Hoja de repaso: Triangle Rectangle et Pythagore

📋 Plan du Cours

1. Vocabulaire du triangle rectangle
2. Relations métriques avec la hauteur
3. Théorème de Pythagore
4. Démonstration par les aires
5. Calcul de longueurs
6. Réciproque du théorème de Pythagore
7. Applications de la réciproque

📖 1. Vocabulaire du triangle rectangle

🔑 Notions clés & Définitions

• Triangle rectangle : Triangle qui possède un angle droit, donc un angle mesurant 90°.
• Hypoténuse : Côté opposé à l’angle droit dans un triangle rectangle, c’est le plus grand côté.
• Angle droit : Angle de mesure 90° qui caractérise un triangle rectangle.

📝 Points essentiels

• Dans un triangle rectangle, le côté opposé à l’angle droit est le plus grand côté, appelé hypoténuse.
• Le triangle rectangle est défini par la présence d’un angle de 90°.
• L’hypoténuse est le côté situé en face de l’angle droit.

💡 Astuce mémo

Hypoténuse = face au 90° (et donc le plus grand côté).

📖 2. Relations métriques avec la hauteur

🔑 Notions clés & Définitions

• Hauteur issue du sommet : Segment perpendiculaire mené d’un sommet vers le support du côté opposé, dont le pied est sur ce côté.
• Pied de la hauteur : Point d’intersection entre la hauteur et le côté (ou son support) sur lequel elle tombe.
• Triangles semblables : Triangles ayant les mêmes angles deux à deux et donc des rapports de longueurs égaux.

📝 Points essentiels

• Si ABC est rectangle en C et H est le pied de la hauteur issue de C, alors CH^2 = HA×HB.
• Si dans un triangle ABC on a CH^2 = HA×HB (où H est le pied de la hauteur issue de C), alors le triangle est rectangle en C.
• Dans un triangle rectangle en C, on a AC^2 = AB×AH et BC^2 = AB×BH.
• Dans un triangle rectangle, un côté de l’angle droit est moyenne proportionnelle entre l’hypoténuse et sa projection sur l’hypoténuse.
• Si AC^2 = AB×AH, alors le triangle est rectangle en C.

💡 Astuce mémo

Formule repère : hauteur + projections donnent des produits, par exemple CH^2 = HA×HB.

📖 3. Théorème de Pythagore

🔑 Notions clés & Définitions

• Théorème de Pythagore : Énoncé qui relie les longueurs des côtés d’un triangle rectangle via l’hypoténuse et la somme de deux carrés.
• Hypoténuse (triangle rectangle) : Côté opposé à l’angle droit, noté comme le terme associé au carré égal à la somme des deux autres carrés.
• Relation de Pythagore : Égalité entre carrés des longueurs dans un triangle rectangle.

📝 Points essentiels

• Si un triangle ABC est rectangle en A, alors BC^2 = AB^2 + AC^2.
• On peut aussi dire : le carré de l’hypoténuse est égal à la somme des carrés des deux autres côtés.
• Dans le raisonnement du cours, les termes s’additionnent et on utilise que BH + CH = BC pour obtenir BC^2 = AB^2 + AC^2.

💡 Astuce mémo

Carré de l’hypoténuse = somme des carrés des deux autres côtés.

📖 4. Démonstration par les aires

🔑 Notions clés & Définitions

• Démonstration géométrique par les aires : Preuve qui compare des surfaces de figures construites à partir de triangles rectangles identiques.
• Quatre triangles rectangles identiques : Assemblage de triangles égaux utilisés pour construire des carrés et comparer leurs aires.
• Égalité d’aires : Relation où deux figures construites ont la même surface, ce qui force une relation algébrique sur les longueurs.

📝 Points essentiels

• À partir de quatre triangles rectangles identiques, la figure obtenue conduit à une égalité d’aires et fait apparaître une équation menant à a^2 + b^2 = c^2.
• Avec les notations du cours, l’aire du grand carré vaut (a + b)^2 et l’aire du carré intérieur vaut c^2.
• La différence entre ces aires est constituée de quatre triangles, chacun d’aire ab/2.
• En écrivant (a + b)^2 = 4×(ab/2) + c^2, on obtient a^2 + b^2 = c^2, ce qui retrouve l’égalité de Pythagore.

💡 Astuce mémo

Même aire : (a+b)^2 devient c^2 + 4·(ab/2), donc a^2+b^2=c^2.

📖 5. Calcul de longueurs

🔑 Notions clés & Définitions

• Hypoténuse connue : Problème où l’on calcule le troisième côté à partir de deux côtés d’un triangle rectangle.
• Dernier côté : Problème où l’on calcule un côté manquant en utilisant la relation de Pythagore.
• Carré de la longueur : Expression utilisée dans les calculs, car la relation fait intervenir des carrés (comme BC^2).

📝 Points essentiels

• Si AB = 3 cm et AC = 4 cm dans un triangle rectangle en A, alors BC^2 = 3^2 + 4^2 = 25 et BC = √25 = 5 cm.
• Quand on cherche l’autre côté, on utilise la forme : côté^2 = hypoténuse^2 − (petit côté)^2.
• Dans l’exemple, avec AB = 3 cm et BC = 5 cm, on obtient AC^2 = 5^2 − 3^2 = 16 et AC = √16 = 4 cm.
• Les carrés parfaits sont rares : on utilise le plus souvent une calculatrice pour obtenir une approximation.

💡 Astuce mémo

Chercher un côté : on part de BC^2 = AB^2 + AC^2 et on isole le carré du côté inconnu.

📖 6. Réciproque du théorème de Pythagore

🔑 Notions clés & Définitions

• Réciproque : Énoncé obtenu en échangeant l’hypothèse et la conclusion d’une proposition, qui peut être vraie même si l’inverse ne l’est pas.
• Réciproque du théorème de Pythagore : Résultat qui caractérise un triangle rectangle à partir de l’égalité entre carrés des longueurs.
• Contraposée : Formulation équivalente où l’on remplace « si … alors » par l’information sur le non-vérifié du test.

📝 Points essentiels

• Si pour un triangle ABC on a BC^2 = AB^2 + AC^2, alors le triangle est rectangle en A.
• Dans l’activité, le cours insiste que l’égalité de Pythagore est vérifiée uniquement quand le triangle est rectangle.
• Pour la réciproque, on construit un triangle rectangle OMN tel que AB = OM et AC = ON, puis on compare MN^2 et BC^2.
• Le cours précise que, pour conclure, il faut vérifier l’égalité avec les bons côtés (le plus grand côté correspond à l’hypoténuse dans la vérification).

💡 Astuce mémo

Test : si le plus grand côté au carré = somme des deux autres carrés, alors c’est un triangle rectangle.

📖 7. Applications de la réciproque

🔑 Notions clés & Définitions

• Test de rectangle : Méthode qui vérifie l’égalité des carrés à partir des longueurs pour conclure sur l’existence d’un angle droit.
• Côté le plus grand : Le côté opposé à l’angle droit dans un triangle rectangle, donc celui dont le carré sert au membre principal de l’égalité.
• Triangle rectangle ou non : Conclusion tirée du fait que l’égalité de Pythagore est vérifiée ou non.

📝 Points essentiels

• Pour tester un triangle, on calcule le carré du plus grand côté et on le compare à la somme des carrés des deux autres côtés.
• Si l’égalité est vérifiée, le triangle est rectangle et l’angle droit se trouve au sommet opposé au plus grand côté.
• Exemple 1 : avec ST = 5 cm, US = 3 cm et UT = 4 cm, on a ST^2 = 25 et US^2 + UT^2 = 9 + 16 = 25, donc le triangle SUT est rectangle en U.
• Exemple 2 : avec JK = 8 cm, IJ = 4 cm et IK = 7 cm, on a JK^2 = 64 mais IJ^2 + IK^2 = 16 + 49 = 65, donc le triangle IJK n’est pas rectangle.
• Le cours avertit de ne pas se fier à la figure : l’égalité se fait par calcul, pas par observation.

💡 Astuce mémo

Égalité ou pas : plus grand côté au carré = somme des deux autres carrés (sinon, pas de rectangle).

⚠️ Pièges & confusions fréquents

1. On confond souvent les côtés : la relation utilise le plus grand côté comme hypoténuse (le côté opposé à l’angle droit) quand on applique la réciproque.
2. On oublie que dans la réciproque, l’égalité doit être exactement vérifiée : une différence même faible suffit à conclure « non rectangle ».
3. On se fie à la figure (forme dessinée) au lieu de comparer des carrés calculés dans les exemples.
4. Dans les relations avec la hauteur, on peut inverser les bons termes : le carré de la hauteur CH^2 vaut le produit HA×HB (pas l’inverse).
5. On mélange les deux contextes : les relations métriques avec la hauteur s’appliquent au triangle rectangle, tandis que la réciproque teste la rectangulaire avec l’égalité de Pythagore.
6. En calcul de longueurs, on peut oublier de prendre la racine au final : BC = √(25) et non BC = 25.
7. Lors de la conclusion dans le deuxième exemple, on doit éviter d’utiliser la réciproque « par défaut » : c’est la comparaison des carrés qui décide.

✅ Checklist Examen

1. Reconnaître un triangle rectangle à partir de la présence d’un angle droit de 90°.
2. Identifier l’hypoténuse comme le côté opposé à l’angle droit et donc le plus grand côté.
3. Utiliser la relation CH^2 = HA×HB quand ABC est rectangle en C, avec H pied de la hauteur issue de C.
4. Utiliser le test de rectangulaire via la relation CH^2 = HA×HB pour conclure que le triangle est rectangle en C.
5. Appliquer AC^2 = AB×AH et BC^2 = AB×BH dans un triangle rectangle en C.
6. Appliquer Pythagore : dans un triangle rectangle en A, écrire BC^2 = AB^2 + AC^2.
7. Résoudre un calcul d’hypoténuse : BC^2 = AB^2 + AC^2 puis prendre la racine.
8. Résoudre un calcul d’un côté manquant : côté^2 = hypoténuse^2 − (autre côté)^2 puis prendre la racine.
9. Comprendre et énoncer la réciproque : si BC^2 = AB^2 + AC^2 alors le triangle est rectangle en A.
10. Appliquer la réciproque en testant l’égalité entre le carré du plus grand côté et la somme des carrés des deux autres côtés.
11. Conclure sur la position de l’angle droit : au sommet opposé au plus grand côté lorsque l’égalité est vérifiée.
12. Conclure « non rectangle » quand l’égalité n’est pas vérifiée, même si la figure semble aller dans le bon sens.