Quiz: Analisi matematica e numeri complessi — 37 domande

Domande e risposte dettagliate

1. Quale caratteristica deve avere un enunciato in logica proposizionale?

Deve contenere almeno una variabile quantificata
Deve poter essere classificato come vero o falso
Deve includere almeno un connettivo logico
Deve esprimere necessariamente una relazione tra insiemi

Deve poter essere classificato come vero o falso

Spiegazione

Un enunciato è un'affermazione alla quale si può attribuire un valore di verità, vero oppure falso. La presenza di variabili quantificate o di connettivi non è richiesta per definire un enunciato.

2. Nell'implicazione p⇒qp \Rightarrow q, quale relazione logica sussiste tra pp e qq?

pp e qq sono condizioni indipendenti tra loro
pp e qq sono entrambe condizioni sufficienti reciproche
pp è necessaria per qq e qq è sufficiente per pp
pp è sufficiente per qq e qq è necessaria per pp

$$p$$ è sufficiente per $$q$$ e $$q$$ è necessaria per $$p$$

Spiegazione

Se pp implica qq, il verificarsi di pp basta a garantire qq, quindi pp è sufficiente; per avere pp, qq è invece necessaria. L'implicazione non stabilisce che le due condizioni siano reciproche o indipendenti.

3. Quale forma è equivalente alla negazione dell'enunciato esistenziale ¬(∃x:φ(x))\neg(\exists x: \varphi(x))?

∀x:φ(x)\forall x: \varphi(x)
¬(∀x:φ(x))\neg(\forall x: \varphi(x))
∃x:¬φ(x)\exists x: \neg\varphi(x)
∀x:¬φ(x)\forall x: \neg\varphi(x)

$$\forall x: \neg\varphi(x)$$

Spiegazione

Negare che esista almeno un elemento con proprietà φ\varphi equivale ad affermare che ogni elemento non possiede tale proprietà. La forma ∃x:¬φ(x)\exists x: \neg\varphi(x) esprime invece che almeno un elemento non soddisfa φ\varphi.

4. Quale simbolo indica l'esistenza di un unico elemento che soddisfa una proprietà?

⇒\Rightarrow
∃!\exists!
∀\forall
⇔\Leftrightarrow

$$\exists!$$

Spiegazione

Il simbolo ∃!\exists! significa “esiste un unico” elemento con la proprietà considerata. ∀\forall indica invece “per ogni”, mentre gli altri due simboli rappresentano rispettivamente implicazione ed equivalenza.

5. Quale condizione caratterizza l'inclusione A⊆BA \subseteq B?

I due insiemi hanno almeno un elemento in comune
Ogni elemento di BB appartiene anche ad AA
Ogni elemento di AA appartiene anche a BB
Gli insiemi AA e BB hanno esattamente gli stessi elementi

Ogni elemento di $$A$$ appartiene anche a $$B$$

Spiegazione

L'inclusione A⊆BA \subseteq B richiede che ogni elemento di AA appartenga a BB. L'uguaglianza richiederebbe anche l'inclusione opposta, mentre avere elementi comuni è una condizione più debole.

6. Che cosa contiene l'insieme delle parti P(A)\mathcal{P}(A)?

Tutti gli elementi che appartengono a un insieme esterno ad AA
Tutti gli elementi di AA, ripetuti secondo la loro molteplicità
Tutti i sottoinsiemi di AA, compresi ∅\varnothing e AA
Tutti gli insiemi che hanno almeno un elemento in comune con AA

Tutti i sottoinsiemi di $$A$$, compresi $$\varnothing$$ e $$A$$

Spiegazione

L'insieme delle parti raccoglie ogni sottoinsieme di AA, inclusi l'insieme vuoto e l'insieme AA stesso. Non è invece l'elenco degli elementi originali di AA.

7. Quale catena descrive correttamente le inclusioni tra gli insiemi numerici?

N⊆Q⊆Z⊆C⊆R\mathbb{N}\subseteq\mathbb{Q}\subseteq\mathbb{Z}\subseteq\mathbb{C}\subseteq\mathbb{R}
C⊆R⊆Q⊆Z⊆N\mathbb{C}\subseteq\mathbb{R}\subseteq\mathbb{Q}\subseteq\mathbb{Z}\subseteq\mathbb{N}
Z⊆N⊆Q⊆R⊆C\mathbb{Z}\subseteq\mathbb{N}\subseteq\mathbb{Q}\subseteq\mathbb{R}\subseteq\mathbb{C}
N⊆Z⊆Q⊆R⊆C\mathbb{N}\subseteq\mathbb{Z}\subseteq\mathbb{Q}\subseteq\mathbb{R}\subseteq\mathbb{C}

$$\mathbb{N}\subseteq\mathbb{Z}\subseteq\mathbb{Q}\subseteq\mathbb{R}\subseteq\mathbb{C}$$

Spiegazione

I naturali sono contenuti negli interi, gli interi nei razionali, i razionali nei reali e i reali nei complessi. In particolare, R\mathbb{R} comprende anche gli irrazionali, mentre Q\mathbb{Q} contiene i razionali.

8. Quale affermazione confronta correttamente prodotto cartesiano, unione e intersezione?

Tutte e tre le operazioni producono lo stesso risultato cambiando l'ordine degli insiemi
Il prodotto cartesiano è commutativo, mentre unione e intersezione dipendono dall'ordine
A×BA\times B può differire da B×AB\times A, mentre unione e intersezione sono commutative
Unione e intersezione possono differire cambiando ordine, mentre A×B=B×AA\times B=B\times A

$$A\times B$$ può differire da $$B\times A$$, mentre unione e intersezione sono commutative

Spiegazione

Nel prodotto cartesiano l'ordine delle coppie ordinate conta, quindi in generale A×BA\times B e B×AB\times A differiscono. Unione e intersezione, invece, non cambiano scambiando i due insiemi.

9. Che cosa rappresenta la sommatoria ∑i=1nai\sum_{i=1}^{n}a_i?

La somma dei termini a1+a2+⋯+ana_1+a_2+\cdots+a_n
La differenza tra il primo e l'ultimo termine, cioè a1−ana_1-a_n
Il solo termine finale della successione, cioè ana_n
Il prodotto dei termini a1a2⋯ana_1a_2\cdots a_n

La somma dei termini $$a_1+a_2+\cdots+a_n$$

Spiegazione

La sommatoria indica l'addizione di tutti i termini indicizzati da 11 a nn. Non rappresenta né il prodotto dei termini né una singola componente della successione.

10. Quale trasformazione applica correttamente la linearità della sommatoria a ∑k=1n(ak+bk)\sum_{k=1}^{n}(a_k+b_k)?

∑k=1nak+∑k=1nbk\sum_{k=1}^{n}a_k+\sum_{k=1}^{n}b_k
(∑k=1nak)(∑k=1nbk)\left(\sum_{k=1}^{n}a_k\right)\left(\sum_{k=1}^{n}b_k\right)
∑k=1n(akbk)\sum_{k=1}^{n}(a_kb_k)
∑k=1nak−∑k=1nbk\sum_{k=1}^{n}a_k-\sum_{k=1}^{n}b_k

$$\sum_{k=1}^{n}a_k+\sum_{k=1}^{n}b_k$$

Spiegazione

La linearità consente di separare la sommatoria di una somma nella somma delle due sommatorie corrispondenti. Il prodotto o la differenza delle somme non descrivono la regola indicata.

11. Quale formula calcola ∑k=0nqk\sum_{k=0}^{n}q^k quando q≠1q\neq1?

1−qn1−q\frac{1-q^n}{1-q}
1−qn+11−q\frac{1-q^{n+1}}{1-q}
qn+1−1q\frac{q^{n+1}-1}{q}
n+11−q\frac{n+1}{1-q}

$$\frac{1-q^{n+1}}{1-q}$$

Spiegazione

Per una ragione q≠1q\neq1, la somma geometrica finita da k=0k=0 a nn è 1−qn+11−q\frac{1-q^{n+1}}{1-q}. L'esponente deve essere n+1n+1 perché la successione comprende i termini da q0q^0 a qnq^n.

12. Quale valore assume il fattoriale di zero secondo la convenzione standard?

È uguale a meno 1
È uguale a 1
È uguale a 0
Non è definito

È uguale a 1

Spiegazione

La convenzione stabilisce che 0!=10! = 1, mentre per un intero positivo il fattoriale è il prodotto degli interi da quel numero fino a 1. L’idea che il fattoriale di zero sia nullo confonde il valore del numero con la definizione convenzionale dell’operazione.

13. Quale espressione calcola il coefficiente binomiale associato a nn e kk, con 0≤k≤n0\leq k\leq n?

k!(n−k)!n!\frac{k!(n-k)!}{n!}
n!k!(n−k)!\frac{n!}{k!(n-k)!}
n!k!(n+k)!\frac{n!}{k!(n+k)!}
(n−k)!n!k!\frac{(n-k)!}{n!k!}

$$\frac{n!}{k!(n-k)!}$$

Spiegazione

Il coefficiente binomiale è definito come (nk)=n!k!(n−k)!\binom{n}{k}=\frac{n!}{k!(n-k)!}. In particolare, il termine n−kn-k compare nel fattoriale al denominatore, non come somma con nn.

14. Quale sviluppo rappresenta correttamente il teorema binomiale di Newton per n∈Nn\in\mathbb{N}?

(a+b)n=∑k=0nakbn−k(a+b)^n=\sum_{k=0}^{n}a^kb^{n-k}
(a+b)n=∑k=0n(nk)akbn−k(a+b)^n=\sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k}a^kb^{n-k}
(a+b)n=∑k=1n(nk)akbn−k(a+b)^n=\sum_{k=1}^{n}\binom{n}{k}a^kb^{n-k}
(a+b)n=∑k=0n(nk)an−kbk(a+b)^n=\sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k}a^{n-k}b^k

$$(a+b)^n=\sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k}a^kb^{n-k}$$

Spiegazione

Lo sviluppo binomiale comprende tutti i valori di kk da 0 a nn e assegna a ciascun termine il coefficiente (nk)\binom{n}{k}. La seconda forma scambia gli esponenti ma non mantiene la disposizione prevista dalla formula indicata.

15. Quale caratteristica distingue un campo ordinato da un campo privo di struttura d’ordine?

Contiene soltanto elementi rappresentabili come frazioni
Ammette il prodotto ma non richiede una somma
Ha un ordine qualsiasi indipendente dalle operazioni
Possiede un ordine totale compatibile con somma e prodotto

Possiede un ordine totale compatibile con somma e prodotto

Spiegazione

Un campo ordinato è un campo dotato anche di un ordine totale compatibile con le operazioni, in particolare con la somma e con la moltiplicazione per scalari non negativi. Un campo ordinario possiede invece le operazioni algebriche senza questa struttura d’ordine compatibile.

16. Se a≤ba\leq b e c<0c<0 nell’ordine dei razionali, quale relazione è corretta dopo la moltiplicazione per cc?

ac≤bcac\leq bc
ac=bcac=bc
ac≥bcac\geq bc
Non si può confrontare acac con bcbc

$$ac\geq bc$$

Spiegazione

Moltiplicando una disuguaglianza per un numero negativo, il verso dell’ordine si inverte, quindi da a≤ba\leq b segue ac≥bcac\geq bc. La conservazione del verso vale invece quando il fattore è non negativo.

17. Perché la rappresentazione ridotta q=nmq=\frac{n}{m} conduce a una contraddizione nella dimostrazione che nessun razionale ha quadrato uguale a 2?

Perché l’argomento mostra che nn e mm sono entrambi pari
Perché l’argomento mostra che nn e mm sono entrambi dispari
Perché l’argomento mostra che nn divide necessariamente mm
Perché l’argomento mostra che nn è pari e mm è dispari

Perché l’argomento mostra che $$n$$ e $$m$$ sono entrambi pari

Spiegazione

Supponendo q2=2q^2=2 e scrivendo la frazione in forma ridotta, il ragionamento implica che sia il numeratore sia il denominatore siano pari. Questo contraddice proprio l’ipotesi che la frazione sia ridotta, cioè priva di fattori comuni.

18. Quale proprietà distingue i numeri reali dai numeri razionali come campi ordinati?

Ogni numero reale è il quoziente di due interi non nulli
Ogni insieme non vuoto superiormente limitato ha un supremo reale
Ogni insieme di razionali è completo rispetto all’ordine
Ogni campo ordinato possiede automaticamente un supremo

Ogni insieme non vuoto superiormente limitato ha un supremo reale

Spiegazione

I reali soddisfano l’assioma di completezza: ogni insieme non vuoto superiormente limitato ammette un estremo superiore in R\mathbb{R}. I razionali sono un campo ordinato, ma non sono completi perché alcuni insiemi razionalmente limitati non hanno supremo razionale.

19. Come si definisce l’estremo superiore di un insieme non vuoto e superiormente limitato EE?

È il massimo elemento appartenente a EE
È il più grande tra tutti i minoranti di EE
È un elemento di EE inferiore a ogni suo elemento
È il minimo tra tutti i maggioranti di EE

È il minimo tra tutti i maggioranti di $$E$$

Spiegazione

Il supremo è il maggiorante minimo, cioè il più piccolo numero che sta al di sopra di tutti gli elementi di EE. Non deve appartenere a EE, a differenza del massimo, che è un elemento dell’insieme.

20. Quale affermazione distingue correttamente massimo e supremo di un insieme?

Il massimo è il minimo dei maggioranti, mentre il supremo è il massimo elemento
Il massimo è un maggiorante esterno, mentre il supremo appartiene all’insieme
Il massimo appartiene all’insieme, mentre il supremo può non appartenervi
Il massimo e il supremo appartengono entrambi necessariamente all’insieme

Il massimo appartiene all’insieme, mentre il supremo può non appartenervi

Spiegazione

Il massimo è un elemento dell’insieme maggiore o uguale a tutti gli altri, mentre il supremo è il suo maggiorante minimo e può essere esterno all’insieme. Per esempio, un insieme può avvicinarsi al proprio supremo senza contenerlo.

21. Dati a,b∈Ra,b\in\mathbb{R} con a>0a>0, quale condizione esprime la proprietà archimedea?

Per ogni n∈Nn\in\mathbb{N} vale na=bna=b
Esiste n∈Nn\in\mathbb{N} tale che na>bna>b
Esiste n∈Nn\in\mathbb{N} tale che an>ba^n>b
Esiste n∈Nn\in\mathbb{N} tale che na<bna<b

Esiste $$n\in\mathbb{N}$$ tale che $$na>b$$

Spiegazione

La proprietà archimedea afferma che, dato ogni numero positivo aa e ogni reale bb, si può trovare un naturale nn con na>bna>b. Essa riguarda multipli naturali di aa, non potenze di aa.

22. Quale descrizione caratterizza l’intervallo chiuso [a,b][a,b]?

Contiene bb ma non aa, con a<x≤ba<x\le b
Contiene tutti i reali xx tali che a≤x≤ba\le x\le b, inclusi gli estremi
Contiene aa ma non bb, con a≤x<ba\le x<b
Contiene i reali xx tali che a<x<ba<x<b, esclusi entrambi gli estremi

Contiene tutti i reali $$x$$ tali che $$a\le x\le b$$, inclusi gli estremi

Spiegazione

Un intervallo chiuso comprende tutti i valori tra gli estremi e include sia aa sia bb. L’intervallo aperto $$]a,b[\, invece, esclude entrambi gli estremi.

23. Quale relazione tra gli intervalli descrive correttamente gli estremi inclusi?

[a,b[ escludeentrambigliestremi,mentre[a,b[\, esclude entrambi gli estremi, mentre ]a,b]include include amanon ma non b$$
[a,b[ include[a,b[\, include aedesclude ed esclude b,mentre, mentre ]a,b]esclude esclude aeinclude e include b$$
[a,b[ esclude[a,b[\, esclude aeinclude e include b,mentre, mentre ]a,b]$$ include entrambi gli estremi
[a,b[ includeentrambigliestremi,mentre[a,b[\, include entrambi gli estremi, mentre ]a,b]$$ li esclude entrambi

$$[a,b[\, include $$a$$ ed esclude $$b$$, mentre $$]a,b]$$ esclude $$a$$ e include $$b$$

Spiegazione

La parentesi quadra indica l’inclusione dell’estremo, mentre la parentesi tonda o quadra rivolta verso l’esterno indica l’esclusione. Perciò [a,b[ contiene[a,b[\, contiene amanon ma non b,mentre, mentre ]a,b]$$ presenta la situazione opposta.

24. Quando due insiemi hanno la stessa cardinalità?

Quando hanno lo stesso elemento minimo e lo stesso elemento massimo
Quando possiedono lo stesso intervallo di valori reali
Quando ogni elemento del primo insieme coincide con uno del secondo
Quando tra i loro elementi esiste una corrispondenza biunivoca

Quando tra i loro elementi esiste una corrispondenza biunivoca

Spiegazione

La stessa cardinalità significa che gli elementi dei due insiemi possono essere messi in corrispondenza biunivoca. Avere intervalli o estremi uguali non è il criterio generale per confrontare le cardinalità.

25. Quale affermazione confronta correttamente la cardinalità di N\mathbb{N}, Q\mathbb{Q} e R\mathbb{R}?

N\mathbb{N} e Q\mathbb{Q} sono numerabili, mentre R\mathbb{R} non è numerabile e ha la potenza del continuo
N\mathbb{N} e R\mathbb{R} sono numerabili, mentre Q\mathbb{Q} ha la potenza del continuo
Q\mathbb{Q} e R\mathbb{R} sono numerabili, mentre N\mathbb{N} non è numerabile
I tre insiemi sono numerabili, ma R\mathbb{R} possiede una cardinalità finita

$$\mathbb{N}$$ e $$\mathbb{Q}$$ sono numerabili, mentre $$\mathbb{R}$$ non è numerabile e ha la potenza del continuo

Spiegazione

I numeri naturali e razionali sono numerabili, mentre i reali non sono numerabili e hanno la potenza del continuo. La numerabilità di Q\mathbb{Q} non implica quindi quella dell’insieme più ampio R\mathbb{R}.

26. Come si rappresenta un numero complesso e che cosa indicano i suoi coefficienti?

z=a2+ib2z=a^2+ib^2, dove aa è il modulo, bb l’argomento e i2=1i^2=1
z=ab+iz=ab+i, dove aa è la parte immaginaria, bb la parte reale e i2=1i^2=1
z=a+bi2z=a+bi^2, dove aa e bb sono entrambi parti reali e i2=−1i^2=-1
z=a+ibz=a+ib, dove aa è la parte reale, bb la parte immaginaria e i2=−1i^2=-1

$$z=a+ib$$, dove $$a$$ è la parte reale, $$b$$ la parte immaginaria e $$i^2=-1$$

Spiegazione

La forma standard è z=a+ibz=a+ib, con a,b∈Ra,b\in\mathbb{R} e i2=−1i^2=-1; aa è la parte reale e bb il coefficiente della parte immaginaria. Il simbolo ii non ha quadrato uguale a 11.

27. Se z=a+ibz=a+ib e z′=c+idz'=c+id, quale formula esprime correttamente il loro prodotto?

zz′=(ac−bd)+i(ad+bc)zz'=(ac-bd)+i(ad+bc)
zz′=(ac+bd)+i(ad−bc)zz'=(ac+bd)+i(ad-bc)
zz′=(ac−bc)+i(ad−bd)zz'=(ac-bc)+i(ad-bd)
zz′=(a+c)(b+d)+i(ab+cd)zz'=(a+c)(b+d)+i(ab+cd)

$$zz'=(ac-bd)+i(ad+bc)$$

Spiegazione

Sviluppando il prodotto e usando i2=−1i^2=-1 si ottiene zz′=(ac−bd)+i(ad+bc)zz'=(ac-bd)+i(ad+bc). La somma, invece, avrebbe forma z+z′=(a+c)+i(b+d)z+z'=(a+c)+i(b+d) e non coincide con questa espressione.

28. Qual è il coniugato del numero complesso z=a+ibz=a+ib?

z‾=a+ib2\overline z=a+ib^2
z‾=−a−ib\overline z=-a-ib
z‾=a−ib\overline z=a-ib
z‾=−a+ib\overline z=-a+ib

$$\overline z=a-ib$$

Spiegazione

Il coniugio mantiene invariata la parte reale e cambia il segno della parte immaginaria, quindi da a+iba+ib si passa ad a−iba-ib. Cambiare il segno di aa trasformerebbe invece anche la parte reale.

29. Quale espressione rappresenta l’inverso di z=a+ib≠0z=a+ib\ne0?

1z=aa2+b2−iba2+b2\frac{1}{z}=\frac{a}{a^2+b^2}-i\frac{b}{a^2+b^2}
1z=aa+b−iba+b\frac{1}{z}=\frac{a}{a+b}-i\frac{b}{a+b}
1z=a2+b2−i(a+b)\frac{1}{z}=a^2+b^2-i(a+b)
1z=aa2−b2+iba2−b2\frac{1}{z}=\frac{a}{a^2-b^2}+i\frac{b}{a^2-b^2}

$$\frac{1}{z}=\frac{a}{a^2+b^2}-i\frac{b}{a^2+b^2}$$

Spiegazione

Moltiplicando numeratore e denominatore per il coniugato si ricava 1z=aa2+b2−iba2+b2\frac{1}{z}=\frac{a}{a^2+b^2}-i\frac{b}{a^2+b^2}. Il denominatore corretto è la somma dei quadrati, non una somma o una differenza lineare dei coefficienti.

30. Quale formula fornisce il modulo di z=a+ibz=a+ib?

∣z∣=a2+b2=zz‾|z|=\sqrt{a^2+b^2}=\sqrt{z\overline z}
∣z∣=a+b=z−z‾|z|=a+b=\sqrt{z-\overline z}
∣z∣=a2−b2=z+z‾|z|=\sqrt{a^2-b^2}=\sqrt{z+\overline z}
∣z∣=a2+b2=zz‾|z|=a^2+b^2=z\overline z

$$|z|=\sqrt{a^2+b^2}=\sqrt{z\overline z}$$

Spiegazione

Il modulo è la radice quadrata della somma dei quadrati delle parti reale e immaginaria, equivalente a zz‾\sqrt{z\overline z}. Inoltre il modulo è sempre non negativo, mentre la parte reale può assumere valori negativi.

31. Nella forma trigonometrica z=ρ(cos⁡θ+isin⁡θ)z=\rho(\cos\theta+i\sin\theta), che cosa rappresentano ρ\rho e θ\theta?

ρ\rho è la parte reale e θ\theta è la parte immaginaria
ρ\rho è un argomento e θ\theta è il modulo di zz
ρ\rho è il quadrato del modulo e θ\theta è il coniugato di zz
ρ\rho è il modulo e θ\theta è un argomento di zz

$$\rho$$ è il modulo e $$\theta$$ è un argomento di $$z$$

Spiegazione

Nella forma trigonometrica il coefficiente ρ\rho coincide con il modulo ∣z∣|z|, mentre θ\theta rappresenta un argomento. Scambiare questi ruoli confonde una quantità di lunghezza con una misura angolare.

32. Se due numeri complessi hanno moduli ρ1,ρ2\rho_1,\rho_2 e argomenti θ1,θ2\theta_1,\theta_2, quali sono modulo e argomento del loro prodotto?

Il modulo è ρ1+ρ2\rho_1+\rho_2 e un argomento è θ1θ2\theta_1\theta_2
Il modulo è ρ1ρ2\rho_1\rho_2 e un argomento è θ1+θ2\theta_1+\theta_2
Il modulo è ρ1/ρ2\rho_1/\rho_2 e un argomento è θ2−θ1\theta_2-\theta_1
Il modulo è ρ1−ρ2\rho_1-\rho_2 e un argomento è θ1−θ2\theta_1-\theta_2

Il modulo è $$\rho_1\rho_2$$ e un argomento è $$\theta_1+\theta_2$$

Spiegazione

Nel prodotto in forma trigonometrica i moduli si moltiplicano e gli argomenti si sommano. La sottrazione degli argomenti è invece associata al quoziente, non al prodotto.

33. Quale identità esprime la formula di De Moivre per un intero nn?

[ρ(cos⁡θ+isin⁡θ)]n=ρ+n[cos⁡θ+isin⁡θ][\rho(\cos\theta+i\sin\theta)]^n=\rho+n[\cos\theta+i\sin\theta]
[ρ(cos⁡θ+isin⁡θ)]n=ρn[cos⁡θ+isin⁡θ][\rho(\cos\theta+i\sin\theta)]^n=\rho^n[\cos\theta+i\sin\theta]
[ρ(cos⁡θ+isin⁡θ)]n=ρn[cos⁡(nθ)+isin⁡(nθ)][\rho(\cos\theta+i\sin\theta)]^n=\rho^n[\cos(n\theta)+i\sin(n\theta)]
[ρ(cos⁡θ+isin⁡θ)]n=ρ[cos⁡(nθ)+isin⁡(nθ)]n[\rho(\cos\theta+i\sin\theta)]^n=\rho[\cos(n\theta)+i\sin(n\theta)]^n

$$[\rho(\cos\theta+i\sin\theta)]^n=\rho^n[\cos(n\theta)+i\sin(n\theta)]$$

Spiegazione

La formula di De Moivre eleva alla potenza nn sia il modulo, ottenendo ρn\rho^n, sia l’argomento, ottenendo nθn\theta. Lasciare invariato uno dei due fattori non descrive la potenza di un numero complesso in forma trigonometrica.

34. Quante radici complesse, contando le molteplicità, possiede un polinomio non costante a coefficienti complessi di grado nn?

Esattamente nn radici complesse
Al massimo n−1n-1 radici complesse
Esattamente 2n2n radici complesse
Un numero determinato dal termine noto

Esattamente $$n$$ radici complesse

Spiegazione

Il teorema fondamentale dell’algebra stabilisce che un polinomio complesso non costante di grado nn possiede esattamente nn radici complesse contando le molteplicità. Il grado non determina un limite pari a n−1n-1, né raddoppia il numero delle radici.

35. Se z=2+3iz=2+3i, quale proprietà dell’esponenziale complesso si ottiene dalla sua forma cartesiana?

Ha modulo e3e^3 e argomento 22
Ha modulo e2e^2 e argomento 22
Ha modulo e3e^3 e argomento 33
Ha modulo e2e^2 e argomento 33

Ha modulo $$e^2$$ e argomento $$3$$

Spiegazione

Per z=x+iyz=x+iy, vale ez=ex(cos⁡y+isin⁡y)e^z=e^x(\cos y+i\sin y), quindi il modulo è exe^x e l’argomento è yy. Nel caso considerato, x=2x=2 e y=3y=3, mentre l’argomento non coincide con la parte reale.

36. Quale espressione rappresenta correttamente la formula di Eulero per un angolo reale θ\theta?

eiθ=cosh⁡θ+isinh⁡θe^{i\theta}=\cosh\theta+i\sinh\theta
eiθ=sin⁡θ+icos⁡θe^{i\theta}=\sin\theta+i\cos\theta
eiθ=cos⁡θ+isin⁡θe^{i\theta}=\cos\theta+i\sin\theta
eiθ=θ(cos⁡θ+isin⁡θ)e^{i\theta}=\theta(\cos\theta+i\sin\theta)

$$e^{i\theta}=\cos\theta+i\sin\theta$$

Spiegazione

La formula di Eulero collega l’esponenziale immaginario alle funzioni trigonometriche mediante eiθ=cos⁡θ+isin⁡θe^{i\theta}=\cos\theta+i\sin\theta. Le altre espressioni scambiano seno e coseno, usano funzioni iperboliche o introducono un fattore θ\theta non previsto.

37. Per quali valori di zz si verifica l’equazione ez=1e^z=1?

z=2kπz=2k\pi, con k∈Zk\in\mathbb{Z}
z=2kπiz=2k\pi i, con k∈Zk\in\mathbb{Z}
z=1+2kπiz=1+2k\pi i, con k∈Zk\in\mathbb{Z}
z=kπiz=k\pi i, con k∈Zk\in\mathbb{Z}

$$z=2k\pi i$$, con $$k\in\mathbb{Z}$$

Spiegazione

L’esponenziale complesso soddisfa ez=1e^z=1 precisamente quando z=2kπiz=2k\pi i con k∈Zk\in\mathbb{Z}, riflettendo la periodicità dell’angolo di periodo 2π2\pi. La forma kπik\pi i includerebbe anche valori che producono −1-1 anziché 11.

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Che cos'è un enunciato in logica?

Un'affermazione con valore di verità vero o falso.

Quali simboli indicano la congiunzione e la disgiunzione non esclusiva?

∧ indica la congiunzione e ∨ la disgiunzione non esclusiva.

Quali simboli rappresentano la negazione e l'implicazione?

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