Quiz: Calcul des dérivées et variations — 9 domande

1. Comment définit-on la fonction dérivée d’une fonction f sur un intervalle I ?

A. Elle associe à chaque réel x une primitive de f en x

B. Elle associe à chaque réel x la pente de la corde entre deux points fixes

C. Elle associe à chaque réel x le nombre dérivé de f en x

D. Elle associe à chaque réel x la valeur moyenne de f sur I

Answer: (C)

Spiegazione

La fonction dérivée est la fonction qui, à chaque réel x de I, fait correspondre le nombre dérivé f'(x). Les autres propositions confondent dérivée, primitive et moyenne.

2. Que définit exactement la fonction dérivée d'une fonction f en un point a?

A. La variation de f entre a et a+h.

B. La pente de la droite tangent à la graphique de f en a.

C. La valeur de f en a.

D. La limite du taux d’accroissement de f en a quand h tend vers 0.

Answer: (D)

Spiegazione

La fonction dérivée f'(a) est définie comme la limite du quotient (f(a+h)-f(a))/h lorsque h tend vers 0, ce qui mesure la pente de la tangente à la courbe en a.

3. Que représente le nombre dérivé de f en un point a ?

A. La somme des accroissements de f sur I

B. La limite du taux d’accroissement de f quand h tend vers 0

C. La valeur de f(a+h) pour un h fixé

D. La variation totale de f sur tout l’intervalle

Answer: (B)

Spiegazione

Le nombre dérivé en a est défini par la limite du quotient (f(a+h)-f(a))/h lorsque h tend vers 0. C’est la notion de taux d’accroissement instantané.

4. Que représente la fonction dérivée d'une fonction f en un point a dans le contexte de limite du taux d’accroissement?

A. La valeur de la fonction en a

B. La limite du taux d’augmentation de f quand h tend vers 0

C. La pente de la tangente à la courbe en a

D. La valeur absolue de la fonction en a

Answer: (B)

Spiegazione

La fonction dérivée en un point a mesure la limite du taux d’accroissement de f lorsque h tend vers 0, ce qui correspond à la pente de la tangente à la courbe en a.

5. Quelle est la dérivée de la fonction constante f(x)=a ?

A. a

B. ax

C. 0

D. 1/x

Answer: (C)

Spiegazione

La dérivée d’une fonction constante est nulle sur son ensemble de définition. La valeur a reste constante et ne produit donc aucune variation.

6. Quel est le rôle principal de la fonction dérivée d'une fonction f en un point a dans l'étude de cette fonction?

A. Elle calcule l'aire sous la courbe de f autour de a.

B. Elle mesure la valeur exacte de f en a.

C. Elle détermine la croissance ou la décroissance globale de f.

D. Elle donne la pente de la tangente à la courbe de f en a.

Answer: (D)

Spiegazione

La fonction dérivée en un point donne la pente de la tangente à la courbe de f en ce point, ce qui permet d'étudier les variations locales de la fonction.

7. Quelle est la dérivée de la fonction f(x)=1/x^5 pour x≠0 ?

A. -1/x^10

B. -5/x^6

C. -5/x^4

D. 5/x^6

Answer: (B)

Spiegazione

Pour une fonction de la forme 1/x^n, la dérivée vaut -n/x^{n+1}. En prenant n=5, on obtient bien -5/x^6.

8. Quand la dérivée d'une fonction f change-t-elle de signe lors de l'étude de ses variations sur un intervalle ?

A. Lorsque f(x) atteint une valeur maximale ou minimale

B. Lorsque f'(x) devient infinie en un point

C. Lorsque f'(x) est continue sur tout l'intervalle

D. Lorsque f'(x) passe de positive à négative ou inversement en un point critique

Answer: (D)

Spiegazione

Un changement de signe de la dérivée f'(x) en un point indique un passage de la croissance à la décroissance ou inversement, ce qui révèle un extremum potentiel.

9. En quoi la notion de changement de signe de la dérivée f' en un point c diffère-t-elle de la simple égalité de cette dérivée à zéro à ce même point ?

A. Le changement de signe indique un extremum potentiel, tandis que f'(c)=0 seul ne garantit pas un extremum.

B. La différence est que le changement de signe concerne la valeur de la fonction f, tandis que f'(c)=0 concerne la pente en c.

C. f'(c)=0 implique toujours un extremum, alors que le changement de signe ne concerne que la croissance.

D. Le changement de signe concerne uniquement les points où la dérivée n'existe pas, alors que f'(c)=0 concerne ceux où elle existe.

Answer: (A)

Spiegazione

Changer de signe en c indique un passage de la fonction de décroissante à croissante ou inversement, ce qui est un critère pour un extremum. La seule égalité à zéro de la dérivée ne suffit pas, car elle n'indique pas nécessairement un extremum si le signe ne change pas.