Hoja de repaso: Transferts thermiques en écoulements confinés

📋 Plan du Cours

1. Convection et conduction dans les transferts thermiques
2. Écoulement interne et externe
3. Approches théorique et phénoménologique de la convection
4. Loi de Newton du flux convectif et coefficients
5. Types d’écoulement et couche limite hydrodynamique
6. Couche limite thermique et relation avec h
7. Évaluation de h par nombres adimensionnels
8. Convection forcée sur plaque plane laminaire et turbulent
9. Convection forcée sur cylindre et sphère
10. Convection forcée en écoulement intérieur tubes

📖 1. Convection et conduction dans les transferts thermiques

🔑 Notions clés & Définitions

• Convection : La convection est un transfert thermique qui se produit quand un fluide est en mouvement, grâce au transport de matière chaud et froid.
• Conduction : La conduction est un transfert thermique qui se fait par contact au sein d’un milieu matériel, sans mouvement global du fluide.
• Convection forcée : La convection forcée correspond à un écoulement imposé par des moyens mécaniques externes comme une pompe ou un ventilateur.
• Convection naturelle : La convection naturelle est un mouvement du fluide dû à un phénomène naturel, notamment la poussée d’Archimède liée aux différences de densité.
• Conduction dans un fluide : La conduction dans un fluide est le cas limite où le fluide est au repos, donc sans mouvement de masse.

📝 Points essentiels

• Le transfert par convection nécessite un fluide en mouvement, tandis que la conduction peut exister même sans mouvement global du fluide.
• Dans un solide, le transfert de chaleur se fait toujours par conduction car les positions des particules restent globalement fixes.
• Dans un liquide ou un gaz, le transfert peut être par conduction ou par convection selon l’existence d’un mouvement de masse du fluide.
• Le transfert par convection dans un fluide apparaît en présence d’un mouvement global, et la conduction domine en l’absence de ce mouvement.
• La convection est plus efficace que la conduction car le mouvement du fluide renouvelle le contact entre zones chaudes et zones froides, ce qui augmente localement les échanges par conduction.
• Plus la vitesse du fluide augmente, plus le taux de transfert thermique par convection augmente.

💡 Astuce mémo

Convection = fluide qui bouge (pompe/vent ou Archimède) ; Conduction = fluide immobile (repos) ; Solide = toujours conduction.

📖 2. Écoulement interne et externe

🔑 Notions clés & Définitions

• Écoulement externe : Un écoulement externe se produit quand le fluide s’écoule sur une surface sans être entièrement enfermé par des parois solides.
• Écoulement interne : Un écoulement interne se produit quand le fluide est entièrement entouré par des surfaces solides, par exemple dans un tuyau.
• Convection forcée : La convection forcée correspond à un transfert thermique dû au mouvement imposé du fluide, par exemple par une vitesse d’écoulement.
• Convection libre : La convection libre correspond à un transfert thermique dû au mouvement du fluide créé par les différences de densité liées à la température.

📝 Points essentiels

• Un écoulement est dit externe si le fluide n’est pas confiné dans une géométrie fermée, comme sur une plaque ou un fil.
• Un écoulement est dit interne si le fluide est complètement entouré par des surfaces solides, comme dans un tuyau.
• En convection, le transfert thermique augmente avec la vitesse du fluide.
• Le transfert par convection est généralement beaucoup plus élevé que le transfert par conduction dans un fluide en mouvement.
• La convection nécessite l’existence d’un mouvement de fluide, contrairement à la conduction seule.
• La convection peut être forcée (mouvement imposé) ou libre (mouvement dû aux effets thermiques).

💡 Astuce mémo

Interne = Intérieur du tuyau (fluide entouré) ; Externe = Extérieur sur une surface (fluide non confiné).

📖 3. Approches théorique et phénoménologique de la convection

🔑 Notions clés & Définitions

• Approche phénoménologique : Approche fondée sur des lois empiriques issues de l’expérience pour modéliser la convection sans résoudre toute la dynamique du fluide.
• Loi de Newton (convection) : Loi empirique de la convection qui relie linéairement le flux convectif à l’écart de température entre surface et fluide loin de la paroi.
• Densité de flux convectif : Grandeur qui mesure le flux de chaleur échangé par convection par unité de surface, exprimée en W·m−2.
• Coefficient local d’échange convectif : Paramètre $h_x$ qui quantifie l’intensité de l’échange convectif à une position donnée, avec une dépendance locale au régime d’écoulement.
• Coefficient moyen d’échange convectif : Paramètre moyen ar h obtenu en intégrant le coefficient local sur la surface d’échange, utilisé pour relier le flux total au même écart de température.

📝 Points essentiels

• La loi de Newton s’écrit pour la convection : $\varphi = h_x\,(T_s-T_\infty)$, où $\varphi$ est en W·m−2 et $h_x$ en W·m−2·K−1.
• Le flux total échangé par la surface $A_s$ s’écrit $\Phi = \bar h\,A_s\,(T_s-T_\infty)$, avec $\bar h=\frac{1}{A_s}\int_{A_s} h_x\,dA$.
• La résistance thermique de convection se définit par analogie : $T_s-T_\infty=R_{th}\,\Phi$ et $R_{th}=\frac{1}{h\,A_s}$ (en notant $h$ le coefficient moyen).
• Le coefficient $h$ dépend fortement du régime d’écoulement : laminaire ou turbulent, ce qui modifie l’intensité de l’échange convectif.
• La transition laminaire→turbulent est attribuée à Osborne Reynolds (1883) dans le contexte du régime d’écoulement.
• Dans la couche laminaire, le mouvement est ordonné (variations selon $x$ et $y$), tandis que dans la couche turbulente il présente des fluctuations aléatoires de vitesse.

💡 Astuce mémo

Newton = $\text{flux} \propto \text{écart de T}$ : $\varphi=h_x(T_s-T_\infty)$ ; moyen = moyenne sur $A_s$ : $\bar h=\frac{1}{A_s}\int h_x dA$.

📖 4. Loi de Newton du flux convectif et coefficients

🔑 Notions clés & Définitions

• Nombre de Reynolds critique : Le nombre de Reynolds critique marque la valeur sans dimension autour de laquelle l’écoulement passe de laminaire à turbulent.
• Abscisse de transition : L’abscisse de transition est la position moyenne $x_c$ où la couche limite change de régime entre laminaire et turbulent.
• Couche limite hydrodynamique : La couche limite hydrodynamique est la zone près de la paroi où la vitesse varie fortement à cause des effets visqueux.
• Épaisseur de couche-limite hydrodynamique : L’épaisseur (x) est la distance à la paroi où la vitesse atteint $0{,}99u_\infty$.
• Couche limite thermique : La couche limite thermique est la zone près de la paroi où le profil de température se développe quand $T$ de la surface diffère de $T_\infty$.

📝 Points essentiels

• Le passage laminaire→turbulent se produit autour d’un Reynolds critique $Re_{xc}=\dfrac{u_\infty x_c}{\nu}=\dfrac{\rho u_\infty x_c}{\mu}$.
• Pour une plaque plane, l’exemple donne $Re_{xc}=5\times10^5$ comme ordre de grandeur de transition.
• Si $Re_x<Re_{xc}$, l’écoulement est laminaire ; si $Re_x>Re_{xc}$, il devient turbulent.
• La couche limite est laminaire pour $x<x_c$ et turbulente pour $x>x_c$ (transition autour de la position moyenne).
• La couche limite hydrodynamique se développe pour tout écoulement, car les forces visqueuses imposent $u=0$ au contact de la paroi.
• L’épaisseur hydrodynamique (x) est définie par la condition $u=0{,}99u_\infty$ (distance à la paroi).

💡 Astuce mémo

Re→régime : $Re_x$ sous $Re_{xc}$ = laminaire ; $Re_x$ au-dessus = turbulent ; $\delta(x)$ quand $u=0{,}99u_\infty$.

📖 5. Types d’écoulement et couche limite hydrodynamique

🔑 Notions clés & Définitions

• Couche limite hydrodynamique : Couche limite hydrodynamique : zone près de la paroi où la vitesse passe de la valeur nulle à la paroi à une valeur proche de la vitesse extérieure.
• Épaisseur de couche-limite hydrodynamique δ(x) : Épaisseur δ(x) : distance à la paroi définie par la condition u = 0,99 u∞.
• Couche limite thermique δt(x) : Couche limite thermique δt(x) : zone où les gradients de température se développent, dont l’épaisseur est fixée par (Ts − T)/(Ts − T∞) = 0,99.
• Coefficient d’échange convectif h : Coefficient h : paramètre reliant le flux convectif à l’écart de température entre la paroi Ts et le fluide loin de la paroi T∞.

📝 Points essentiels

• La couche limite hydrodynamique se développe quelle que soit la nature de l’écoulement.
• L’épaisseur δ(x) est définie par la position où la vitesse atteint u = 0,99 u∞.
• L’épaisseur de la couche limite hydrodynamique augmente avec la distance x le long de la paroi.
• La couche limite thermique s’épaissit aussi avec x, car les gradients de température se développent au fur et à mesure.
• La couche limite thermique n’apparaît que si Ts ≠ T∞, sinon il n’y a pas de gradient de température à développer.
• À y = 0, le flux par conduction suit la loi de Fourier : φ = −λ ∂T/∂y (y=0).

💡 Astuce mémo

δ(x) : « 99% de u∞ » (u = 0,99 u∞) ; même logique pour δt(x) avec « 99% de l’écart Ts−T∞ ».

📖 6. Couche limite thermique et relation avec h

🔑 Notions clés & Définitions

• Couche limite thermique : Couche limite thermique : zone près de la paroi où le gradient de température est fort et où la convection échange la chaleur avec le fluide.
• Coefficient d’échange convectif h : Coefficient d’échange convectif h : grandeur qui relie le flux thermique convectif à la différence de température entre paroi et fluide.
• Nombre de Nusselt local : Nombre de Nusselt local : nombre adimensionnel qui relie la convection à la conduction à l’échelle d’une position x via $Nu_x=h_x x/\lambda$.
• Nombre de Nusselt moyen : Nombre de Nusselt moyen : nombre adimensionnel obtenu en moyennant le Nusselt local sur la longueur $L$, donnant $Nu_L=\bar h_L L/\lambda$.
• Conductivité thermique λ : Conductivité thermique λ : propriété du fluide qui intervient dans la définition du Nusselt et sert d’échelle de conduction.

📝 Points essentiels

• La relation de base entre convection et Nusselt local est $Nu_x=h_x x/\lambda$, ce qui permet de remonter à $h_x$ dès que $Nu_x$ est connu.
• La relation de base entre convection et Nusselt moyen est $Nu_L=\bar h_L L/\lambda$, ce qui permet de remonter à $\bar h_L$ à partir d’une corrélation donnant $Nu_L$.
• Le Nusselt moyen s’obtient par intégration du Nusselt local : $Nu_L=\frac{1}{L}\int_0^L Nu_x\,dx$ (équivalent à $\bar h_L L/\lambda$).
• Pour une plaque plane en convection forcée laminaire, la corrélation locale donne $Nu_x=0.332\,Re_x^{1/2}Pr^{1/3}$ avec $0.6\le Pr\le 50$.
• Dans cette corrélation, $h_x$ est très grand au bord d’attaque ($x\to 0$) et décroît ensuite comme $x^{-1/2}$ le long de l’écoulement.
• La couche limite hydrodynamique $\delta(x)$ décroît avec la vitesse $u_\infty$ et croît avec la distance $x$, ce qui influence l’évolution des échanges le long de la plaque.

💡 Astuce mémo

Nu = h·L / λ : plus $Nu$ est grand, plus la convection (donc $h$) domine la conduction (via $\lambda$).

📖 7. Évaluation de h par nombres adimensionnels

🔑 Notions clés & Définitions

• Limite hydrodynamique δ(x) : Épaisseur de la couche-limite hydrodynamique qui sert à relier la vitesse et les transferts à la position x le long de la plaque.
• Nombre de Nusselt local Nux : Nombre adimensionnel qui mesure l’intensité de la convection par rapport à la conduction à l’abscisse x.
• Nombre de Nusselt moyen NuL : Nombre adimensionnel obtenu en moyennant le coefficient de convection sur une longueur caractéristique L.
• Corrélation de Hilpert : Corrélation empirique reliant NuD à ReD et Pr pour un écoulement perpendiculaire à un cylindre.
• Corrélation de Churchill-Bernstein : Corrélation empirique recommandée pour NuD en fonction de ReD et Pr, valable pour ReD×Pr>0.2.

📝 Points essentiels

• Pour une plaque en régime laminaire, la limite hydrodynamique suit δ(x)=5x Re_x^{-1/2} avec Re_x=u∞ x/ν et δ croît avec x et décroît avec u∞.
• Pour la convection forcée laminaire sur plaque, le Nusselt local vaut Nux=0.332 Re_x^{1/2} Pr^{1/3} pour 0.6≤Pr≤50.
• En laminaire, hx diverge quand x→0 et décroît comme x^{-1/2} dans le sens de l’écoulement, tandis que δ(x) décroît comme x^{1/2}.
• Pour le Nusselt moyen laminaire de 0 à x≤x_c, on a Nu_{x_c}=0.664 Re_{x_c}^{1/2} Pr^{1/3} pour 0.6≤Pr≤50.
• Pour une plaque en régime turbulent, δ(x)=0.37 x Re_x^{-1/5} avec Re_x≤10^8.
• Si la transition vérifie 0.95≤(x_c/L)≤1, alors Nu_L correspond au cas laminaire sur toute la longueur considérée (formule laminaire).

💡 Astuce mémo

Laminaire : Nux ∝ Re_x^{1/2} et Nu_{x_c} double (0.664 vs 0.332) ; turbulent : δ(x) ∝ x Re_x^{-1/5}.

📖 8. Convection forcée sur plaque plane laminaire et turbulent

🔑 Notions clés & Définitions

• Convection forcée : La convection forcée est un transfert thermique où l’écoulement est imposé par une action externe, et non uniquement par la flottabilité.
• Couche-limite : La couche-limite est la zone près d’une paroi où les gradients de vitesse et de température sont importants à cause de la viscosité.
• Nombre de Nusselt : Le nombre de Nusselt mesure l’intensité de la convection par rapport à la conduction à travers une échelle de longueur caractéristique.
• Régime laminaire : Le régime laminaire correspond à un écoulement ordonné où les corrélations prédisent un comportement stable de la couche-limite.
• Régime turbulent : Le régime turbulent correspond à un écoulement fortement désordonné, généralement associé à des transferts convectifs plus intenses.

📝 Points essentiels

• Sur une plaque plane, la couche-limite gouverne l’évolution des profils de vitesse et de température le long de la paroi.
• En convection forcée, les propriétés physiques sont évaluées à des températures différentes selon le rôle de la couche-limite : _s pour la surface et $T_\infty$ pour le fluide en amont.
• Le rapport $\mu/\mu_s$ corrige l’effet de propriétés non uniformes dans la couche-limite.
• Pour un écoulement interne en tube, le régime laminaire est identifié par $Re_D\le 2100$ et se décompose en zone d’entrée puis zone établie.
• En zone établie (laminaire), le nombre de Nusselt devient constant (Nu = Cte) et dépend uniquement des conditions thermiques imposées sur la paroi.
• Pour une température de paroi imposée $T_s$ constante, on obtient $Nu=3.66$ (laminaire, zone établie). Pour un flux imposé  constant, on obtient $Nu=4.36$ (laminaire, zone établie).

💡 Astuce mémo

Couche-limite = “moteur” du transfert : $Nu$ se fixe en régime établi, et en laminaire $3.66$ (Ts) vs $4.36$ (flux).

📖 9. Convection forcée sur cylindre et sphère

🔑 Notions clés & Définitions

• Nombre de Nusselt NuD : Le nombre de Nusselt adimensionne le transfert convectif et relie le coefficient h à la conduction via la longueur caractéristique D.
• Corrélation NuD à densité de flux uniforme : La corrélation donne NuD en fonction de Re et Pr pour une surface où le flux thermique imposé est uniforme.
• Corrélation NuD à température de surface constante : La corrélation donne NuD en fonction de Re et Pr pour une surface maintenue à température constante.
• Diamètre hydraulique Dh : Le diamètre hydraulique remplace D dans les corrélations quand la section n’est pas circulaire, à partir de la section de passage et du périmètre mouillé.
• Corrélation de Dittus-Boelter : La corrélation relie NuD à Re et Pr pour un écoulement turbulent dans un tube circulaire lisse, avec un exposant dépendant du sens chauffage/refroidissement.

📝 Points essentiels

• Pour densité de flux uniforme et température de surface uniforme, des valeurs constantes de NuD sont données : NuD = hD/λ = 4.36 (φ constante) et NuD = hD/λ = 3.66 (Ts constante).
• Pour une section non circulaire, on utilise le diamètre hydraulique Dh = 4Ac/P dans les corrélations à la place de D.
• Pour un tube circulaire lisse en régime turbulent (ReD ≥ 10 000 et L/D ≥ 10), la corrélation de Dittus-Boelter s’écrit NuD = 0.023 ReD^{4/5} Pr^n avec 0.6 ≤ Pr ≤ 160.
• Dans Dittus-Boelter, l’exposant vaut n = 0.4 pour le chauffage (Ts > Tm) et n = 0.3 pour le refroidissement (Ts < Tm).
• Quand les propriétés thermophysiques varient fortement, la corrélation de Sieder et Tate est recommandée : NuD = 0.027 ReD^{4/5} Pr^{1/3} (μ/μs)^{0.14} avec 0.7 ≤ Pr ≤ 16 700, ReD ≥ 10 000 et L/D ≥ 10.
• Tableau comparatif (turbulent tube lisse) : Dittus-Boelter utilise NuD = 0.023 ReD^{4/5} Pr^n (n dépend de chauffage/refroidissement) tandis que Sieder-Tate ajoute le facteur (μ/μs)^{0.14} et fixe l’exposant Pr^{1/3}.

💡 Astuce mémo

Flux imposé → 4.36 ; Température imposée → 3.66 ; Dittus-Boelter : n=0.4 chauffage / n=0.3 refroidissement ; Sieder-Tate : ajoute (μ/μs)^{0.14}.

📖 10. Convection forcée en écoulement intérieur tubes

🔑 Notions clés & Définitions

• Nombre de Nusselt NuL : Le nombre de Nusselt mesure le niveau de convection par rapport à la conduction pour un écoulement donné.
• Nombre de Rayleigh RaL : Le nombre de Rayleigh quantifie l’intensité de la convection naturelle via les effets de flottabilité et de diffusion thermique.
• Nombre de Prandtl Pr : Le nombre de Prandtl relie la diffusivité thermique à la viscosité cinématique et intervient dans les corrélations de convection.
• Corrélation de Churchill-Chu : La corrélation de Churchill-Chu fournit Nu en fonction de Ra et Pr sur un large domaine de validité.
• Longueur caractéristique L : La longueur caractéristique d’une plaque vaut $L=\dfrac{A_s}{P}$, avec $A_s$ l’aire et $P$ le périmètre.

📝 Points essentiels

• Pour une convection naturelle exprimée sous forme $Nu_L=hL/k$, les corrélations donnent $Nu_L$ comme fonction de $Ra_L$ et $Pr$ via une loi de type $Nu_L=C\,Ra_L^n$.
• Pour une plaque verticale (écoulement externe), $Nu_L=0.59\,Ra_L^{1/4}$ avec $10^4\le Ra_L\le 10^9$.
• Pour une plaque verticale, $Nu_L=0.10\,Ra_L^{1/3}$ avec $10^9\le Ra_L\le 10^{13}$.
• La corrélation de Churchill-Chu s’applique à tout $Ra_L$ : $Nu_L=\left[0.825+\dfrac{0.387\,Ra_L^{1/6}}{\left(1+(0.492/Pr)^{9/16}\right)^{8/27}}\right]^2$.
• Une amélioration de précision pour écoulement laminaire donne $Nu_L=0.68+0.670\,Ra_L^{1/4}\left[1+(0.492/Pr)^{9/16}\right]^{4/9}$ pour $Ra_L\le 10^9$.
• Pour une plaque horizontale, l’orientation et le sens chaud/froid changent les corrélations : surface chaude vers le bas et surface froide vers le haut (cas A-B) : $Nu_L=0.27\,Ra_L^{1/4}$ pour $10^5\le Ra_L\le 10^{10}$ ;

💡 Astuce mémo

Nu = convection : Ra règle la flottabilité, Pr règle la diffusion ; Churchill-Chu = formule “passe-partout” sur grand $Ra$.

📅 Repères chronologiques

📊 Tableaux de synthèse

Conduction vs convection (dans un fluide)

⚠️ Pièges & confusions fréquents

1. Confondre convection forcée et convection naturelle : la première vient d’un dispositif mécanique (pompe/vent), la seconde d’effets naturels comme la poussée d’Archimède.
2. Croire que la couche limite thermique existe toujours : elle ne se développe que si Ts ≠ T∞, sinon pas de gradient de température à développer.
3. Mélanger les définitions de δ(x) et δt(x) : δ(x) est défini par u = 0,99 u∞, alors que δt(x) par (Ts − T)/(Ts − T∞) = 0,99.
4. Inverser les conditions de validité des corrélations laminaire/turbulent : en convection forcée sur plaque, on compare Re_x à Re_xc (laminaire si Re_x < Re_xc, turbulent si Re_x > Re_xc).
5. Se tromper sur les unités de la loi de Newton : φ est une densité de flux (W·m−2) et h_x a pour unité W·m−2·K−1.
6. Oublier que h dépend du régime d’écoulement : laminaire vs turbulent change l’intensité d’échange via les corrélations (Nu, donc h).
7. Confondre Nu local et Nu moyen : Nu_L se déduit d’une moyenne/intégration sur la longueur, pas de la valeur locale en un point.

✅ Checklist Examen

1. Expliquer pourquoi un transfert dans un solide est toujours par conduction, et pourquoi dans un fluide il peut être conduction ou convection selon l’existence d’un mouvement de masse.
2. Distinguer écoulement interne vs externe selon que le fluide est entièrement entouré par des parois solides (tuyau) ou non (plaque/fil).
3. Écrire la loi de Newton de la convection : φ = h_x (Ts − T∞) et préciser le sens des grandeurs (φ, Ts, T∞, h_x).
4. Écrire le flux total sur une surface As : Φ = h̄ As (Ts − T∞) avec h̄ = (1/As)∫ h_x dA, puis donner l’analogie de résistance thermique R_th = 1/(h As).
5. Relier le passage laminaire → turbulent à un Reynolds critique : Re_xc = u∞ x_c/ν = ρ u∞ x_c/μ et interpréter Re_x < Re_xc vs Re_x > Re_xc.
6. Définir la couche limite hydrodynamique : u = 0,99 u∞ à la distance y = δ(x), et rappeler que δ(x) augmente avec x et décroît avec u∞.
7. Définir la couche limite thermique : (Ts − T)/(Ts − T∞) = 0,99 et rappeler qu’elle n’apparaît que si Ts ≠ T∞.
8. Relier convection et conduction via Nusselt : Nu_x = h_x x/λ et Nu_L = h̄_L L/λ, et savoir que Nu_L s’obtient par intégration de Nu_x sur [0, L].
9. Pour une plaque en convection forcée laminaire, utiliser Nux = 0.332 Re_x^{1/2} Pr^{1/3} (0.6 ≤ Pr ≤ 50) et Nu_{x_c} = 0.664 Re_{x_c}^{1/2} Pr^{1/3} pour la moyenne jusqu’à x_c.
10. Pour une plaque en convection forcée turbulente, utiliser δ(x) = 0.37 x Re_x^{-1/5} (Re_x ≤ 10^8) et savoir distinguer le cas transition tardive (Nu_L laminaire) du cas transition plus précoce (couche-limite mixte).
11. Pour un écoulement interne en tube : rappeler Re_D ≤ 2100 (laminaire) avec zone d’entrée puis zone établie, et donner Nu = 3.66 (Ts constante) vs Nu = 4.36 (flux constant).
12. Pour un tube circulaire lisse turbulent : appliquer Dittus-Boelter (Nu_D = 0.023 Re_D^{4/5} Pr^n avec n = 0.4 chauffage / 0.3 refroidissement) et, si propriétés varient fortement, utiliser Sieder-Tate (facteur (μ/μ_s)^{0
13. eventuelle}14).
14. Pour la convection forcée externe sur cylindre : utiliser Hilpert (Nu_D = C Re_D^m Pr^{1/3}) ou Churchill-Bernstein (formule recommandée) et pour la sphère utiliser Whitaker (Nu_D = 2 + 0.4 Re_D^{1/2} + 0.06 Re_D^{2/3}…/