Quiz: Variables Aléatoires Continues et Lois Essentielles — 10 domande

1. Quelle propriété caractérise la fonction de répartition FX d'une variable aléatoire continue ?

A. Elle est constante et égale à 0,5

B. Elle est décroissante et limite 1 à -∞

C. Elle est croissante, limite 0 à -∞ et 1 à +∞, et continue à droite

D. Elle est périodique avec une période de 1

Answer: (C)

Spiegazione

La fonction de répartition FX d'une variable continue est toujours croissante, limite 0 à -∞, limite 1 à +∞, et est continue à droite. Ces propriétés permettent de la caractériser de manière unique.

2. Quelle est la formule de la fonction de répartition FX d'une variable aléatoire normale N(μ, σ²) ?

A. FX(x) = Φ( (x−μ)/σ )

B. FX(x) = 1−e^{−λx}

C. FX(x) = (1/σ√2π) e^{−(x−μ)²/2σ²}

D. FX(x) = (a + b)/2

Answer: (A)

Spiegazione

La fonction de répartition d'une normale N(μ, σ²) est FX(x) = Φ((x−μ)/σ), où Φ est la fonction de répartition de la loi normale standard. Les autres options correspondent à d'autres formules ou sont incorrectes.

3. Quelle est la formule de la densité de la loi normale N(μ, σ²) ?

A. fX(x) = (1/√2π) e^{−x²/2}

B. fX(x) = λ e^{−λx} I[0,+∞)

C. fX(x) = (1/σ√2π) e^{−(x−μ)²/2σ²}

D. fX(x) = 1/(b−a) I[a,b]

Answer: (C)

Spiegazione

La densité de la loi normale N(μ, σ²) est donnée par la formule fX(x) = (1/σ√2π) e^{−(x−μ)²/2σ²}. Elle caractérise la distribution en forme de cloche, symétrique autour de μ.

4. Quelle est l'espérance pour une loi exponentielle E(λ) ?

A. 1/λ

B. λ

C. σ

D. (a + b)/2

Answer: (A)

Spiegazione

L'espérance d'une loi exponentielle E(λ) est 1/λ, ce qui représente la durée moyenne attendue. Les autres options sont incorrectes ou correspondent à d'autres paramètres.

5. Si X est une variable aléatoire suivant une loi exponentielle de paramètre λ, quelle est la probabilité que X soit inférieure à un réel x ≥ 0 ?

A. FX(x) = 1/(1+λx)

B. FX(x) = λ x

C. FX(x) = 1−e^{−λx}

D. FX(x) = e^{−λx}

Answer: (C)

Spiegazione

Pour une loi exponentielle E(λ), la fonction de répartition est FX(x) = 1−e^{−λx} pour x ≥ 0. Elle donne la probabilité que la variable X prenne une valeur inférieure ou égale à x.

6. Quel est l'écart-type d'une loi uniforme U([a, b]) ?

A. (b−a)/√12

B. (b−a)²/12

C. (a + b)/2

D. 1/λ

Answer: (A)

Spiegazione

L'écart-type d'une loi uniforme U([a, b]) est √((b−a)²/12) = (b−a)/√12. La variance est (b−a)²/12, mais l'écart-type est sa racine carrée.

7. Selon la règle empirique, environ quelle proportion de la distribution normale est située dans l'intervalle μ ± 2σ ?

A. 95%

B. 68%

C. 99.7%

D. 68.27%

Answer: (A)

Spiegazione

La règle empirique indique que environ 95% de la distribution normale se trouve dans l'intervalle μ ± 2σ. La proportion 68% correspond à μ ± σ, et 99.7% à μ ± 3σ.

8. Quelles sont les propriétés caractéristiques de la fonction de répartition FX(x) d'une variable continue ?

A. Elle est croissante, limite 0 à -∞ et 1 à +∞, continue à droite

B. Elle est décroissante, limite 1 à -∞ et 0 à +∞

C. Elle est périodique avec période 1

D. Elle est constante sauf à quelques points

Answer: (A)

Spiegazione

La fonction de répartition d'une variable continue est croissante, tend vers 0 à -∞, 1 à +∞, et est continue à droite, ce qui reflète sa nature cumulative.

9. Quelle caractéristique distingue la loi normale standard N(0,1) ?

A. Elle est centrée réduite, avec μ=0 et σ=1

B. Sa densité est uniformément constante

C. Elle est décalée de μ=2

D. Elle est caractérisée par λ=1

Answer: (A)

Spiegazione

La loi normale standard N(0,1) est centrée réduite avec μ=0 et σ=1, ce qui facilite les calculs et la standardisation.

10. Comment se définit l'indépendance entre deux variables aléatoires X et Y ?

A. P(X ∈ B, Y ∈ B′) = P(X ∈ B) P(Y ∈ B′)

B. P(X ∈ B, Y ∈ B′) = P(X ∈ B) + P(Y ∈ B′)

C. X et Y ont la même loi

D. X et Y ont la même valeur

Answer: (A)

Spiegazione

Deux variables X et Y sont indépendantes si la probabilité qu'elles prennent des valeurs dans des ensembles B et B′ est le produit de leurs probabilités individuelles, ce qui montre qu'elles ne s'influencent pas mutuellement.