Produit scalaire et applications en espace

📋 Plan du Cours

1. Produit scalaire espace
2. Expression angle produit scalaire
3. Norme vecteur
4. Produit scalaire colinéarité
5. Produit scalaire longueurs
6. Base orthonormée
7. Produit scalaire coordonnées
8. Produit scalaire vecteurs en repère
9. Identités remarquables
10. Vecteur normal plan
11. Équation plan
12. Projection orthogonale point

📖 1. Produit scalaire espace

🔑 Notions clés & Définitions

• Produit scalaire de deux vecteurs : Réel noté 𝑢⃗ ∙ 𝑣⃗, défini comme une opération qui associe deux vecteurs à un nombre réel, mesurant leur "similarité" ou "angle".
• Norme d’un vecteur : Notée ‖𝑢⃗‖, correspond à la longueur ou magnitude du vecteur, calculée comme la racine carrée du produit scalaire avec lui-même : ‖𝑢⃗‖ = √(𝑢⃗ ∙ 𝑢⃗).
• Produit scalaire en termes d’angle : 𝑢⃗ ∙ 𝑣⃗ = ‖𝑢⃗‖ × ‖𝑣⃗‖ × cos(θ), où θ est l’angle entre 𝑢⃗ et 𝑣⃗.
• Produit scalaire par coordonnées dans une base orthonormée : Si 𝑢⃗ = (x, y, z) et 𝑣⃗ = (x', y', z'), alors 𝑢⃗ ∙ 𝑣⃗ = xx' + yy' + zz'.
• Produit scalaire d’un vecteur par lui-même (Carré scalaire) : 𝑢⃗ # = 𝑢⃗ ∙ 𝑢⃗ = ‖𝑢⃗‖², permettant de calculer la longueur du vecteur.

📝 Points essentiels