Riassunto: Analisi matematica e numeri complessi

📋 Schema del Corso

1. Logica proposizionale e quantificatori
2. Insiemi e operazioni insiemistiche
3. Sommatorie e successioni geometriche
4. Fattoriali e binomio di Newton
5. Numeri razionali e campi ordinati
6. Completezza e proprietà dell'estremo
7. Intervalli e cardinalità
8. Numeri complessi e coniugio
9. Forma polare e radici complesse
10. Polinomi ed esponenziale complesso

📖 1. Logica proposizionale e quantificatori

🔑 Concetti chiave e definizioni

• Enunciato : Un'affermazione alla quale si può attribuire un valore di verità, cioè vero o falso.

★ Da sapere

• I simboli logici principali sono:
  • ∧ per la congiunzione
  • ∨ per la disgiunzione non esclusiva
  • ¬ per la negazione
  • ⇒ per l'implicazione
  • ⇔ per l'equivalenza
  • ∀ per ogni
  • ∃ esiste
  • ∃! esiste un unico

📌 Nell'implicazione p ⇒ q, p è condizione sufficiente per q, mentre q è condizione necessaria per p.

📌 La negazione di un enunciato esistenziale è equivalente a un enunciato universale negato: ¬(∃x: φ(x)) ⇔ ∀x: ¬φ(x).

Approfondimenti

• Per dimostrare che il quadrato di ogni numero naturale dispari è dispari, si scrive n=2k+1, si sviluppa n²=(2k+1)² e si raccoglie la forma 2(2k²+2k)+1.

💡 Trucco mnemonico

Implicazione: sufficiente da una parte, necessaria dall'altra

📖 2. Insiemi e operazioni insiemistiche

🔑 Concetti chiave e definizioni

• Sottoinsieme : Un insieme A è sottoinsieme di B se ogni elemento di A appartiene anche a B, cioè A⊆B ⇔ ∀x(x∈A ⇒ x∈B).
• Insieme delle parti : L'insieme di tutti i sottoinsiemi di A, compresi l'insieme vuoto e A stesso.

★ Da sapere

• La catena di inclusioni tra gli insiemi numerici è N⊆Z⊆Q⊆R⊆C, dove Q contiene i razionali e R anche gli irrazionali.

📌 Il prodotto cartesiano A×B non coincide in generale con B×A, mentre unione e intersezione sono commutative.

Approfondimenti

• Per A={1,2,3}, P(A)={∅,{1},{2},{3},{1,2},{1,3},{2,3},A}.

💡 Trucco mnemonico

Un diagramma di Venn con unione, intersezione e complementare

📖 3. Sommatorie e successioni geometriche

🔑 Concetti chiave e definizioni

• Sommatoria : Rappresenta la somma a₁+⋯+aₙ dei termini indicizzati da 1 a n.

★ Da sapere

📐 Formula — La linearità della sommatoria è espressa da $\sum_{k=1}^{n}ca_k=c\sum_{k=1}^{n}a_k$ e $\sum_{k=1}^{n}(a_k+b_k)=\sum_{k=1}^{n}a_k+\sum_{k=1}^{n}b_k$.

📐 Formula — Per q≠1, la somma geometrica finita è $\sum_{k=0}^{n}q^k=\frac{1-q^{n+1}}{1-q}$, mentre per q=1 vale $\sum_{k=0}^{n}1=n+1$.

Approfondimenti

📐 Formula — La somma di n copie della costante c è $\sum_{k=1}^{n}c=nc$.

💡 Trucco mnemonico

Termine → indice → somma → proprietà

📖 4. Fattoriali e binomio di Newton

🔑 Concetti chiave e definizioni

• Fattoriale : Per n naturale positivo, n!=n(n−1)⋯1 e, per convenzione, 0!=1.

★ Da sapere

📐 Formula — Il coefficiente binomiale, per 0≤k≤n, è $\binom{n}{k}=\frac{n!}{k!(n-k)!}$.

📐 Formula — Il teorema binomiale di Newton è $(a+b)^n=\sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k}a^kb^{n-k}$.

Approfondimenti

📐 Formula — I coefficienti binomiali soddisfano la relazione di ricorrenza $\binom{n}{k}=\binom{n-1}{k-1}+\binom{n-1}{k}$ per 1≤k≤n−1.

💡 Trucco mnemonico

Il triangolo di Tartaglia come una scala di coefficienti

📖 5. Numeri razionali e campi ordinati

🔑 Concetti chiave e definizioni

• Campo ordinato : Un insieme dotato di somma, prodotto e ordine totale compatibili con le operazioni, in particolare con la somma e con il prodotto per scalari non negativi.

📝 Punti essenziali

📌 Nell'ordine dei razionali, a≤b implica a+c≤b+c per ogni c e a·c≤b·c quando c≥0.

• La dimostrazione per assurdo che non esiste q∈Q con q²=2 scrive q=n/m in forma ridotta e mostra che sia n sia m devono essere pari, contraddicendo la riduzione della frazione.

💡 Trucco mnemonico

I razionali sono un campo ordinato, ma non contengono √2

📖 6. Completezza e proprietà dell'estremo

🔑 Concetti chiave e definizioni

• Assioma di completezza : L'insieme R dei numeri reali è un campo ordinato che soddisfa anche l'assioma di completezza, secondo cui ogni insieme non vuoto superiormente limitato ammette estremo superiore in R.
• Estremo superiore : Il minimo dei maggioranti di E.

📝 Punti essenziali

📌 Il massimo di E appartiene a E, mentre il supremo può non appartenere a E; analogamente, il minimo appartiene a E mentre l'infimo può non appartenere a E.

📐 Formula — La proprietà archimedea afferma che per ogni a,b∈R con a>0 esiste n∈N tale che $na>b$.

💡 Trucco mnemonico

Insieme non vuoto e superiormente limitato → esistenza del supremo

📖 7. Intervalli e cardinalità

🔑 Concetti chiave e definizioni

• Intervallo chiuso : L'insieme degli x∈R tali che a≤x≤b e contiene entrambi gli estremi.
• Cardinalità : Quando esiste una corrispondenza biunivoca tra i loro elementi; in tal caso gli insiemi sono numerabili se la cardinalità è quella di N.

📝 Punti essenziali

📌 L'intervallo [a,b[ contiene a ma non b, mentre ]a,b] non contiene a ma contiene b.

• N e Q sono numerabili, mentre R non è numerabile e possiede la potenza del continuo.

💡 Trucco mnemonico

Estremi inclusi negli intervalli chiusi, esclusi in quelli aperti

📖 8. Numeri complessi e coniugio

🔑 Concetti chiave e definizioni

• Numero complesso : Ha la forma z=a+ib con a,b∈R e i²=−1; a è la parte reale e b la parte immaginaria.
• Coniugato : Il coniugato di z=a+ib è z̄=a−ib.

📝 Punti essenziali

📐 Formula — Per z=a+ib e z'=c+id, la somma e il prodotto sono $z+z'=(a+c)+i(b+d)$ e $zz'=(ac-bd)+i(ad+bc)$.

📐 Formula — Per z=a+ib≠0, l'inverso è $\frac{1}{z}=\frac{a}{a^2+b^2}-i\frac{b}{a^2+b^2}$.

💡 Trucco mnemonico

Il piano di Gauss: parte reale sull'asse orizzontale e immaginaria su quello verticale

📖 9. Forma polare e radici complesse

🔑 Concetti chiave e definizioni

• Modulo complesso : È $|z|=\sqrt{a^2+b^2}=\sqrt{z\bar z}$.

📝 Punti essenziali

📐 Formula — La forma trigonometrica di un numero complesso è $z=\rho(\cos\theta+i\sin\theta)$, con $\rho=|z|$.

• Il prodotto di due numeri complessi in forma trigonometrica ha modulo ρ₁ρ₂ e argomento θ₁+θ₂.

📐 Formula — La formula di De Moivre afferma che $[\rho(\cos\theta+i\sin\theta)]^n=\rho^n[\cos(n\theta)+i\sin(n\theta)]$.

📐 Formula — Le radici n-esime di z=ρ(cosθ+i sinθ), con z≠0, sono $z_k=\sqrt[n]{\rho}\left(\cos\frac{\theta+2k\pi}{n}+i\sin\frac{\theta+2k\pi}{n}\right)$ per k=0,…,n−1.

💡 Trucco mnemonico

Modulo → argomento → prodotto → potenza → radici

📖 10. Polinomi ed esponenziale complesso

★ Da sapere

• Il teorema fondamentale dell'algebra afferma che ogni polinomio non costante a coefficienti complessi di grado n ha esattamente n radici complesse contando le molteplicità.

📐 Formula — Per z=x+iy, l'esponenziale complesso è $e^z=e^x(\cos y+i\sin y)$, quindi $|e^z|=e^x$ e l'argomento è y.

📐 Formula — La formula di Eulero è $e^{i\theta}=\cos\theta+i\sin\theta$ per ogni θ∈R.

📌 L'esponenziale complesso è periodico secondo $e^z=e^w\Longleftrightarrow z-w=2k\pi i$ con k∈Z, e in particolare $e^z=1\Longleftrightarrow z=2k\pi i$.

Approfondimenti

📐 Formula — Se z₀ è una radice di molteplicità k del polinomio P, allora $P(z)=(z-z_0)^kQ(z)$ con Q(z₀)≠0.

📐 Formula — In forma esponenziale, il prodotto e il quoziente soddisfano $\rho_1e^{i\theta_1}\rho_2e^{i\theta_2}=\rho_1\rho_2e^{i(\theta_1+\theta_2)}$ e $\frac{\rho_1e^{i\theta_1}}{\rho_2e^{i\theta_2}}=\frac{\rho_1}{\rho_2}e^{i(\theta_1-\theta_2)}$.

💡 Trucco mnemonico

Formula di Eulero → forma esponenziale → prodotto e potenze

📊 Tabelle di sintesi

Tipi di intervalli