Flashcard: Analyse des fonctions continues et en escalier — 23 carte

Continuité — définition ?

La fonction f est continue en a si lim_{x→a} f(x)=f(a).

Uniforme continuité — rôle ?

Garantir un contrôle uniforme de la variation de f sur tout l’intervalle.

Intervalle non réduit à un point — importance ?

Permet la définition précise de l’uniforme continuité.

Fonction f : I→K — définition ?

Application définie sur I à valeurs dans K.

Support d’une subdivision — définition ?

Ensemble des points qui composent la subdivision.

Subdivision plus fine — signification ?

Une subdivision dont le support contient celui d’une autre.

Réunion de subdivisions — rôle ?

Forme une subdivision plus fine contenant les supports initiaux.

Subdivision adaptée — rôle ?

Partition où la fonction est constante sur chaque sous-intervalle.

Fonction en escalier — définition ?

Fonction constante par morceaux sur un segment.

Structure des fonctions en escalier — caractéristique ?

Constantes sur chaque intervalle entre points de subdivision.

Intégrale d’une fonction en escalier — calcul ?

Somme des hauteurs fois largeurs, avec signes.

Fonction continue par morceaux — définition ?

Continue sur chaque sous-intervalle d’une subdivision finie.

Stabilité des fonctions cpm — principe ?

Modifications finies ne changent pas l’intégrale.

Approximation uniforme — but ?

Approcher f par fonctions en escalier avec erreur uniforme tendant vers 0.

Construction de l’intégrale — étape clé ?

Limite de sommes de Riemann ou intégrale de fonctions en escalier.

Primitive — définition ?

Fonction F dérivable avec F'=f.

Intégrale et primitive — lien ?

∫_a^b f = F(b)−F(a) si F est primitive de f.

Propriétés de l’intégrale — premières ?

Chasles, linéarité, positivitée, inégalité triangulaire.

Intégrale d’une cpm — comment ?

Limite des sommes de Riemann sur subdivisions.

Modification en points finis — effet sur intégrale ?

Aucune, l’intégrale reste inchangée.

Approximation par fonctions en escalier — méthode ?

Découper, remplacer par constantes, contrôler erreur, passer à la limite.

Taylor avec reste intégral — formule ?

f(x)=∑_{k=0}^n (f^{(k)}(a)/k!)(x−a)^k + ∫_a^x f^{(n+1)}(t)/(n!) (x−t)^n dt.

Relation entre intégrale et primitive — principe ?

Une primitive F de f vérifie ∫_a^b f = F(b)−F(a).