Analyse des limites et développement limité

📋 Plan du Cours

1. Limites de fonctions
2. Définition développement limité
3. Propriétés développement limité
4. Calculs de limites avec dérivées
5. Applications des développements limités
6. Étude asymptotique
7. Approximation polynomiale
8. Développements classiques
9. Développement de Taylor-Young
10. Développement de Maclaurin
11. Développements généralisés
12. Erreur d’approximation

📖 1. Limites de fonctions

🔑 Notions clés & Définitions

• Définition de la limite en un point fini :
  La limite d’une fonction $f$ en un point $a$ (fini ou à l’infini) est la valeur $L$ vers laquelle $f(x)$ tend lorsque $x$ approche $a$. Formellement, on dit que $\lim_{x \to a} f(x) = L$ si pour tout $\varepsilon > 0$, il existe $\delta > 0$ tel que si $|x - a| < \delta$, alors $|f(x) - L| < \varepsilon$.
  (source : préface, notions fondamentales)

• Propriétés fondamentales des limites :

  • La limite d’une somme est la somme des limites : $\lim_{x \to a} [f(x) + g(x)] = \lim_{x \to a} f(x) + \lim_{x \to a} g(x)$.
  • La limite d’un produit est le produit des limites : $\lim_{x \to a} [f(x) \times g(x)] = (\lim_{x \to a} f(x)) \times (\lim_{x \to a} g(x))$.
  • La limite d’un quotient (si la limite du dénominateur n’est pas nulle) : $\lim_{x \to a} \frac{f(x)}{g(x)} = \frac{\lim_{x \to a} f(x)}{\lim_{x \to a} g(x)}$.
    (source : préface, propriétés fondamentales)