Quiz: Analyse complète du second degré — 12 domande

1. Quelle écriture correspond à la forme développée d’un trinôme du second degré ?

A. a(x-α)^2+β

B. a(x-x1)(x-x2)

C. ax^2+bx+c

D. (x-α)^2+β

Answer: (C)

Spiegazione

La forme développée d’un trinôme est bien ax^2+bx+c, ce qui permet d’identifier directement les coefficients a, b et c. Les autres écritures correspondent à la forme canonique ou factorisée.

2. Dans l’écriture f(x)=ax^2+bx+c, que représente l’ordonnée à l’origine ?

A. f(0)=b, donc le point d’intersection est (0;b)

B. f(1)=c, donc le point d’intersection est (1;c)

C. f(0)=c, donc le point d’intersection est (0;c)

D. f(0)=a, donc le point d’intersection est (0;a)

Answer: (C)

Spiegazione

En remplaçant x par 0, on obtient f(0)=c, donc l’intersection avec l’axe des ordonnées est le point (0;c). Le coefficient a concerne le terme en x^2, pas l’ordonnée à l’origine.

3. Dans la forme canonique f(x)=a(x-α)^2+β, que représente le nombre α ?

A. La valeur du discriminant

B. Le coefficient directeur de la parabole

C. L’abscisse du sommet

D. L’ordonnée du sommet

Answer: (C)

Spiegazione

Dans la forme canonique, α donne l’abscisse du sommet et β sa valeur. Le sommet est donc S(α;β).

4. Si une parabole a a>0 dans sa forme canonique, quelle conclusion est correcte ?

A. Son axe de symétrie est horizontal

B. Elle admet un maximum au sommet

C. Elle n’a pas de sommet

D. Elle admet un minimum au sommet

Answer: (D)

Spiegazione

Lorsque a>0, la parabole est tournée vers le haut, donc le sommet est un minimum. L’axe de symétrie reste la droite verticale x=α.

5. Quel est le discriminant d’un trinôme ax^2+bx+c ?

A. Δ=b^2-4ac

B. Δ=b^2+4ac

C. Δ=2a-b+c

D. Δ=a^2-4bc

Answer: (A)

Spiegazione

Le discriminant est défini par Δ=b^2-4ac. Il permet de déterminer le nombre de racines réelles du trinôme.

6. Que peut-on conclure si le discriminant est strictement négatif ?

A. Le trinôme n’a pas de racine réelle

B. Le trinôme a deux racines réelles distinctes

C. Le trinôme a une racine réelle double

D. Le trinôme se factorise en deux facteurs réels distincts

Answer: (A)

Spiegazione

Si Δ<0, il n’existe aucune racine réelle, donc l’ensemble des solutions est vide. On ne peut pas factoriser le trinôme sur ℝ sous forme de facteurs réels linéaires.

7. Quelle forme factorisée convient lorsque Δ>0 ?

A. a(x-α)^2+β

B. ax^2+bx+c

C. a(x-x1)(x-x2)

D. a(x+x1)(x+x2)

Answer: (C)

Spiegazione

Quand Δ>0, le trinôme admet deux racines réelles distinctes x1 et x2, donc il s’écrit a(x-x1)(x-x2). Le coefficient a doit rester devant les parenthèses.

8. Que peut-on dire de la factorisation sur ℝ si Δ<0 ?

A. Elle s’écrit a(x-x1)(x-x2)

B. Elle s’écrit toujours sous forme canonique

C. Elle s’écrit a(x-x0)^2

D. Elle est impossible sur ℝ

Answer: (D)

Spiegazione

Si Δ<0, il n’y a pas de racines réelles, donc aucune factorisation réelle en facteurs du premier degré n’est possible. Les formes a(x-x1)(x-x2) et a(x-x0)^2 ne conviennent pas dans ce cas.

9. Pour un trinôme du second degré avec deux racines réelles x1<x2, quel est le signe de la fonction sur l’intervalle ]x1;x2[ ?

A. Toujours nul

B. Impossible à déterminer sans β

C. Le même signe que a

D. Le signe opposé à a

Answer: (D)

Spiegazione

Entre les deux racines, le trinôme prend le signe opposé à celui de a. Le signe de a réapparaît aux extrémités, en dehors des racines.

10. Si a>0 dans la forme canonique, comment varie la fonction ?

A. Croissante puis décroissante

B. Toujours décroissante

C. Décroissante puis croissante

D. Toujours croissante

Answer: (C)

Spiegazione

Quand a>0, la parabole est tournée vers le haut : la fonction décroît jusqu’au sommet puis croît après lui. Le sommet correspond alors à un minimum.

11. Quelle méthode permet de décider rapidement du nombre de racines réelles d’un trinôme ?

A. Écrire directement la forme canonique

B. Calculer le discriminant Δ

C. Tracer seulement le tableau de signes

D. Calculer le sommet puis l’axe de symétrie

Answer: (B)

Spiegazione

Le discriminant Δ=b^2-4ac donne immédiatement le nombre de racines réelles : deux si Δ>0, une double si Δ=0, aucune si Δ<0. C’est la méthode de base pour conclure vite.

12. Dans l’équation x^2+2x-3=0, si l’on trouve une racine x1=1, quelle est l’autre racine ?

A. 2

B. -3

C. 3

D. -1

Answer: (B)

Spiegazione

Avec x1+x2=-b/a, on obtient 1+x2=-2, donc x2=-3. On peut aussi vérifier par le produit x1·x2=c/a=-3.