+c|}{\sqrt{a^2+b^2}}.$

• La droite perpendiculaire à D passant par A(1,4) a pour équation 3x-2y+5=0.

Compléments

• Pour la droite 2x+3y-6=0, un vecteur directeur est (3,-2), car (2,3)·(3,-2)=0.

• La distance de A(1,4) à D:2x+3y-6=0 est $d(A,D)=\frac{8}{\sqrt{13}}=\frac{8\sqrt{13}}{13}\approx2{,}22.$

📖 16. Distances, milieux et aires

★ À maîtriser

📐 Formule — La distance entre A(x_A,y_A) et B(x_B,y_B) est $AB=\sqrt{(x_B-x_A)^2+(y_B-y_A)^2}.$

📐 Formule — Le milieu I de [AB] a pour coordonnées $I\left(\frac{x_A+x_B}{2},\frac{y_A+y_B}{2}\right).$

• L'aire du triangle ABC vaut $\frac12|x_A(y_B-y_C)+x_B(y_C-y_A)+x_C(y_A-y_B)|.$

Compléments

• Pour A(2,-1), B(5,3) et C(-1,2), on obtient AB=5, AC=3\sqrt2 et BC=\sqrt{37}.

• Le milieu de A(2,-1) et B(5,3) est I(3,5;1).

• Pour A(2,-1), B(5,3) et C(-1,2), l'aire du triangle ABC vaut 10,5.

📖 17. Intersections et tangentes

★ À maîtriser

• Pour trouver l'intersection de y=x^2-2x+1 et y=2x-3, on obtient (x-2)^2=0, donc l'unique point d'intersection est (2,1).

📌 Lorsque le discriminant de l'équation d'intersection entre une droite et une parabole est nul, la droite est tangente à la parabole.

• La droite y=2x+m est tangente à la parabole lorsque m=-3.

Compléments

📐 Formule — Pour la droite y=2x+m et la parabole y=x^2-2x+1, le discriminant vaut $\Delta=12+4m$.

• La tangente à y=x^2-2x+1 au point d'abscisse 1 est la droite horizontale y=0, au point (1,0).

📖 18. Cercle circonscrit

🔑 Notions clés & Définitions

• Espérance : D'une variable aléatoire est la moyenne pondérée de ses valeurs par leurs probabilités.

★ À maîtriser

• Pour A(2,3), B(6,-1) et C(-2,-1), les milieux de [AB] et [AC] sont respectivement (4,1) et (0,1), puis l'intersection de leurs médiatrices donne le centre O(2,3).

📐 Formule — Le rayon du cercle circonscrit est $R=OB=4\sqrt2$, donc $R^2=32$.

📐 Formule — L'équation du cercle circonscrit est $(x-2)^2+(y-3)^2=32,$ soit $x^2+y^2-4x-6y-19=0.$

📐 Formule — La probabilité que la seconde boule soit rouge est $\frac35\times\frac57+\frac25\times\frac12=\frac{22}{35}.$

📐 Formule — Si 20 % des bactéries meurent puis que les survivantes doublent, la suite vérifie $p_{n+1}=1{,}6p_n.$

• La suite géométrique de raison 1,6 est strictement croissante et diverge vers +∞.

📐 Formule — Pour une réussite de probabilité 1/4 à chaque essai, la probabilité de réussir au n-ième essai est $P(X=n)=\left(\frac34\right)^{n-1}\frac14.$

📐 Formule — Pour un gain de 3 € avec pile et de -1 € avec face, équiprobables, $E(X)=3\times\frac12+(-1)\times\frac12=1.$

📐 Formule — Pour la loi uniforme continue sur [99,5;100,5], $E(X)=100$ et $V(X)=\frac{(100{,}5-99{,}5)^2}{12}=\frac1{12}\approx0{,}083.$

Compléments

• Les médiatrices obtenues sont x+y=5 et -x+y=1.

• Avec p_0=1, les trois premiers termes sont p_1=1,6, p_2=2,56 et p_3=4,096.

• La probabilité d'échouer les trois premiers essais est $P(X>3)=\left(\frac34\right)^3=\frac{27}{64},$ et l'espérance du nombre d'essais vaut $E(X)=4.$

📐 Formule — Dans le jeu où le premier 6 apparaît au n-ième lancer et rapporte 2^n euros, $P(X=2^n)=\left(\frac56\right)^{n-1}\frac16.$

• Dans l'approximation uniforme de [99,5;100,5] par dix valeurs équiprobables, l'espérance vaut 100.

• En subdivisant l'intervalle en 100 parties au lieu de 10, l'approximation discrète se rapproche davantage de la loi uniforme continue.

📊 Tableaux de synthèse

Suites arithmétiques et géométriques

Propriété	Arithmétique	Géométrique
Relation	u_{n+1}=u_n+r	u_{n+1}=qu_n
Terme général	u_n=u_p+(n-p)r	u_n=u_pq^{n-p}
Variation	Selon le signe de r	Selon la valeur de q

Types de suites

Type	Critère	Expression
Arithmétique	Différence constante $r$	$u_n=u_0+nr$
Géométrique	Rapport constant $q$	$u_n=u_0q^n$