Introduction aux transformations orthogonales et auto-adjointes

📋 Plan du Cours

1. Isométries vectorielles
2. Matrices orthogonales
3. Classification plan
4. Classification espace 3D
5. Endomorphismes auto-adjoints
6. Décomposition spectrale
7. Endomorphismes positifs
8. Matrices symétriques
9. Auto-adjoint positifs
10. Reconnaissance matrices
11. Valeurs propres
12. Bases orthonormées

📖 1. Isométries vectorielles

🔑 Notions clés & Définitions

• Isométrie vectorielle : Endomorphisme $u$ de $E$ qui conserve la norme, c’est-à-dire que pour tout $x \in E$, $\| u(x) \| = \| x \|$.
  Source : Définition 1.

  • L’ensemble des isométries vectorielles de $E$ est appelé groupe orthogonal, noté $O(E)$.

• Exemple d’isométrie : La fonction identité $\mathrm{id}_E$ est une isométrie de $E$.
  Source : Exemple dans la section.

• Propriétés des isométries :

  • Si $u \in O(E)$, alors $u$ est bijectif et $u^{-1} \in O(E)$.
  • Si $u, v \in O(E)$, alors $u \circ v \in O(E)$.
    Source : Proposition 1.

• Transformation de bases orthonormées en bases orthonormées :

  • $u \in O(E)$ si et seulement si $u$ transforme toute base orthonormée en une base orthonormée.
  • $u$ transforme une base orthonormée en une base orthonormée si et seulement si la matrice de $u$ dans cette base appartient à $O(n)$.
    Source : Théorème 1.