Introduction aux Processus Stochastiques et Martingales

📋 Plan du Cours

1. Processus stochastique
2. Mouvement brownien
3. Équations différentielles stochastiques
4. Notions de base en probabilité
5. Variables aléatoires et mesures
6. Processus adaptés et filtrations
7. Indépendance et espérance conditionnelle
8. Variables gaussiennes et indépendance
9. Martingales en temps continu

📖 1. Processus stochastique

🔑 Notions clés & Définitions

• Processus stochastique : Famille de variables aléatoires {𝑋𝑡 ∶ 𝑡 ∈ 𝔗} construites sur un espace probabilisé (Ω, ℱ), où 𝔗 peut être continu ou discret. L’indice 𝑡 représente le temps.

• Filtration : Famille {ℱ𝑡 ∶ 𝑡 ∈ 𝔗} de tribus de Ω, telle que ℱ𝑡 ⊆ ℱ𝑡' si 𝑡 ≤ 𝑡'. Elle modélise l’information disponible jusqu’au temps 𝑡.

• Processus adapté : Un processus {𝑋𝑡} est adapté à la filtration {ℱ𝑡} si 𝑋𝑡 est ℱ𝑡-mesurable ∀ 𝑡.

• Mouvement brownien standard (W) : Processus {W𝑡 ∶ t ≥ 0} tel que :

  • W₀(ω) = 0 ∀ ω
  • Incréments indépendants et stationnaires
  • Wₜ − Wₛ ~ N(0, t−s) pour s < t
  • Trajectoires continues

• Processus de base : Processus {Xₜ} où Xₜ(ω) = B(ω)I_{]a,b]}(t), avec B ℱₐ-mesurable et carré intégrable.

• Intégrale stochastique : ∫₀ᵗ Xₛ dWₛ, définie comme limite de sommes de Riemann adaptées à la filtration.

📝 Points essentiels