Scheda di revisione: Statistiques non paramétriques et régression

📋 Plan du Cours

1. Tests non paramétriques sur une population
2. Test des signes : hypothèses et décision
3. Test des rangs signés de Wilcoxon
4. Analyse de la variance à un facteur
5. Vérification des conditions ANOVA
6. Test de Kruskal-Wallis sur plusieurs populations
7. Comparaisons multiples après Kruskal-Wallis
8. Régression linéaire simple : modèle et estimation
9. Corrélation linéaire et interprétation
10. Tests d’hypothèses sur les paramètres de régression
11. Intervalles de confiance en régression
12. Tables et lois de Fisher et Student

📖 1. Tests non paramétriques sur une population

🔑 Notions clés & Définitions

• Test des signes : Le test des signes est une procédure non paramétrique qui teste la position de la médiane d’une population à partir du nombre de valeurs positives par rapport à une valeur de référence.
• Médiane me : La médiane me est la valeur qui partage la distribution en deux probabilités égales, avec autant d’observations au-dessus qu’au-dessous.
• Statistique S+n : La statistique S+n compte, dans l’échantillon, combien d’observations sont strictement positives par rapport à la référence utilisée.
• Test bilatéral : Un test bilatéral cherche une différence dans les deux sens, ce qui conduit à une alternative où la probabilité d’être au-dessus de la référence n’est pas égale à 1/2.
• Approximation normale : L’approximation normale remplace la loi exacte de la statistique par une loi normale lorsque la taille d’échantillon est suffisamment grande.

📝 Points essentiels

• Sous H0 : me = 0, on a P(Xi > 0) = 1/2, et l’alternative bilatérale correspond à P(Xi > 0) ≠ 1/2.
• Pour tester H0 : me = m0, on recentre via Yi = Xi − m0 et on applique le test aux Yi.
• La statistique S+n vaut S+n = ∑_{i=1}^n 1{Xi>0}, donc elle dépend seulement du signe des Xi.
• Sous H0, S+n suit une loi binomiale B(n; p) avec p = 1/2, d’où E(S+n)=n/2 et Var(S+n)=n/4.
• Si n > 40, on utilise la statistique Zn = (2S+n + 1 − n)/√n et une loi normale centrée réduite pour obtenir la zone d’acceptation.
• Si n < 40, on choisit kα (seuil bilatéral) tel que P_H0(S+n ≤ kα) ≤ α/2, puis on rejette H0 si S+n,obs ∉ ]kα; n − kα[.

💡 Astuce mémo

Signe → Binôme : sous H0, chaque Xi est “+” avec proba 1/2, donc S+n ~ Bin(n, 1/2).

📖 2. Test des signes : hypothèses et décision

🔑 Notions clés & Définitions

• Hypothèse nulle H0 : L’hypothèse nulle décrit l’absence d’effet ou de différence, et sert de référence pour calculer la probabilité des résultats observés.
• Hypothèse alternative H1 : L’hypothèse alternative exprime l’existence d’un effet ou d’une différence, et correspond au sens de l’écart recherché.
• Valeur critique c : La valeur critique c est le seuil tel que, sous H0, la statistique normalisée tombe dans l’intervalle central avec une probabilité fixée liée à α.
• Statistique S+ n,obs : La statistique S+ n,obs compte le nombre d’observations positives (après transformation), et pilote la décision du test des signes.
• P-valeur : La P-valeur est la probabilité, calculée sous H0, d’obtenir une statistique au moins aussi extrême que l’observation dans le sens de H1.

📝 Points essentiels

• Sous H0, on choisit une valeur critique c telle que $P(-c<Z_n<c)=1-\alpha$, puis on compare $Z_{n,obs}$ à l’intervalle $(-c,c)$.
• Règle de décision du test des signes : si $Z_{n,obs}\notin(-c,c)$ alors on rejette H0 et on retient H1, sinon on retient H0.
• Le niveau de signification réel du test peut différer de α, et il vaut typiquement $2P(S_n\le k_\alpha)$ (donc pas forcément égal à α).
• Exemple lait : on teste $H0: m_e=m_0=2{,}80$ contre $H1: m_e\ne m_0=2{,}80$ au seuil α=5%.
• Transformation de l’exemple : on calcule $y_i=2{,}15+x_i-2{,}80$ puis on déduit $S^+_{12,obs}=1$.
• Pour α=5% avec $n=12$, on cherche le plus grand entier $k_\alpha$ tel que $P_{H0}(S^+_{12}\le k_\alpha)\le 0{,}025$, et on obtient $k_\alpha=2$.

💡 Astuce mémo

Intervalle central : dedans → H0, dehors → H1 ; P-valeur < α → rejet de H0.

📖 3. Test des rangs signés de Wilcoxon

🔑 Notions clés & Définitions

• Rangs moyens : Méthode de calcul des rangs où chaque valeur reçoit la moyenne des rangs de sa classe d’ex æquo, puis on somme les rangs associés aux différences positives.
• Statistique W+⋆n : Statistique du test basée sur la somme des rangs positifs obtenus à partir des valeurs absolues, avec correction par rangs moyens en présence d’ex æquo.
• Classes d’ex æquo Cj : Regroupements des valeurs absolues égales, numérotés C0 pour les zéros puis Cj pour les autres, avec dj le nombre d’éléments dans Cj.
• Approximation normale : Approximation utilisée quand la taille d’échantillon est grande, où la variable centrée-réduite W+⋆n−m⋆σ⋆ suit approximativement une loi normale centrée réduite N(0;1).

📝 Points essentiels

• En l’absence d’ex æquo, chaque rang est distinct et on peut appliquer directement les formules du cas sans correction par rangs moyens.
• Avec ex æquo, on ordonne les valeurs absolues |xi|, on forme les classes Cj et on remplace chaque rang par le rang moyen Ra⋆i avant de sommer les rangs correspondant aux Xi>0.
• Sous H0, l’espérance de W+⋆n vaut m⋆=(n(n+1)−d0(d0+1))/4 où d0 est le nombre de zéros dans les données.
• Sous H0, la variance de W+⋆n vaut (σ⋆)2=(n(n+1)(2n+1)−d0(d0+1)(2d0+1))/24−(∑_{j=1}^h(dj^3−dj))/48.
• Pour n>15, on utilise l’approximation normale : (W+⋆n−m⋆)/σ⋆ suit approximativement N(0;1).
• Pour n≤15, les calculs à la main sont fastidieux et des logiciels existent, mais MINITAB utilise l’approximation normale même pour petites tailles, donc la P-valeur peut être peu fiable.

💡 Astuce mémo

Ex æquo → rangs moyens → W+ : somme des rangs des différences positives ; si n>15 alors normalité approximative.

📖 4. Analyse de la variance à un facteur

🔑 Notions clés & Définitions

• Analyse de la variance à un facteur : Procédure statistique qui teste globalement l’égalité de plusieurs moyennes théoriques à partir de la dispersion des données.
• Facteur à effets fixes : Variable qualitative contrôlée dont les modalités définissent les groupes, avec des effets considérés comme fixes dans le modèle.
• Plan équilibré : Schéma expérimental où chaque groupe a la même taille d’échantillon, notée J, pour toutes les populations i.
• Variation totale : Somme des carrés des écarts de toutes les observations à la moyenne générale, notée SCTot.
• Variation due au facteur : Somme des carrés des écarts des moyennes de groupes à la moyenne générale, notée SCF.

📝 Points essentiels

• Modèle : sous H0, les variables Yij sont gaussiennes, indépendantes, de même variance σ2, et ne diffèrent entre groupes que par leur moyenne μi.
• Hypothèses : H0 impose μ1=μ2=…=μI, tandis que H1 affirme que toutes les moyennes μi ne sont pas égales.
• Moyenne générale : y = (1/I)∑_{i=1}^I yi, car la moyenne de toutes les observations égale la moyenne des moyennes de chaque échantillon.
• Décomposition de la variance : s2(y)= (1/I)∑{i=1}^I (yi−y)^2 + (1/I)∑{i=1}^I s_i^2(y).
• Somme des carrés : SCTot = SCF + SCR, où SCTot mesure la dispersion totale, SCF la part expliquée par le facteur, et SCR la part résiduelle.
• Variation résiduelle : SCR = ∑{i=1}^I ∑{j=1}^J (yij−yi)^2 = ∑{i=1}^I J s_i^2(y) = ∑{i=1}^I (J−1)s_{i,c}^2 avec s_{i,c}^2 la variance corrigée (division par J−1).

💡 Astuce mémo

SCTot = SCF + SCR : Total = Facteur + Résidu (si SCF domine SCR, le facteur explique).

📖 5. Vérification des conditions ANOVA

🔑 Notions clés & Définitions

• Loi de Fisher : La loi de Fisher $F$ décrit la distribution du rapport de deux estimateurs de variances indépendants, utilisée pour tester l’égalité des moyennes en ANOVA.
• Table d’analyse de la variance : La table ANOVA regroupe les sommes des carrés, degrés de liberté, variances estimées et statistiques $F$ pour le facteur, les résidus et le total.
• Résidus : Les résidus sont les écarts entre les observations et leurs moyennes de groupe estimées, et servent à vérifier la normalité des erreurs.
• Test de Shapiro-Francia : Le test de Shapiro-Francia évalue la normalité en comparant la corrélation entre résidus classés et scores normaux à une valeur critique.
• Test de Levene : Le test de Levene vérifie l’égalité des variances entre groupes, condition nécessaire pour rendre la vérification de la normalité plus légitime.

📝 Points essentiels

• Sous $H_0$ (moyennes théoriques égales), la statistique $F_{obs}=s_F^2/s_R^2$ suit une loi de Fisher $F_{I-1,n-I}$.
• Pour un seuil
  =5\%, on lit une valeur critique $c$ telle que $P(H_0)[F\le c]=1-\alpha$, puis on rejette $H_0$ si $F_{obs}>c$.
• La table ANOVA présente : variation due au facteur (SC$_F$, ddl $I-1$, $s_F^2$), variation résiduelle (SC$_R$, ddl $n-I$, $s_R^2$) et $F_{obs}=s_F^2/s_R^2$.
• Dans l’exemple, $F_{obs}=4{,}066$ et $c=4{,}066$ pour $\alpha=0{,}05$, ce qui conduit à conclure que les moyennes ne sont pas stables selon la durée.
• La décision ANOVA détecte une différence globale entre moyennes, mais ne dit pas quelles paires diffèrent : des comparaisons multiples sont nécessaires ensuite.
• L’indépendance ne se teste pas directement par un test statistique simple : elle doit venir du protocole d’échantillonnage/expérience.

💡 Astuce mémo

Fisher = Facteur / Résidus ; ANOVA = tableau SC-ddl-$F$ ; Normalité = résidus vs scores normaux ; Variances = Levene avant Shapiro-Francia.

📖 6. Test de Kruskal-Wallis sur plusieurs populations

🔑 Notions clés & Définitions

• Test de Tukey-Kramer : Test de comparaisons multiples qui compare toutes les paires de moyennes après un ANOVA, en utilisant une loi de l’étendue studentisée (range studentisé).
• Étendue studentisée : Loi associée à la statistique du test de Tukey-Kramer sous l’hypothèse nulle, notée T_{n-I,I}.
• Test de Dunnett : Test de comparaisons multiples qui compare chaque moyenne à une moyenne de référence, avec une loi de Dunnett sous $H_0$.
• Risque de deuxième espèce : Probabilité de conclure à $H_0$ alors que $H_1$ est vraie, notée \beta.
• Risque a posteriori : Évaluation du risque \beta en supposant que les moyennes observées correspondent aux vraies moyennes, lorsque l’utilisateur n’a pas d’idée a priori sur les \mu_i.

📝 Points essentiels

• Le test de Tukey-Kramer teste, pour chaque paire $(i<i')$, $H_0:\mu(i)=\mu(i')$ contre $H_1:\mu(i')>\mu(i)$ avec une statistique basée sur $y(i')-y(i)$ et $s_R^2$.
• La statistique de Tukey-Kramer s’écrit $t_{i',i,obs}=\dfrac{y(i')-y(i)}{\sqrt{s_R^2\,\left(\frac{1}{n_{i'}}+\frac{1}{n_i}\right)}}$ et suit une loi d’étendue studentisée sous $H_0$.
• Pour un seuil $\alpha$, la valeur critique $c$ vérifie $P(H_0)[T\le c]=1-\alpha$ et on rejette $H_0$ si $t_{i',i,obs}>c$.
• La valeur critique $c$ dépend seulement de $n-I$ (degrés de liberté de la somme des carrés résiduelle) et de $I$ (nombre de moyennes comparées).
• Dans la procédure décrite, les quantités $t_{i',i,obs}$ sont toujours positives car les moyennes sont ordonnées, contrairement à l’implémentation MINITAB où les statistiques peuvent être positives ou négatives et les P−v
• Le test de Dunnett compare une population de référence $0$ à chaque population $i$ avec $H_0:\mu_0=\mu_i$ contre $H_1:\mu_0\ne\mu_i$ (bilatéral).

💡 Astuce mémo

Tukey = toutes les paires, Dunnett = une référence; Kruskal-Wallis arrive quand ANOVA échoue (normalité/homogénéité).

📖 7. Comparaisons multiples après Kruskal-Wallis

🔑 Notions clés & Définitions

• Comparaisons multiples : En statistique, ce sont des tests supplémentaires réalisés après un test global significatif pour identifier quelles populations diffèrent entre elles.
• Statistique de Kruskal-Wallis K : La statistique K est une mesure basée sur les rangs qui teste l’égalité des lois de plusieurs populations sans correction pour les ex æquo.
• Statistique corrigée K* : La statistique K* est la version de Kruskal-Wallis ajustée pour tenir compte des ex æquo via un facteur de correction.
• Configuration des ex æquo : La configuration des ex æquo décrit le nombre d’observations appartenant à chaque valeur de rang liée, utilisée pour corriger K en K*.
• Valeur critique c(α, n − I) : La valeur critique c(α, n − I) est le seuil issu d’un test bilatéral à niveau α basé sur une loi de Student à (n − I) degrés de liberté.

📝 Points essentiels

• Après un rejet de H0 (donc H1 vraie) avec Kruskal-Wallis, on peut effectuer des comparaisons deux à deux pour localiser les différences entre populations.
• On compare les populations i et i′ en testant si la différence des sommes de rangs pondérées dépasse un seuil bilatéral basé sur c(α, n − I).
• La condition de différence s’écrit avec |(Ri/ni) − (Ri′/ni′)| > c(α, n − I) × √(S2 × (n − 1 − K)/(n − I)) × √(1/ni + 1/ni′).
• Le terme S2 dépend du traitement des ex æquo : sans ex æquo, S2 = n(n + 1)/12.
• Avec ex æquo, S2 = (1/(n − 1)) × (∑i,j Rij^2 − n(n + 1)^2/4), ce qui modifie le seuil de comparaison.
• Pour organiser les calculs, on commence par évaluer le terme c(5%, n − I) × √(n(n + 1)/12 × (n − 1 − K)/(n − I)) avant de comparer les paires.

💡 Astuce mémo

Kruskal d’abord (global) puis paires : si H1 passe, on compare (Ri/ni) − (Ri′/ni′) à un seuil Student, et S2 change dès qu’il y a des ex æquo.

📖 8. Régression linéaire simple : modèle et estimation

🔑 Notions clés & Définitions

• Plan expérimental 1 : Le plan expérimental 1 correspond à des observations où chaque valeur de X est associée à une seule valeur de Y, notées (xi, yi) pour i=1,…,n.
• Plan expérimental 2 : Le plan expérimental 2 correspond à des observations où X est contrôlée par l’expérimentateur et où, pour chaque xi, plusieurs réponses yij sont observées.
• Variable indépendante X : La variable indépendante X est la variable contrôlée par l’expérimentateur, utilisée pour expliquer ou prédire la réponse.
• Variable dépendante Y : La variable dépendante Y est la réponse observée, dont le comportement est étudié en fonction de X.
• Normalité bidimensionnelle : La normalité bidimensionnelle suppose que le couple (X,Y) suit une loi normale à deux dimensions.

📝 Points essentiels

• Dans le plan expérimental 1, les deux variables jouent un rôle symétrique et l’objectif est d’exprimer l’intensité de la liaison via la corrélation.
• Dans le plan expérimental 2, l’objectif est d’analyser la dépendance de Y en fonction de X à l’aide d’une fonction (droite, parabole, etc.).
• Le modèle mathématique, s’il est bien ajusté, sert à comprendre le système et à prévoir l’évolution de Y.
• Sous normalité bidimensionnelle, la loi dépend de cinq paramètres : μX, μY, σX, σY et un paramètre de liaison (corrélation).
• Tester séparément la normalité de X et de Y ne suffit pas pour garantir la normalité du couple (X,Y).
• Pour le test de corrélation nulle en gaussien, la statistique suit une loi de Student à n−2 degrés de liberté et s’écrit via r(x,y) : t=\sqrt{n-2},\dfrac{r(x,y)}{\sqrt{1-r^2(x,y)}}.

💡 Astuce mémo

Plan 1 : une paire (xi,yi) → corrélation (symétrie). Plan 2 : X fixée + plusieurs yij → régression (X→Y).

📖 9. Corrélation linéaire et interprétation

🔑 Notions clés & Définitions

• Coefficient de corrélation linéaire : Le coefficient de corrélation linéaire mesure l’intensité et le sens de la liaison linéaire entre deux variables quantitatives.
• Transformation Fisher z : La transformation Fisher convertit le coefficient de corrélation r en une variable z plus proche d’une loi normale pour construire des tests et des intervalles.
• Intervalle de confiance de ρ : Un intervalle de confiance de ρ(X,Y) donne une plage de valeurs plausibles pour la corrélation vraie au niveau de risque α.
• Coefficient de détermination théorique : Le coefficient de détermination théorique est la valeur ρ²(X,Y) et quantifie la part de variance expliquée par la dépendance linéaire.
• Coefficient de détermination observé : Le coefficient de détermination observé r²(x,y), aussi appelé R carré, est calculé à partir des données et reflète la part de variance expliquée.

📝 Points essentiels

• Pour un test bilatéral au seuil α=0,05, on utilise une valeur critique c=1,96 issue de la loi normale centrée réduite.
• Le test compare la statistique √(n−3)(z−z0) à l’intervalle [−c,c] pour décider entre H0 et H1.
• Dans l’exemple avec n=11, z=0,841 et z0=0,973 donnent √(n−3)(z−z0)=−0,373, donc H0 n’est pas rejetée car −1,96≤−0,373≤1,96.
• L’intervalle de confiance de ρ au niveau α=5% s’écrit ]tanh(z−1,96/√(n−3)); tanh(z+1,96/√(n−3))[, où z est la réalisation de la variable transformée sur l’échantillon.
• Dans l’exemple n=11, les bornes calculées sont r1=tanh(0,148)=0,147 et r2=tanh(1,534)=0,911, soit un intervalle [0,147;0,911].
• Le coefficient de détermination théorique ρ²(X,Y) est compris entre 0 et 1 et vaut 1 si la dépendance est linéaire parfaite, et 0 si x et Y ne sont pas corrélées linéairement.

💡 Astuce mémo

Fisher z puis tanh : on “normalise” r en z, puis on “revient” à r via tanh pour obtenir test et intervalle.

📖 10. Tests d’hypothèses sur les paramètres de régression

🔑 Notions clés & Définitions

• Plan expérimental 2 : Plan où chaque valeur $x_i$ est observée plusieurs fois $y_{ij}$, ce qui permet d’estimer une variance résiduelle.
• Hypothèses de validation du modèle : Test qui compare la relation moyenne bc_i=a+bx_i à l’alternative où au moins un bc_i s’en écarte.
• Somme des carrés du modèle autour de la régression : Somme des carrés mesurant l’écart entre les moyennes observées et la droite ajustée, notée $SCM_{|RG}$.
• Carré moyen résiduel : Estimateur de la variance inconnue c3^2 obtenu en divisant la somme des carrés résiduelle par ses degrés de liberté, noté $s_R^2$.
• Statistique de Fisher du test : Rapport de deux carrés moyens, $F_{M,obs}=s_{M|RG}^2/s_R^2$, utilisé pour décider de l’acceptation ou du rejet du modèle.

📝 Points essentiels

• Le test vise H_0: orall i,bc_i=a+bx_i contre H_1: ext{au moins un } bc_i e a+bx_i.
• Le calcul repose sur SCM_{|RG}=a3_i(c7_i-c7̂_i)^2 avec c7̂_i=a3̂ a+a3̂ b x_i et sur SCR=a3_{i,j}(y_{ij}-y_i)^2.
• Une estimation de c3^2 est le carré moyen résiduel $s_R^2=SCR/(n-I)$.
• La statistique de test est $F_{M,obs}=s_{M|RG}^2/s_R^2$ et suit une loi de Fisher sous $H_0$ avec ddl $I-2$ et $n-I$.
• La décision au seuil b1 se fait via une valeur critique $c$ telle que P_{H_0}(F_{I-2,n-I}c6 c)=1-b1, puis on rejette si $F_{M,obs}>c$.
• Le test ne peut pas être mis en œuvre en plan expérimental 1 car alors $SCR=0$, ce qui empêche d’estimer la variance résiduelle.

💡 Astuce mémo

Plan 2 = répétitions = variance résiduelle; sans répétitions (plan 1) pas de $SCR$ donc pas de Fisher.

📖 11. Intervalles de confiance en régression

🔑 Notions clés & Définitions

• Intervalle de confiance pour a : Un intervalle de confiance pour a est une plage construite à partir de l’estimation de a et de son écart-type, avec une loi de Student à n−2 degrés de liberté.
• Intervalle de confiance pour b : Un intervalle de confiance pour b est une plage construite à partir de l’estimation de b et de son écart-type, avec une loi de Student à n−2 degrés de liberté.
• Intervalle de confiance pour y(x) : Un intervalle de confiance pour y(x)=a+bx est une plage construite à partir de l’estimation de y(x) et de l’écart-type associé, avec une loi de Student à n−2 degrés de liberté.
• Variance résiduelle s2R|M : La variance résiduelle s2R|M est une estimation de σ2 obtenue après validation du modèle, basée sur la somme des carrés résiduelle divisée par ses degrés de liberté.
• Valeur critique cn−2 : La valeur critique cn−2 est le quantile bilatéral de la loi de Student Tn−2 correspondant au seuil α, utilisé pour construire les intervalles.

📝 Points essentiels

• Sous le modèle validé Yi=a+bxi+Ei avec Ei i.i.d. N(0;σ2), les intervalles utilisent une loi de Student à n−2 degrés de liberté.
• La meilleure estimation de σ2 est donnée par s2R|M=1/(n−2)∑i êi2 et elle s’écrit aussi s2R|M=s2(y)·(1−r2(x,y))·n/(n−2).
• L’écart-type de a s’écrit sA=√(s2R|M/n·(1+x̄^2/s2(x))) et celui de b s’écrit sB=√(s2R|M/(n·s2(x))).
• L’écart-type de la prédiction y(x) s’écrit ŝy(x)=√(s2R|M/n·(1+(x−x̄)^2/s2(x))).
• Au seuil α, l’intervalle de confiance pour a est [â−cn−2·sA ; â+cn−2·sA] et pour b est [b̂−cn−2·sB ; b̂+cn−2·sB].
• Pour un x fixé, l’intervalle de confiance pour y(x)=a+bx est [ŷ(x)−cn−2·ŝy(x) ; ŷ(x)+cn−2·ŝy(x)].

💡 Astuce mémo

Student partout : même quantile cn−2 (n−2 ddl) ; largeur = cn−2 × (écart-type), et l’écart-type dépend de 1, x̄ et (x−x̄).

📖 12. Tables et lois de Fisher et Student

🔑 Notions clés & Définitions

• Table de Shapiro-Francia : Table de valeurs critiques pour le test de normalité de Shapiro-Francia, donnée en fonction de la taille n et du seuil α.
• Loi de Fisher : Loi de probabilité des rapports de variances, notée F, caractérisée par deux nombres de degrés de liberté ν1 et ν2.
• Degrés de liberté au numérateur : Paramètre ν1 de la loi de Fisher, correspondant au nombre de degrés de liberté associés au numérateur.
• Degrés de liberté au dénominateur : Paramètre ν2 de la loi de Fisher, correspondant au nombre de degrés de liberté associés au dénominateur.
• Table de Mann-Whitney : Table de valeurs critiques pour le test bilatéral de Mann-Whitney à α = 5%, selon les tailles d’échantillons.

📝 Points essentiels

• Lecture de table : on cherche la valeur critique c telle que $P(F>c)=0{,}10$ pour la loi de Fisher, avec ν1 et ν2 donnés.
• Paramètres de la loi de Fisher : ν1 = dln et ν2 = dld, où dln est le nombre de degrés de liberté au numérateur et dld au dénominateur.
• Exemple de lecture (Shapiro-Francia) : une valeur comme 2,73 peut être obtenue par interpolation 2,7 + 0,03 à partir des lignes et colonnes de la table.
• Table de Shapiro-Francia : elle fournit des valeurs critiques pour trois seuils α (0,10 ; 0,05 ; 0,01) selon n.
• Test de Mann-Whitney : la table donne des valeurs critiques pour le test bilatéral à α = 5% en fonction des tailles (avec des cases marquées par *).
• Interprétation des * (Mann-Whitney) : un astérisque indique que le test ne peut pas être significatif au niveau α = 5%.

💡 Astuce mémo

Fisher = “F au-dessus de c” : $P(F>c)$ fixé par la table ; Shapiro-Francia = “normalité” avec α (0,10/0,05/0,01) et n.

📊 Tableaux de synthèse

Tests non paramétriques sur une population : signe vs Wilcoxon

Test	Statistique	Quand l’utiliser
Test des signes	S+_n = Σ 1{X_i>0}	Quand on teste la médiane (H0 : m_e = m0) à partir du signe, et on préfère ce test si les conditions d’application du Wilcoxon ne sont pas réunies (ex. cas sans ex æquo/avec contraintes).
Test des rangs signés de Wilcoxon	W+n = Σ{X_i>0} R_{a_i} (rangs des |x_i|, avec rangs moyens en cas d’ex æquo)	Quand les conditions d’utilisation sont remplies : puissance supérieure à celle du test des signes ; en pratique MINITAB utilise l’approximation normale même pour petites tailles.

ANOVA à un facteur : décomposition et décision

Terme	Signification	Lien au test
SCTot	Dispersion totale : Σ_{i,j}(y_{ij}-y)^2	On compare SCF et SCR via Fobs = s_F^2/s_R^2.
SCF	Variation due au facteur : J Σ_i (y_i-y)^2	Sous H0, SCF doit être petite devant SCR ; sous H1, SCF grande devant SCR.
SCR	Variation résiduelle : Σ_{i,j}(y_{ij}-y_i)^2	SCR sert à estimer la variance résiduelle et apparaît au dénominateur de Fobs.

⚠️ Pièges & confusions fréquents

1. Confondre le test des signes (compte seulement les Xi>0) avec Wilcoxon (utilise les rangs des |xi| et donc l’information de magnitude).
2. Oublier la transformation pour tester me=m0 : il faut passer à Yi=Xi−m0 puis appliquer le test sur les Yi.
3. Croire que le niveau réel du test vaut toujours α : le cours indique qu’il vaut typiquement 2P(Sn≤kα) (donc pas forcément α).
4. En Wilcoxon, traiter les ex æquo comme s’il n’y en avait pas : il faut utiliser les rangs moyens (W+⋆_n) et ne pas réutiliser les tables “sans ex æquo”.
5. En ANOVA, confondre les ddl : Fobs = (SCF/(I−1)) / (SCR/(n−I)) ; inverser les ddl mène à une mauvaise lecture de la loi de Fisher.
6. Penser que l’ANOVA dit quelles paires diffèrent : le cours précise que des comparaisons multiples sont nécessaires ensuite (Tukey/Dunnett).
7. En régression, appliquer le test de validation du modèle en plan expérimental 1 : le cours dit que SCR=0 donc le test ne peut pas être mis en œuvre.

✅ Checklist Examen

1. Test des signes : savoir écrire H0 (me=m0 ⇔ P(Xi>0)=1/2 après recentrage), définir S+_n et donner sa loi sous H0 (Bin(n;1/2)).
2. Test des signes : savoir la procédure pour n<40 (kα via P_H0(S+_n≤kα)≤α/2 et rejet si S+_n,obs∉]kα;n−kα[) et pour n≥40 (Zn avec correction de continuité et intervalle ]−c;c[).
3. Test des signes : savoir interpréter la P-valeur (règle P-valeur≤α ⇒ rejet de H0) et rappeler que MINITAB élimine les zéros pour ramener à n′.
4. Wilcoxon : savoir la statistique W+_n (somme des rangs des |xi| pour Xi>0) et la correction par rangs moyens en cas d’ex æquo (W+⋆_n).
5. Wilcoxon : savoir les seuils de choix d’approximation (n>15) et la conséquence pratique MINITAB (approximation normale même pour petites tailles, P-valeur potentiellement peu fiable).
6. ANOVA à un facteur : savoir modéliser, définir y (moyenne générale), SCTot=SCF+SCR, et écrire Fobs = (SCF/(I−1)) / (SCR/(n−I)) avec loi FI−1,n−I sous H0.
7. ANOVA : savoir la vérification des conditions selon le cours : indépendance via protocole, normalité via résidus (Shapiro-Francia) et homogénéité via Levene (avant la normalité).
8. ANOVA : savoir que la décision globale ne localise pas les différences et maîtriser les comparaisons multiples : Tukey-Kramer (t_{i′,i,obs} et étendue studentisée) et Dunnett (comparaison à une référence).
9. Kruskal-Wallis : savoir H0 (toutes les lois égales), la statistique K (sans ex æquo) et la correction K* (avec ex æquo via configuration).
10. Kruskal-Wallis : savoir la logique “global puis paires” et l’inégalité de comparaison bilatérale utilisant c(α,n−I), S2 (sans ex æquo : n(n+1)/12 ; avec ex æquo : formule du cours) et le terme √(1/ni+1/ni′).
11. Régression linéaire : savoir distinguer plan expérimental 1 (corrélation) et plan expérimental 2 (validation du modèle), écrire le modèle Yi=a+bxi+Ei et la méthode des moindres carrés (â,b̂).
12. Régression : savoir la validation du modèle (test Fisher avec ddl I−2 et n−I, SCR et SCM|RG) et les intervalles de confiance (Student à n−2 ddl pour a, b et y(x)).