Flashcard: Coordonnées et transformations en analyse multivariée — 24 carte

Coordonnées cartésiennes — définition ?

Projections orthogonales sur axes du repère.

Coordonnées polaires — rôle ?

Représenter un point par distance et angle.

Relation x=ρcosθ — dans quoi ?

Conversion cartésien-polaire.

Relation y=ρsinθ — formule ?

x=ρcosθ, y=ρsinθ.

Changement de coordonnées — principe ?

Remplacer variables par expressions en nouvelles coordonnées.

Domaine d’une fonction — définition ?

Ensemble où elle est définie et régulière.

Image d’une fonction — rôle ?

Ensemble des valeurs possibles.

Continuité — signification ?

Pas de saut ou rupture locale.

Dérivées partielles — définition ?

Limites quand une variable varie, les autres fixes.

Fonction C1 — caractéristique ?

Dérivées partielles continues.

Formule de Taylor-Young — ordre 1 ?

f(p)=f(p0)+∇f(p0)·(p−p0)+o(‖p−p0‖).

Gradient — rôle ?

Indique la direction de croissance maximale.

Dérivée directionnelle — signification ?

Taux de variation dans une direction donnée.

Différentiel total — définition ?

Approximation linéaire locale de la fonction.

Jacobienne — rôle ?

Transforme les dérivées lors du changement de variables.

Théorème de Schwarz — affirmation ?

Dérivées secondes mixtes égales si régulière.

Hessienne — définition ?

Matrice des dérivées secondes.

Laplacien — formule ?

∂²f/∂x² + ∂²f/∂y² (+ ∂²f/∂z²).

Fonction harmonique — caractéristique ?

Laplacien nul : Δf=0.

Extremum local — condition ?

Gradient nul et signe de la Hessienne.

Hessienne positive — implication ?

Minimum local.

Hessienne négative — implication ?

Maximum local.

Matrice hessienne — rôle ?

Étudier la courbure locale.

Dérivées d’ordre supérieur — intérêt ?

Analyser la courbure et stabilité.