Cuestionario: Trinômes du second degré — 16 preguntas

1. Laquelle des expressions définit une fonction polynôme du second degré sur ℝ ?

A. f(x)=7

B. f(x)=4x³+x−1

C. f(x)=3x²−2x+1

D. f(x)=−2x+5

Answer: (C)

Explicación

Un trinôme du second degré s’écrit f(x)=ax²+bx+c avec a≠0. La présence d’un coefficient non nul devant x² est indispensable.

2. Quels sont les coefficients du trinôme 2x²−3x+5 ?

A. a=2, b=−3 et c=5

B. a=5, b=2 et c=−3

C. a=2, b=5 et c=−3

D. a=−3, b=5 et c=2

Answer: (A)

Explicación

En comparant 2x²−3x+5 à ax²+bx+c, on obtient a=2, b=−3 et c=5.

3. Quelle distinction caractérise la forme développée et la forme canonique d’un trinôme ?

A. La forme développée est a(x−α)²+β, tandis que la forme canonique est ax²+bx+c.

B. Les deux formes sont toujours identiques terme à terme.

C. La forme canonique ne contient pas le coefficient a.

D. La forme développée est ax²+bx+c, tandis que la forme canonique est a(x−α)²+β.

Answer: (D)

Explicación

La forme développée met en évidence les coefficients a, b et c, alors que la forme canonique s’écrit a(x−α)²+β et met en évidence α et β.

4. Pour f(x)=2x²−8x+3, quelles sont les coordonnées du sommet de sa parabole ?

A. S(−2 ; −5)

B. S(−2 ; 5)

C. S(2 ; −5)

D. S(2 ; 5)

Answer: (C)

Explicación

On calcule α=−b/(2a)=−(−8)/(2×2)=2, puis β=f(2)=−5. Le sommet est donc S(2 ; −5).

5. Dans quelle direction est tournée la parabole représentative de f(x)=−3x²+2x+1 ?

A. Vers le haut, car c>0

B. Vers le bas, car a<0

C. Vers le haut, car a<0

D. Vers le bas, car c>0

Answer: (B)

Explicación

Une parabole est tournée vers le haut si a>0 et vers le bas si a<0. Ici, a=−3, donc elle est tournée vers le bas.

6. Quelle expression donne le discriminant de ax²+bx+c, avec a≠0 ?

A. Δ=b²+4ac

B. Δ=b²−4ac

C. Δ=2b−4ac

D. Δ=−b²+4ac

Answer: (B)

Explicación

Le discriminant est défini par Δ=b²−4ac. Il s’agit d’un nombre réel calculé à partir des coefficients du trinôme.

7. Que peut-on conclure pour l’équation 2x²−5x+1=0 si son discriminant est strictement positif ?

A. Elle possède une seule racine réelle double.

B. Elle possède nécessairement une racine égale à zéro.

C. Elle ne possède aucune racine réelle.

D. Elle possède deux racines réelles distinctes.

Answer: (D)

Explicación

Lorsque Δ>0, l’équation du second degré admet deux racines réelles distinctes, obtenues par les formules faisant intervenir √Δ.

8. Quelle est la solution de l’équation 3x²−12x+12=0 lorsque son discriminant vaut zéro ?

A. x=2, racine réelle double

B. x=−2, racine réelle double

C. x=4, deux racines distinctes

D. L’équation n’a aucune racine réelle

Answer: (A)

Explicación

Si Δ=0, la racine réelle double vaut x₀=−b/(2a)=−(−12)/(2×3)=2.

9. Que peut-on affirmer à propos de l’équation x²+4x+7=0, dont le discriminant est négatif ?

A. Elle admet une racine réelle double.

B. Elle admet deux racines réelles distinctes.

C. Elle admet nécessairement la racine x=0.

D. Elle n’admet aucune racine réelle.

Answer: (D)

Explicación

Un discriminant négatif signifie que l’équation du second degré ne possède aucune racine réelle.

10. Lorsque le discriminant d’un trinôme est strictement positif et que ses racines sont x₁ et x₂, quelle est sa factorisation dans ℝ ?

A. f(x)=a(x-x₁)²

B. f(x)=a(x-x₁)(x-x₂)

C. f(x)=a(x+x₁)(x+x₂)

D. f(x)=a(x²+x₁x+x₂)

Answer: (B)

Explicación

Avec Δ>0, le trinôme possède deux racines réelles distinctes et se factorise sous la forme a(x−x₁)(x−x₂). La forme a(x−x₀)² correspond au cas Δ=0.

11. Un trinôme possède un discriminant nul et une racine double x₀. Quelle forme factorisée lui correspond ?

A. f(x)=a(x-x₀)²

B. f(x)=a(x-x₁)(x-x₂), avec x₁≠x₂

C. f(x)=a(x-x₀)(x+x₀)

D. f(x)=a(x²-x₀)

Answer: (A)

Explicación

Lorsque Δ=0, l’unique racine x₀ est une racine double, donc f(x)=a(x−x₀)². Deux facteurs distincts correspondent au cas Δ>0.

12. Quel est le signe d’un trinôme lorsque son discriminant est négatif ?

A. Il est toujours opposé au signe de a

B. Il est toujours du signe de a

C. Il est nul pour une unique valeur réelle

D. Il change de signe en deux valeurs réelles

Answer: (B)

Explicación

Si Δ<0, le trinôme n’a pas de racine réelle et conserve le signe de son coefficient a pour tout réel x.

13. Pour un trinôme tel que Δ=0, comment évolue son signe autour de sa racine double x₀ ?

A. Il change de signe en traversant x₀

B. Il garde le signe de a sauf en x₀, où il vaut zéro

C. Il est toujours nul autour de x₀

D. Il garde le signe opposé à a sauf en x₀

Answer: (B)

Explicación

Lorsque Δ=0, f(x) est du signe de a pour tout x différent de x₀ et f(x₀)=0. Il n’y a donc pas de changement de signe en x₀.

14. Pour un trinôme de coefficient directeur a<0 et de discriminant positif, quel est son signe entre ses deux racines x₁ et x₂, avec x₁<x₂ ?

A. Il est négatif entre les deux racines

B. Il est positif entre les deux racines

C. Il a le même signe qu'a entre les deux racines

D. Il est nul sur tout l’intervalle entre les racines

Answer: (B)

Explicación

Entre deux racines distinctes, le trinôme est du signe opposé à a. Comme a<0, il est donc positif entre x₁ et x₂.

15. Quelle démarche faut-il suivre pour étudier le signe d’un trinôme ?

A. Calculer uniquement c, puis choisir le signe de la constante

B. Identifier a, b et c, calculer Δ, déterminer les racines si possible, puis dresser le tableau de signes

C. Développer la forme canonique sans calculer le discriminant ni les racines

D. Chercher d’abord le sommet, puis conclure sans établir de tableau de signes

Answer: (B)

Explicación

L’étude du signe consiste à identifier les coefficients, calculer le discriminant, trouver les racines lorsque Δ≥0, puis construire le tableau de signes et conclure.

16. Laquelle des propositions regroupe correctement les trois formules fondamentales liées à un trinôme ?

A. Δ=b²−4a−c ; x₀=−b/(2c) si Δ=0 ; f(x)=a(x²−α)+β

B. Δ=b²−4ac ; x₀=−b/(2a) si Δ=0 ; f(x)=a(x−α)²+β

C. Δ=2b−4ac ; x₀=−b/(2a) pour tout trinôme ; f(x)=a(x−α)+β

D. Δ=b²+4ac ; x₀=b/(2a) si Δ>0 ; f(x)=a(x+α)²−β

Answer: (B)

Explicación

Les formules fondamentales sont Δ=b²−4ac, x₀=−b/(2a) dans le cas Δ=0, et la forme canonique f(x)=a(x−α)²+β.