Quiz: Analyse des trinômes du second degré — 14 domande

1. Quelle écriture correspond à un trinôme du second degré ?

A. P(x)=bx^2+c avec b eq 0

B. P(x)=ax+b avec a eq 0

C. P(x)=ax^2+bx+c avec a eq 0

D. P(x)=ax^3+bx^2+c avec a eq 0

Answer: (C)

Spiegazione

Un trinôme du second degré s’écrit sous la forme ax^2+bx+c avec a non nul, ce qui garantit bien un terme de degré 2. Si a=0, l’expression ne serait plus du second degré.

2. Dans l’expression P(x)=ax^2+bx+c, quel rôle jouent a, b et c ?

A. Ce sont les coefficients du trinôme

B. Ce sont les abscisses du sommet

C. Ce sont les racines du trinôme

D. Ce sont les valeurs de P(x) aux points 0, 1 et 2

Answer: (A)

Spiegazione

Les réels a, b et c sont les coefficients de l’expression ax^2+bx+c. Les racines, elles, sont les solutions de P(x)=0.

3. Quelle est la forme canonique d’un trinôme du second degré ?

A. P(x)=a(x-α)^2+β

B. P(x)=a(x+α)(x+β)

C. P(x)=a x^2+α x+β

D. P(x)=α(x-β)^2+a

Answer: (A)

Spiegazione

La forme canonique s’écrit P(x)=a(x-α)^2+β avec a eq 0. Elle met en évidence le sommet de la parabole et facilite l’étude des variations.

4. Que signifie qu’un réel α est une racine d’un polynôme ?

A. Cela signifie que α est le coefficient de x^2

B. Cela signifie que P'(α)=0

C. Cela signifie que P(α)=0

D. Cela signifie que le polynôme est factorisé en deux termes

Answer: (C)

Spiegazione

Une racine est un réel qui annule le polynôme, donc P(α)=0. La dérivée n’intervient pas dans cette définition.

5. Quelle est la valeur du discriminant d’un trinôme ax^2+bx+c ?

A. Δ=(b-2a)(b+2c)

B. Δ=a^2+b^2+c^2

C. Δ=2a-b+c

D. Δ=b^2-4ac

Answer: (D)

Spiegazione

Le discriminant est défini par Δ=b^2-4ac. C’est lui qui permet de savoir combien de racines réelles possède le trinôme.

6. Que peut-on conclure si le discriminant d’un trinôme est strictement négatif ?

A. Il est forcément nul en un point

B. Il a deux racines réelles distinctes

C. Il a exactement une racine réelle double

D. Il n’a pas de racine réelle et ne se factorise pas en facteurs linéaires réels

Answer: (D)

Spiegazione

Si Δ<0, le trinôme n’a aucune racine réelle et ne se décompose pas en produit de facteurs du premier degré réels. Les cas de racine double ou de deux racines distinctes correspondent respectivement à Δ=0 et Δ>0.

7. Si un trinôme a un discriminant strictement négatif, quel est son signe sur ℝ ?

A. Il garde le signe de a sur tout ℝ

B. Il change de signe entre deux racines réelles

C. Il a un signe opposé à celui de a

D. Il est toujours nul sur ℝ

Answer: (A)

Spiegazione

Quand Δ<0, le trinôme ne s’annule pas et conserve donc le signe de a sur tout ℝ. Il n’existe pas d’intervalle entre racines puisque celles-ci sont absentes.

8. Dans le cas où Δ>0 et x1<x2, quel est le comportement du signe du trinôme entre les deux racines ?

A. Il reste constant et égal à 0 sur ]x1,x2[

B. Il ne peut être étudié qu’avec la dérivée

C. Il garde forcément le signe de a sur ]x1,x2[

D. Il change de signe sur l’intervalle ]x1,x2[

Answer: (D)

Spiegazione

Lorsque Δ>0, le signe du trinôme change entre les deux racines x1 et x2. C’est précisément ce que met en évidence le tableau de signes.

9. Quelle est l’abscisse de l’extremum de la fonction f(x)=ax^2+bx+c ?

A. -a/(2b)

B. -b/(2a)

C. -c/b

D. b/(2a)

Answer: (B)

Spiegazione

L’extremum est atteint pour x=α=-b/(2a). Cette valeur dépend des coefficients a et b, pas de c.

10. Si a>0 pour f(x)=ax^2+bx+c, comment évolue la fonction autour de son extremum ?

A. Elle décroît puis croît

B. Elle est constante puis décroît

C. Elle décroît sur tout ℝ

D. Elle croît puis décroît

Answer: (A)

Spiegazione

Quand a>0, la parabole est tournée vers le haut : la fonction décroît jusqu’à α puis croît au-delà. Le cas a<0 inverse ces variations.

11. Quelle est l’orientation d’une parabole lorsque le coefficient a est positif ?

A. Elle est tournée vers le bas

B. Elle n’a pas de sommet

C. Elle est symétrique par rapport à l’axe des ordonnées

D. Elle est tournée vers le haut

Answer: (D)

Spiegazione

Si a>0, la parabole est orientée vers le haut. Si a<0, elle est orientée vers le bas.

12. Quelle est l’équation de l’axe de symétrie d’une parabole d’équation y=ax^2+bx+c ?

A. x=c/a

B. y=-b/(2a)

C. y=a/b

D. x=-b/(2a)

Answer: (D)

Spiegazione

L’axe de symétrie est la droite verticale x=-b/(2a). Il passe par l’abscisse du sommet et partage la parabole en deux parties symétriques.

13. Combien de points d’intersection une parabole a-t-elle avec l’axe des abscisses lorsque Δ>0 ?

A. Deux points

B. Aucun point

C. Une infinité de points

D. Un seul point

Answer: (A)

Spiegazione

Si Δ>0, le trinôme possède deux racines réelles, donc la parabole coupe l’axe des abscisses en deux points. Le cas Δ=0 correspond à un seul point de contact.

14. Que peut-on dire de la parabole si, sur un intervalle I, ax^2+bx+c est strictement négatif ?

A. Elle est confondue avec l’axe des abscisses sur I

B. Elle est au-dessus de l’axe des abscisses sur I

C. Elle coupe l’axe des abscisses en deux points sur I

D. Elle est strictement en dessous de l’axe des abscisses sur I

Answer: (D)

Spiegazione

Si l’expression est strictement négative sur I, les points de la parabole sont situés en dessous de l’axe des abscisses sur cet intervalle. Une valeur strictement négative exclut tout contact avec l’axe.