Flashcard: Biostatistiques et probabilités — 85 carte

Quelles sont les caractéristiques d'une expérience aléatoire ?

Elle peut être répétée, a au moins deux résultats possibles et un résultat imprévisible.

Comment est représenté un événement en probabilité ?

Par une lettre majuscule.

Que signifie l'intersection A ∩ B en probabilité ?

Elle signifie qu'A et B se réalisent simultanément.

Que signifie l'union A ∪ B en probabilité ?

Elle signifie qu'A ou B, au moins l'un des deux, se réalise.

Qu'est-ce que l'événement contraire de E ?

C'est la non-réalisation de E.

Que désigne la notation P_B(A) ?

La probabilité qu'A se réalise sachant que B est réalisé.

Quelle formule donne la probabilité en situation d’équiprobabilité ?

P(E)=card(E)/card(Ω).

Comment s'exprime P(A∪B) en fonction de P(A), P(B) et P(A∩B) ?

P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(A∩B).

Quelle formule donne P(A∪B∪C) en fonction des probabilités simples et intersections ?

P(A∪B∪C)=P(A)+P(B)+P(C)-P(A∩B)-P(A∩C)-P(B∩C)+P(A∩B∩C).

Comment s'exprime la probabilité conditionnelle P_B(A) ?

P_B(A)=P(A∩B)/P(B).

Quelle formule relie P(A∩B) aux probabilités conditionnelles ?

P(A∩B)=P(A)P_A(B)=P(B)P_B(A).

Quand construit-on un arbre de probabilités ?

Lorsque l’énoncé fournit des probabilités conditionnelles.

Comment place-t-on les branches et probabilités dans un arbre de probabilités ?

On place une branche pour chaque issue avec la probabilité correspondante.

Quelle est la formule des probabilités totales pour un événement A et sa partition ?

P(B)=P(A)P_A(B)+P(Ā)P_Ā(B).

Comment calcule-t-on une probabilité totale sur un arbre ?

On multiplie les probabilités de chaque chemin puis on additionne les chemins menant à l’événement.

Quand deux événements E et F sont-ils incompatibles ?

Quand ils ne peuvent pas se produire simultanément.

Quelle est la condition probabiliste d’incompatibilité entre E et F ?

P(E∩F)=0.

Quand deux événements A et B sont-ils indépendants ?

Quand la réalisation de l’un ne modifie pas la probabilité de l’autre.

Quelle formule caractérise l’indépendance de A et B ?

P(A∩B)=P(A)P(B).

Qu'est-ce que la sensibilité d'un test diagnostique ?

La probabilité que le test soit positif chez un sujet malade.

Qu'est-ce que la spécificité d'un test diagnostique ?

La probabilité que le test soit négatif chez un sujet sain.

Comment calcule-t-on la sensibilité à partir des résultats a et c ?

Sensibilité = a divisé par (a + c).

Comment calcule-t-on la spécificité à partir des résultats b et d ?

Spécificité = d divisé par (b + d).

Quelle est la formule de la probabilité globale d'erreur d'un test ?

P(erreur) = p(1 - Se) + (1 - p)(1 - Spe).

Qu'est-ce que la valeur prédictive positive d'un test ?

La probabilité qu'un sujet soit malade si son test est positif.

Quelle est la formule de la valeur prédictive positive en fonction de p, Se et Spe ?

VPP = (p × Se) divisé par [p × Se + (1 - p) × (1 - Spe)].

Quelle stratégie privilégie-t-on en dépistage par rapport au diagnostic ?

On recherche une grande sensibilité en dépistage et une grande spécificité en diagnostic.

Qu'est-ce que l'espérance d'une variable aléatoire ?

C'est une constante appelée moyenne théorique ou valeur attendue.

Quelle est la formule de linéarité pour E(aX+b) ?

E(aX+b) = aE(X) + b.

Comment s'exprime E(aX+bY) en fonction de E(X) et E(Y) ?

E(aX+bY) = aE(X) + bE(Y).

Que vaut E(XY) si X et Y sont indépendantes ?

E(XY) = E(X) × E(Y).

Que mesure la variance d'une variable aléatoire ?

Elle mesure la dispersion des valeurs autour de leur moyenne.

Quelle est la formule de la variance en fonction de l'espérance ?

Var(X) = E[(X - E(X))²] = E(X²) - [E(X)]².

Comment varie la variance sous transformation affine Var(aX+b) ?

Var(aX+b) = a² Var(X).

Quelle est la définition de la variable centrée Y à partir de X ?

Y = X - E(X).

Qu'indique la loi de probabilité d'une variable aléatoire discrète ?

Elle donne toutes les valeurs possibles et leur probabilité associée.

Quelle condition doivent vérifier les probabilités d'une loi discrète à n valeurs ?

La somme des probabilités doit être égale à 1.

Comment calcule-t-on l'espérance d'une variable discrète ?

E(X) est la somme des produits p_i par x_i.

Quelle est la formule de la variance d'une variable discrète ?

Var(X) est la somme des p_i fois (x_i moins E(X)) au carré.

Qu'est-ce que le mode d'une variable aléatoire discrète ?

C'est la ou les valeurs avec la probabilité la plus élevée.

Comment s'exprime la fonction de répartition d'une variable discrète ?

F(x) est la somme des probabilités P(X = t) pour t ≤ x.

Qu'impose une loi de Bernoulli de paramètre π à une variable ?

Elle prend 1 avec probabilité π et 0 avec probabilité 1-π.

Quelle est l'espérance d'une variable suivant une loi de Bernoulli B(π) ?

L'espérance est égale à π.

Quelle est la variance d'une variable suivant une loi de Bernoulli B(π) ?

La variance est π fois 1 moins π.

Que modélise une loi binomiale ?

Le nombre de succès en n épreuves indépendantes à deux issues.

Quelle est la formule de la probabilité P(X=k) pour X suivant Bin(n,π) ?

P(X=k) = C(n,k) π^k (1-π)^{n-k} pour k entre 0 et n.

Quelle est l'espérance d'une variable suivant une loi binomiale Bin(n,π) ?

L'espérance est n fois π.

Quelle est la variance d'une variable suivant une loi binomiale Bin(n,π) ?

La variance est n π (1-π).

Comment s'exprime le coefficient binomial C(n,k) ?

C(n,k) = n! divisé par k! fois (n-k)!

Qu'est-ce que la loi de Poisson modélise ?

Un comptage pendant une durée, longueur, surface ou volume donné.

Quelle est la formule de la probabilité pour X ~ P(λ) d'obtenir k ?

P(X=k)=e^{-λ}λ^k/k!.

Quelle est l'espérance d'une variable de Poisson ?

L'espérance est égale à λ.

Quelle est la variance d'une variable de Poisson ?

La variance est égale à λ.

Que vaut la loi de la somme de variables indépendantes de Poisson ?

Une loi de Poisson de paramètre somme des paramètres.

Quel est le paramètre λ pour le nombre d'adultes aux urgences en t heures ?

λ = 4t.

Quelle est la valeur de λ pour une après-midi de 5 heures aux urgences ?

λ = 20.

Quand une loi binomiale peut-elle être approchée par une loi de Poisson ?

Quand n est grand et π est petit avec λ = nπ.

Qu'est-ce qu'une variable aléatoire continue ?

Une variable aléatoire continue prend une infinité de valeurs dans un intervalle donné.

Quelles conditions doit satisfaire une fonction pour être une densité de probabilité ?

Elle doit être positive ou nulle et son intégrale sur ℝ doit valoir 1.

Quelle formule exprime la probabilité locale pour une petite variation dx ?

P(x<X≤x+dx) ≈ f(x)·dx.

Que vaut P(a<X≤b) pour une variable continue ?

P(a<X≤b) = P(a≤X≤b).

Comment intégrer une densité définie par morceaux ?

On décompose l’intégrale sur chaque intervalle puis on additionne les résultats.

Quelle est la valeur de A pour normaliser la densité triangulaire f(x)=A(1-|x|) sur [-1,1] ?

A vaut 1 pour que l’aire du triangle soit 1.

Qu'est-ce qu'une variable suit une loi uniforme sur [a,b] ?

Sa densité vaut 1/(b-a) pour a ≤ x ≤ b et 0 sinon.

Quelle est l'espérance d'une variable X suivant U([a,b]) ?

E(X) = (a + b) / 2.

Quelle est la variance d'une variable X suivant U([a,b]) ?

Var(X) = (b - a)² / 12.

Comment calcule-t-on P(Y < 10) si Y suit U([6,16]) ?

P(Y < 10) = (10 - 6) / (16 - 6) = 0,40.

Que modélise la loi exponentielle avec un paramètre λ > 0 ?

Une durée de fonctionnement sans usure, vieillissement ni mémoire.

Quelle est la densité de X suivant la loi exponentielle E(λ) ?

f(x) = λ e^{-λ x}.

Quelle est la fonction de répartition de X suivant E(λ) ?

F(x) = 1 - e^{-λ x}.

Que signifie la propriété sans mémoire pour une variable exponentielle ?

P(X > a + u | X > a) = P(X > u).

Qu'est-ce qu'une variable suit une loi normale ?

Une variable continue avec densité donnée par la formule de la loi normale.

Quelle est la formule de la variable standardisée Z à partir de X~N(μ,σ²) ?

Z = (X - μ) / σ suit une loi normale centrée réduite.

Comment calcule-t-on une probabilité normale à partir de X ?

On transforme les bornes en scores réduits puis on utilise la fonction de répartition centrée réduite.

Quelle équation définit le percentile d’ordre p d’une loi normale ?

F((x_p - μ)/σ) = p où F est la fonction de répartition.

Quelle est la forme de l’intervalle de fluctuations de niveau 1−α d’une gaussienne ?

[E(X) - ε_ασ(X), E(X) + ε_ασ(X)].

Quelle est la largeur de l’intervalle de fluctuations d’une loi normale ?

Elle est égale à 2ε_ασ(X).

Qu'impose le théorème de la limite centrale ?

Il permet d'approcher certaines lois par une loi normale sous conditions.

Quelles conditions assurent qu'une loi binomiale est approximativement normale ?

Si nπ≥5 et n(1−π)≥5.

Quelle est la moyenne de Y quand Y suit une loi binomiale B(n,π) ?

La moyenne est nπ.

Quelle est la variance de Y quand Y suit une loi binomiale B(n,π) ?

La variance est nπ(1−π).

Quelle est l'espérance de la proportion observée Pₙ=Y/n ?

L'espérance est π.

Quelle est la variance de la proportion observée Pₙ=Y/n ?

La variance est π(1−π)/n.

Quand une loi de Poisson est-elle approximativement normale ?

Quand λ≥30.

Quelle loi suit la moyenne Mₙ de n variables indépendantes non normales si n≥30 ?

Mₙ suit approximativement une loi normale de moyenne μ et variance σ²/n.