Scheda di revisione: Analyse des nuages de points et ajustements linéaires

📋 Plan du Cours

1. Nuage de points d’une série à deux variables
2. Point moyen du nuage de points
3. Ajustement affine d’un nuage de points
4. Droite de régression par moindres carrés
5. Estimations par ajustement affine
6. Changement de variables pour autre ajustement

📖 1. Nuage de points d’une série à deux variables

🔑 Notions clés & Définitions

• Série statistique à deux variables : Une série statistique à deux variables décrit l’étude simultanée de deux grandeurs quantitatives sur les mêmes individus.
• Variables quantitatives X et Y : Les variables quantitatives X et Y sont deux mesures numériques associées à chaque individu de la série.
• Nuage de points : Le nuage de points est l’ensemble des points de coordonnées (xi ; yi) obtenus à partir des relevés de la série.
• Indice i : L’indice i repère chaque individu et parcourt toutes les valeurs de 1 à N pour former le nuage.
• Série chronologique : Une série est dite chronologique lorsque la variable X correspond à des dates.

📝 Points essentiels

• Le nuage de points associe à chaque i un point de coordonnées (xi ; yi).
• L’indice i prend toutes les valeurs entières de 1 à N, où N est le nombre de relevés.
• Les valeurs xi et yi proviennent du tableau des N séries de relevés.
• Si X représente des dates, la série est qualifiée de chronologique.
• Le nuage de points se construit dans un repère du plan avec X en abscisse et Y en ordonnée.
• L’exemple clients/chiffre d’affaires illustre le passage du tableau aux points (xi ; yi).

💡 Astuce mémo

Nuage = (xi ; yi) pour i de 1 à N : même i, deux coordonnées.

📖 2. Point moyen du nuage de points

🔑 Notions clés & Définitions

• Moyenne de X : La moyenne de X, notée x̄, est la moyenne des valeurs xi de la série.
• Moyenne de Y : La moyenne de Y, notée ȳ, est la moyenne des valeurs yi de la série.
• Point moyen G : Le point moyen G est le point de coordonnées (x̄ ; ȳ) associé au nuage de points.

📝 Points essentiels

• Le point moyen a pour coordonnées (x̄ ; ȳ).
• x̄ est calculée à partir des valeurs xi, et ȳ à partir des valeurs yi.
• Dans l’exemple clients/chiffre d’affaires, x̄ = (7+9+10+13+15+18)÷6.
• Dans l’exemple clients/chiffre d’affaires, ȳ = (30+37+45+56+69+81)÷6.
• Le point moyen G se place dans le nuage pour résumer la tendance centrale.
• Dans l’exemple, G a pour coordonnées (12 ; 53).

💡 Astuce mémo

G(x̄ ; ȳ) : G est au centre des moyennes des deux colonnes.

📖 3. Ajustement affine d’un nuage de points

🔑 Notions clés & Définitions

• Ajustement du nuage : Un ajustement du nuage est une relation (souvent une courbe) qui passe au plus près des points pour modéliser la tendance.
• Relation approximative X → Y : Une relation approximative décrit comment Y varie en fonction de X, sans prétendre à une exactitude parfaite.
• Fonction affine : Une fonction affine est une fonction de la forme y = ax + b utilisée pour modéliser une tendance linéaire.
• Droite d’ajustement : Une droite d’ajustement est une droite tracée pour passer au plus près du nuage de points.

📝 Points essentiels

• L’objectif est de chercher une courbe passant au plus près des points du nuage.
• L’allure du nuage peut suggérer une forme de fonction f.
• Un ajustement affine consiste à trouver une fonction affine exprimant y en fonction de x.
• Une droite d’ajustement affine est une droite qui suit au mieux la tendance du nuage.
• La meilleure droite d’ajustement affine est la droite de régression de y en x par moindres carrés.
• Si l’ajustement affine semble inadapté, on peut envisager un autre type de courbe puis changer de variables.

💡 Astuce mémo

Ajustement affine = modéliser Y par une droite en fonction de X.

📖 4. Droite de régression par moindres carrés

🔑 Notions clés & Définitions

• Méthode des moindres carrés : La méthode des moindres carrés choisit la droite qui rend minimale la somme des carrés des écarts entre valeurs observées et valeurs prédites.
• Droite de régression de y en x : La droite de régression de y en x est la droite d’ajustement affine obtenue par moindres carrés pour prédire y à partir de x.
• Somme des carrés des écarts : La somme des carrés des écarts mesure l’écart global entre les points observés et la droite, en additionnant des carrés.

📝 Points essentiels

• La droite de régression est obtenue par la méthode des moindres carrés.
• La méthode cherche à rendre la somme (M1N1)² + (M2N2)² + ... + (MnNn)² la plus petite possible.
• On admet que la droite existe et est unique.
• La calculatrice est utilisée pour déterminer la droite de régression.
• La régression est faite de y en x, donc on prédit y à partir de x.
• La droite de régression correspond à la meilleure droite d’ajustement affine.

💡 Astuce mémo

Moindres carrés = on minimise la somme des carrés des écarts : carré = pénalisation forte des grosses erreurs.

📖 5. Estimations par ajustement affine

🔑 Notions clés & Définitions

• Estimation : Une estimation est une valeur calculée à partir de l’ajustement pour répondre à une question sur Y.
• Extrapolation : L’extrapolation consiste à estimer une valeur en dehors de l’intervalle des valeurs connues de X.
• Interpolation : L’interpolation consiste à estimer une valeur entre deux valeurs connues de X.

📝 Points essentiels

• À partir de l’ajustement affine, on peut estimer des valeurs de Y.
• Extrapoler signifie donner une valeur à l’extérieur des valeurs connues de X.
• Interpoler signifie donner une valeur entre deux valeurs connues de X.
• L’exemple population demande une estimation pour l’année 2020 via la droite d’ajustement.
• Le calcul de la droite d’ajustement affine est une étape préalable aux estimations.
• Les estimations reposent sur la relation affine obtenue (droite de régression).

💡 Astuce mémo

Interpo = entre, Extrap = dehors.

📖 6. Changement de variables pour autre ajustement

🔑 Notions clés & Définitions

• Autre ajustement : Un autre ajustement est une modélisation par une courbe non affine quand la droite ne décrit pas correctement la tendance.
• Changement de variables : Un changement de variables transforme les données pour se ramener à un ajustement affine plus simple à calculer.
• Variable u : La variable u est une nouvelle grandeur calculée à partir de x pour permettre un ajustement affine en u.
• Variable z : La variable z est une nouvelle grandeur calculée à partir de y pour permettre un ajustement affine en fonction de x.

📝 Points essentiels

• Quand l’ajustement affine semble inadapté, on peut utiliser une courbe (exponentielle, logarithmique, polynomiale...).
• On effectue alors un changement de variables pour se ramener à un ajustement affine.
• Exemple 2 : u_i = x_i² et on ajuste affine sur la série (u_i ; y_i).
• Exemple 2 : si y = 0,5 u + 2, alors y s’exprime en fonction de x via u = x².
• Exemple 3 : on pose z = log y puis on fait la droite d’ajustement affine de z en x.
• Exemple 3 : le tableau donne x de 0 à 5 et y correspondants, puis z est utilisé pour l’ajustement.

💡 Astuce mémo

Changer de variables = transformer pour retrouver une droite : u(x) ou z(y) puis régression.

📊 Tableaux de synthèse

Ajustement affine vs autre ajustement

Situation	Type de modèle	Action
Nuage compatible avec une droite	Fonction affine	Faire la droite de régression (moindres carrés)
Nuage pas bien décrit par une droite	Courbe non affine	Envisager une autre courbe puis changer de variables pour revenir à l’affine

⚠️ Pièges & confusions fréquents

1. Confondre le nuage de points avec la liste des valeurs : le nuage est un ensemble de points (xi ; yi).
2. Inverser les coordonnées du point moyen : G est (x̄ ; ȳ), pas (ȳ ; x̄).
3. Chercher une relation exacte : l’ajustement décrit une tendance approximative.
4. Confondre extrapolation et interpolation : extrapoler est hors de l’intervalle des X connus, interpoler est entre deux X connus.
5. Oublier que la régression est de y en x : on prédit y à partir de x.
6. Faire le changement de variables sans l’appliquer à la formule finale : si u = x², alors y = 0,5x² + 2.

✅ Checklist Examen

1. Savoir définir le nuage de points d’une série à deux variables et construire les points (xi ; yi) pour i de 1 à N.
2. Savoir calculer x̄ et ȳ puis donner les coordonnées du point moyen G (x̄ ; ȳ).
3. Savoir expliquer ce qu’est un ajustement affine et ce qu’est une droite d’ajustement passant au plus près.
4. Savoir caractériser la droite de régression par moindres carrés comme la droite qui minimise la somme des carrés des écarts et reconnaître qu’elle est unique.
5. Savoir utiliser l’ajustement affine pour faire une estimation par interpolation ou extrapolation.
6. Savoir décrire l’idée d’un changement de variables pour obtenir un ajustement affine (u = x² ou z = log y) et exprimer ensuite y en fonction de x.