Quiz: Analyse du second degré : formes, discriminant et racines — 10 domande

1. Quelle est l’écriture développée d’une fonction polynôme du second degré ?

A. f(x)=a(x−α)²+β avec a≠0

B. f(x)=ax²+bx+c avec a≠0

C. f(x)=bx+c avec a≠0

D. f(x)=a(x−x1)(x−x2) avec a≠0

Answer: (B)

Spiegazione

La forme développée d’un polynôme du second degré est bien f(x)=ax²+bx+c, avec a non nul. Les autres écritures correspondent à la forme canonique ou factorisée, ou à une fonction du premier degré.

2. Que représente le coefficient c dans l’expression f(x)=ax²+bx+c ?

A. L’abscisse du sommet

B. La valeur de f en 0

C. La somme des racines

D. Le coefficient directeur de la droite tangente

Answer: (B)

Spiegazione

Le terme constant c est égal à f(0). Il ne correspond ni à l’abscisse du sommet ni à une somme de racines.

3. Dans la forme canonique f(x)=a(x−α)²+β, que représente le point (α,β) ?

A. Le centre du segment reliant les racines

B. L’ordonnée à l’origine

C. Le sommet de la parabole

D. Une racine double

Answer: (C)

Spiegazione

Le point (α,β) est le sommet de la parabole. La valeur β correspond à l’extrémum, tandis que α indique où il est atteint.

4. Si a>0 dans f(x)=a(x−α)²+β, comment varie la fonction ?

A. Elle change de signe en x=α

B. Elle est constante sur ℝ

C. Elle croît puis décroît, avec un maximum en x=α

D. Elle décroît puis croît, avec un minimum en x=α

Answer: (D)

Spiegazione

Quand a>0, la fonction est strictement décroissante sur ]−∞;α] puis strictement croissante sur [α;+∞[, et son minimum vaut β en x=α. La proposition avec maximum correspond au cas a<0.

5. Quelle est la conséquence de Δ<0 pour l’équation ax²+bx+c=0 ?

A. Elle admet une solution réelle double

B. Elle se factorise en deux facteurs réels

C. Elle n’admet aucune solution réelle

D. Elle admet exactement deux solutions réelles

Answer: (C)

Spiegazione

Si Δ<0, l’équation n’a pas de solution dans ℝ. Dans ce cas, il n’y a pas non plus de factorisation réelle du trinôme.

6. Quand Δ<0, quel est le signe de f(x)=ax²+bx+c pour tout réel x ?

A. Le signe de a

B. Le signe opposé de a

C. Le signe de c

D. Le signe de b

Answer: (A)

Spiegazione

Lorsque Δ<0, f(x) garde le signe de a pour tout réel x. Cela traduit l’absence de racines réelles et donc l’absence de changement de signe.

7. Que signifie Δ=0 pour une équation du second degré ?

A. Elle admet une unique solution réelle

B. Elle n’admet aucune solution réelle

C. Elle admet deux solutions réelles distinctes

D. Elle admet une infinité de solutions

Answer: (A)

Spiegazione

Quand Δ=0, l’équation possède une seule solution réelle, appelée racine double. Ce n’est donc pas le cas de deux racines distinctes.

8. Quelle écriture de f(x) est obtenue lorsque Δ=0 ?

A. f(x)=a(x−x1)(x−x2)

B. f(x)=a(x−α)+β

C. f(x)=a(x−x0)²

D. f(x)=ax²+bx+c sans autre forme

Answer: (C)

Spiegazione

Si Δ=0, le trinôme s’écrit f(x)=a(x−x0)², ce qui montre la racine double en x0. La forme avec deux facteurs distincts correspond au cas Δ>0.

9. Que garantit un discriminant strictement positif, Δ>0 ?

A. Une unique solution réelle

B. Deux solutions réelles distinctes

C. Une racine complexe unique

D. Aucune solution réelle

Answer: (B)

Spiegazione

Si Δ>0, l’équation admet deux solutions réelles distinctes. C’est le cas où le trinôme peut être factorisé en produit de deux facteurs réels différents.

10. Quand Δ>0, quel est le signe de f(x) entre les deux racines x1 et x2 ?

A. Le signe de a

B. Le signe de b

C. Le signe de c

D. Le signe de −a

Answer: (D)

Spiegazione

Entre les racines, f(x) prend le signe opposé à celui de a, donc le signe de −a. À l’extérieur des racines, elle reprend le signe de a.