Flashcard: Analyse et opérations sur les nombres complexes — 23 carte

Nombres complexes — définition ?

Sont de la forme $a+bi$, avec $a,b ext{ réels}$.

Représentation géométrique — rôle ?

Visualiser un nombre comme un point dans le plan.

Partie réelle — rôle ?

Composante horizontale $a$ de $z=a+bi$.

Partie imaginaire — rôle ?

Composante verticale $b$ de $z=a+bi$.

Conjugué d’un nombre — définition ?

$a - bi$, symétrique de $z$ par rapport à l’axe des abscisses.

Module d’un complexe — définition ?

Distance à l’origine : $ oot{2} extstyle{a^2 + b^2}$.

Forme exponentielle — rôle ?

Exprimer $z$ par $|z| e^{i heta}$ pour opérations.

Équations du second degré — solution ?

Utilisent discriminant $ riangle$ et formule $z=rac{-b ext{±} oot{ riangle}}{2a}$.

Racines carrées de complexes — mécanisme ?

Utilisent forme trigonométrique ou exponentielle.

Forme trigonométrique — rôle ?

Représente $z=|z|( ext{cos} heta + i ext{sin} heta)$.

Formule d’Euler — relation ?

$e^{i heta}= ext{cos} heta + i ext{sin} heta$.

Formule de Moivre — utilité ?

Calculer $( ext{cos} heta + i ext{sin} heta)^n$.

Argument — définition ?

Angle $ heta$ tel que $z=|z| e^{i heta}$.

Racines n-ièmes — principe ?

$w_k=|z|^{1/n} e^{i(rac{ heta+2k extpi}{n})}$.

Applications trigonométriques — but ?

Simplifier expressions et résoudre équations.

Partie réelle — calcul ?

$rac{z+ar{z}}{2}$.

Partie imaginaire — calcul ?

$rac{z-ar{z}}{2i}$.

Conjugué — propriété ?

$ar{z} = a - bi$, $ar{ar{z}}=z$.

Module — propriété ?

$|zw|=|z||w|$, $|z/w|=|z|/|w|$.

Argument — propriété ?

$ ext{arg}(zw)= ext{arg}(z)+ ext{arg}(w)$.

Forme exponentielle — avantage ?

Simplifie multiplication, division, racines.

Racines n-ièmes — répartitions ?

Sur cercle de rayon $|z|^{1/n}$, réparties uniformément.

Application principale — en trigonométrie ?

Calculs de puissances et racines.