\(-\infty\)
Spiegazione
Le logarithme népérien décroît sans borne quand son argument tend vers 0 par valeurs positives. Ce n’est donc ni une limite finie ni une divergence vers \(+\infty\).
\(-\infty\)
Spiegazione
Quand \(x\) tend vers 0 par valeurs négatives, \(\frac1x\) devient très grand en valeur absolue et reste négatif. La limite est donc \(-\infty\).
0
Spiegazione
Si le module de \(q\) est strictement inférieur à 1, les puissances \(q^n\) se rapprochent de 0. Le signe de \(q\) n’empêche pas cette convergence.
Quand \(f(x)\) tend vers \(a\) lorsque \(x\to\pm\infty\)
Spiegazione
Une asymptote horizontale correspond à une limite finie à l’infini. Si \(f(x)\to a\) quand \(x\to\pm\infty\), alors la droite \(y=a\) est asymptote horizontale.
\(g\) tend aussi vers \(\ell\)
Spiegazione
C’est le théorème d’encadrement : si deux fonctions qui encadrent \(g\) ont la même limite finie, alors \(g\) a cette même limite. La valeur de \(\ell\) est donc conservée.
Elle converge
Spiegazione
Une suite monotone bornée converge. Le majorant borne la suite, mais la limite n’est pas forcément égale à ce majorant.
Aucune racine réelle
Spiegazione
Quand \(\Delta<0\), le trinôme n’admet pas de solution réelle. Dans ce cas, son signe est celui de \(a\) partout.
Il est toujours strictement positif
Spiegazione
La fonction exponentielle ne prend jamais de valeur nulle ou négative : \(e^x>0\) pour tout réel \(x\). À \(x=0\), on obtient \(e^0=1\), pas 0.
\(y=f'(a)(x-a)+f(a)\)
Spiegazione
L’équation de la tangente combine la pente \(f'(a)\) et le point \((a,f(a))\). La forme correcte est donc \(y=f'(a)(x-a)+f(a)\).
Elle est négative
Spiegazione
Une fonction concave se caractérise par une dérivée décroissante, ce qui correspond à une dérivée seconde négative. À l’inverse, une fonction convexe a une dérivée seconde positive.
$x\mapsto Ce^{-ax}$ avec $C\in\mathbb{R}$
Spiegazione
Pour une équation homogène du type $y'+ay=0$, les solutions sont exponentielles et s’écrivent $Ce^{-ax}$. La forme $Ce^{ax}$ correspondrait à une autre équation.
On remplace $x$ par la valeur initiale puis on résout l’équation obtenue pour $C$
Spiegazione
Une condition initiale consiste à évaluer la solution en un point donné, ce qui permet de calculer la constante $C$. On ne la trouve pas par dérivation supplémentaire.
L’aire sous la courbe sur cet intervalle
Spiegazione
Si la fonction est continue et positive, l’intégrale correspond à l’aire sous la courbe. Elle ne représente ni une pente ni une valeur maximale.
$\int_a^b (g-f)(x)\,dx$
Spiegazione
L’aire entre deux courbes se calcule avec la différence « courbe du dessus moins courbe du dessous », donc $\int_a^b (g-f)\,dx$. L’expression $\int_a^b (f-g)\,dx$ donnerait l’opposé.
$\dfrac{P(A\cap B)}{P(A)}$
Spiegazione
La probabilité conditionnelle de $B$ sachant $A$ est définie par $P_A(B)=\frac{P(A\cap B)}{P(A)}$. Le produit $P(A)P(B)$ correspond au cas d’indépendance.
$V(X)=E[X^2]-(E[X])^2$
Spiegazione
La variance s’écrit $V(X)=E[(X-E(X))^2]=E[X^2]-(E[X])^2$. Cette formule mesure la dispersion autour de l’espérance.
Des épreuves identiques et indépendantes
Spiegazione
Un schéma de Bernoulli repose sur des épreuves identiques et indépendantes, chacune ayant une probabilité de succès fixée. Les épreuves dépendantes ne conviennent pas à ce cadre.
$\binom{n}{k}p^k(1-p)^{n-k}$
Spiegazione
La loi binomiale s’écrit $P(X=k)=\binom{n}{k}p^k(1-p)^{n-k}$. Les autres expressions confondent la loi avec des moments ou inversent les puissances.
Quand leurs vecteurs directeurs sont colinéaires
Spiegazione
Deux droites sont parallèles si et seulement si leurs vecteurs directeurs sont colinéaires. L’orthogonalité indique au contraire une direction perpendiculaire.
$a(x-x_A)+b(y-y_A)+c(z-z_A)=0$
Spiegazione
L’équation cartésienne d’un plan s’écrit avec un vecteur normal et un point du plan sous la forme $a(x-x_A)+b(y-y_A)+c(z-z_A)=0$. Les autres propositions ne décrivent pas un plan général.
0
Spiegazione
En Python, les indices commencent à 0, donc le premier élément est à l’indice 0. L’indice -1 désigne au contraire le dernier élément.
Elle ajoute `x` à la fin de la liste `L`
Spiegazione
La méthode `append` ajoute un élément à la fin de la liste. La suppression de la première occurrence correspond plutôt à `remove(x)`.
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Fonction $x o x^n$ — limite à $ o o otinfty$ ?
Dépend de la parité et du signe de $n$.
Exponentielle $e^x$ — limite quand $x o- o- otinfty$ ?
Vers 0.
Logarithme $ o o otinfty$ — limite quand $x o0^+$ ?
Vers $- otinfty$.
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