Scheda di revisione: Coordonnées et transformations en analyse multivariée

📋 Plan du Cours

1. Coordonnées cartésiennes et polaires du plan
2. Coordonnées cartésiennes, cylindriques et sphériques
3. Fonctions de plusieurs variables : domaine et image
4. Continuité des fonctions obtenues par opérations
5. Dérivées partielles et différentiabilité de classe C1
6. Formule de Taylor-Young à l’ordre 1
7. Dérivées directionnelles, gradient et différentiel
8. Jacobienne et changement de coordonnées
9. Règle de la chaîne et dérivation d’une composée
10. Dérivées d’ordre supérieur et théorème de Schwarz
11. Hessienne, Laplacien et fonctions harmoniques
12. Extrema locaux et matrice hessienne

📖 1. Coordonnées cartésiennes et polaires du plan

🔑 Notions clés & Définitions

• Repère orthonormé direct : Un repère orthonormé direct du plan est un choix de point origine et de deux vecteurs unitaires orthogonaux orientés qui fixent les coordonnées.
• Coordonnées cartésiennes : Les coordonnées cartésiennes d’un point sont le couple $(x,y)$ obtenu à partir des projections orthogonales de $\overrightarrow{OP}$ sur les axes du repère.
• Coordonnées polaires : Les coordonnées polaires d’un point sont le couple $(\rho,\theta)$ où $\rho$ est la distance à $O$ et $\theta$ l’angle associé.
• Projection orthogonale : Une projection orthogonale est la longueur du segment obtenu en projetant orthogonalement un vecteur sur une direction donnée.

📝 Points essentiels

• Dans un repère orthonormé direct $(O,\vec i,\vec j)$, on a $\overrightarrow{OP}=x\vec i+y\vec j$ pour le point $P(x,y)$.
• Les coordonnées cartésiennes vérifient $x=\|\text{proj}_{\vec i}(\overrightarrow{OP})\|$ et $y=\|\text{proj}_{\vec j}(\overrightarrow{OP})\|$ (longueurs des projections).
• En polaires, on a $x=\rho\cos\theta$ et $y=\rho\sin\theta$ avec $\rho\in[0,\infty[$ et $\theta\in[0,2\pi[$.
• La relation de changement de coordonnées donne $\rho=\sqrt{x^2+y^2}$ et $\tan\theta=\frac{y}{x}$ quand $x\neq 0$.
• Pour déterminer $\theta$ sans ambiguïté, on utilise $\cot\theta=\frac{x}{y}$ si $y\neq 0$, et une écriture via $\arctan\! \left(\frac{y}{x}\right)$ seulement si $x$ et $y$ sont tous deux non nuls (cas indiqué).
• Table de conversion : cartésiennes $\to$ polaires : $\rho=\sqrt{x^2+y^2}$ puis $\theta=\arctan\left(\frac{y}{x}\right)$ (ou $\cot$ selon le cas) ; polaires $\to$ cartésiennes : $x=\rho\cos\theta$, $y=\rho\sin\theta$.

💡 Astuce mémo

Cartésien = deux longueurs sur les axes (x,y) ; polaire = une distance et un angle (ρ,θ) : $x=\rho\cos\theta$, $y=\rho\sin\theta$.

📖 2. Coordonnées cartésiennes, cylindriques et sphériques

🔑 Notions clés & Définitions

• Coordonnées cartésiennes : Les coordonnées cartésiennes décrivent un point de l’espace avec trois valeurs $(x,y,z)$ selon trois axes perpendiculaires.
• Coordonnées cylindriques : Les coordonnées cylindriques décrivent un point avec une distance radiale, un angle et une hauteur, notées $(\rho,\theta,z)$.
• Coordonnées sphériques : Les coordonnées sphériques décrivent un point avec une distance à l’origine et deux angles, notées $(r,\theta,\varphi)$.
• Boule de rayon r : Une boule de centre $(a,b,c)$ et de rayon $r$ est l’ensemble des points vérifiant $(x-a)^2+(y-b)^2+(z-c)^2\le r^2$.
• Bord d’un ensemble : Le bord d’un ensemble est l’ensemble des points où toute boule ouverte contient à la fois des points de l’ensemble et des points de son complémentaire.

📝 Points essentiels

• Une boule de centre $(a,b,c)$ et de rayon $r$ est donnée par $(x-a)^2+(y-b)^2+(z-c)^2\le r^2$ et son bord par l’égalité $=r^2$.
• Un point du bord peut appartenir à l’ensemble ou ne pas y appartenir, car la définition impose seulement la présence simultanée de l’ensemble et du complémentaire dans toute boule autour du point.
• Le complémentaire d’un ensemble $D\subset\mathbb{R}^n$ est $\mathbb{R}^n\setminus D$, c’est-à-dire l’ensemble des points qui n’appartiennent pas à $D$.
• Un point $P$ est sur le bord $\mathrm{BD}$ si toute boule ouverte de rayon non nul centrée en $P$ rencontre $D$ et rencontre aussi $\mathbb{R}^n\setminus D$.
• Pour une fonction $f$ de plusieurs variables, le passage à des coordonnées (cartésiennes/cylindriques/sphériques) sert à décrire plus simplement domaines, images et surfaces (ex. sphères, cônes, cylindres).
• Les lignes de niveau d’une fonction $f(x,y)$ sont les ensembles où $f(x,y)=a$, et elles correspondent à des courbes obtenues en imposant une équation sur les coordonnées choisies.

💡 Astuce mémo

Boule→cartésien: $(x-a)^2+(y-b)^2+(z-c)^2$; Cylindre→angle: $\theta$; Sphère→rayon: $r$.

📖 3. Fonctions de plusieurs variables : domaine et image

🔑 Notions clés & Définitions

• Domaine d’une fonction : Le domaine d’une fonction est l’ensemble des entrées pour lesquelles l’expression de la fonction a un sens et où elle est définie.
• Image d’une fonction : L’image d’une fonction est l’ensemble des valeurs obtenues quand on fait varier l’entrée dans le domaine.
• Fonction $f:D_f\subset\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}^m$ : Une fonction à plusieurs variables associe à chaque point $p\in D_f$ un vecteur $f(p)\in\mathbb{R}^m$.
• Point d’accumulation du domaine : Un point d’accumulation du domaine est un point tel que des points du domaine peuvent s’en approcher arbitrairement près.

📝 Points essentiels

• Pour $f:D_f\subset\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}^m$, le domaine $D_f$ précise exactement quels $p$ sont autorisés en entrée.
• L’image $f(D_f)$ regroupe toutes les sorties possibles $f(p)$ quand $p$ parcourt $D_f$.
• Dans les opérations (somme, produit, etc.), le domaine résultant est l’intersection des domaines des fonctions utilisées.
• Pour la composée $g\circ f$, le domaine est $D_{g\circ f}=\{x\in D_f\mid f(x)\in D_g\}$ : il faut que la sortie de $f$ tombe dans le domaine de $g$.
• Un changement de coordonnées s’écrit comme une composée : on remplace les variables par une application $h$ puis on évalue $f\circ h$.
• En coordonnées polaires/cylindriques/sphériques, le principe est toujours le même : remplacer $x,y(,z)$ par les expressions en $(\rho,\theta)$, $(\rho,\theta,z)$ ou $(r,\theta,\varphi)$ via $f\circ h$.

💡 Astuce mémo

Domaine = où tu as le droit d’entrer ; Image = ce que tu obtiens ; Composée = filtre : $f(x)$ doit être autorisé pour $g$.

📖 4. Continuité des fonctions obtenues par opérations

🔑 Notions clés & Définitions

• Continuité : La continuité d’une fonction signifie que ses valeurs ne présentent pas de rupture ni de saut quand on approche un point.
• Dérivabilité : La dérivabilité d’une fonction en un point garantit l’existence d’une approximation linéaire locale via la limite des accroissements.
• Dérivées partielles : Les dérivées partielles sont les limites des accroissements quand on ne fait varier qu’une seule coordonnée.
• Différentiabilité de classe C1 : Une fonction est de classe C1 sur D si toutes ses dérivées partielles existent et sont continues sur D.
• Formule de Taylor-Young ordre 1 : Le développement de Taylor-Young à l’ordre 1 exprime une fonction C1 comme somme de sa valeur, d’une partie linéaire et d’un reste négligeable.

📝 Points essentiels

• Une fonction dérivable est continue, mais une fonction continue n’est pas forcément dérivable.
• Une fonction non continue ne peut pas être dérivable, car la dérivabilité implique la continuité.
• Les dérivées partielles f/x_i au point $p$ sont définies par une limite quand $h\to 0$ en ne modifiant que la $i$-ième variable.
• Les dérivées partielles forment des fonctions $\partial f/\partial x_i$ définies uniquement sur les points où ces limites existent.
• Si $f$ est (continûment) différentiable sur $D$ (classe C1), alors $f$ est continue sur $D$.
• Le développement de Taylor-Young ordre 1 s’écrit $f(p)=f(p_0)+\sum_{i=1}^n \partial f/\partial x_i(p_0)(x_i-x_{0i})+o(\|p-p_0\|)$ pour $f$ de classe C1.

💡 Astuce mémo

Dérivable ⇒ continue ; C1 ⇒ dérivable au sens local (via dérivées partielles continues) et donc continuité ; Taylor-Young = valeur + partie linéaire + reste $o(\|\cdot\|)$.

📖 5. Dérivées partielles et différentiabilité de classe C1

🔑 Notions clés & Définitions

• Différentielle : La différentielle est l’application linéaire qui approxime une fonction différentiable au voisinage d’un point, via ses dérivées partielles.
• Différentielle df : La différentielle df d’une fonction f est une application linéaire notée df : Rn → Rm, définie au point considéré.
• Gradient : Le gradient est le vecteur des dérivées partielles d’une fonction réelle, qui encode la meilleure direction de variation locale.
• Matrice jacobienne : La matrice jacobienne est la matrice associée à la différentielle d’une application f : Rn → Rm, formée par les dérivées partielles des composantes.
• Déterminant jacobien : Le déterminant jacobien est le déterminant de la matrice jacobienne lorsque la matrice est carrée (n = m).

📝 Points essentiels

• Si f : Rn → Rm est différentiable en p, alors dfp est linéaire en le vecteur direction v et vérifie dfp(v)=Bf/Bx1(p)v1+…+Bf/Bxn(p)vn.
• Pour une fonction réelle f : Rn → R, on a dfp(v)=⟨∇f(p),v⟩, ce qui relie différentielle et gradient.
• Pour f : R → Rm, la différentielle en x s’écrit dfx(v)=(f1'(x)v,…,fm'(x)v).
• Pour f : Rn → R, la différentielle s’écrit df=∂f/∂x1 dx1+…+∂f/∂xn dxn, et pour f : Rn → Rm on somme de façon composante par composante.
• Dans l’exemple de la fonction f(x,y)=a−x^2−y^2 (sur le disque), le gradient est orthogonal à la ligne de niveau (cercle) et pointe vers le centre du cercle.
• La différentielle d’une fonction composée avec un changement de variables s’obtient en dérivant les coordonnées (ex. cylindriques → cartésiennes) puis en remplaçant dx,dy,dz par d⇢,d',d✓ selon les formules de passage.

💡 Astuce mémo

Gradient ⟂ ligne de niveau : direction du plus grand changement, vers le centre quand f décroît avec la distance.

📖 6. Formule de Taylor-Young à l’ordre 1

🔑 Notions clés & Définitions

• Différentiabilité : La différentiabilité d’une fonction en un point signifie qu’on peut l’approximer localement par une application linéaire plus un reste négligeable devant la norme du déplacement.
• Développement limité d’ordre 1 : Le développement limité d’ordre 1 exprime une fonction au voisinage d’un point comme somme de la valeur au point, d’une partie linéaire et d’un reste d’ordre supérieur.
• Reste négligeable : Le reste négligeable est un terme qui devient beaucoup plus petit que la taille du déplacement quand on s’approche du point.
• Approximation linéaire : L’approximation linéaire remplace la variation de la fonction par sa meilleure partie linéaire locale donnée par la différentielle.

📝 Points essentiels

• Si $f$ est différentiable en $a$, alors $f(a+h)=f(a)+df(a)(h)+o(\|h\|)$ quand $h\to 0$.
• La partie linéaire $df(a)(h)$ donne la variation principale de $f$ pour un petit déplacement $h$.
• Le terme $o(\|h\|)$ signifie que $\dfrac{o(\|h\|)}{\|h\|}\to 0$ lorsque $h\to 0$.
• En dimension finie, la différentielle $df(a)$ est une application linéaire, donc $df(a)(\alpha h)=\alpha\,df(a)(h)$ pour tout scalaire $\alpha$.
• Pour une fonction scalaire, la différentielle s’écrit via le gradient : $df(a)(h)=\nabla f(a)\cdot h$.
• Pour une fonction vectorielle, la différentielle s’écrit via la jacobienne : $df(a)(h)=J_f(a)\,h$.

💡 Astuce mémo

Différentiable = Taylor-Young : valeur + linéaire + reste $o(\|h\|)$ (le reste meurt plus vite que $\|h\|$).

📖 7. Dérivées directionnelles, gradient et différentiel

🔑 Notions clés & Définitions

• Règle de la chaîne : La règle de la chaîne relie la dérivée d’une composée à la dérivée extérieure multipliée par la dérivée intérieure.
• Gradient : Le gradient est le vecteur des dérivées partielles d’une fonction scalaire, indiquant la direction de plus forte variation.
• Dérivée directionnelle : La dérivée directionnelle mesure la variation instantanée d’une fonction dans une direction donnée.
• Différentiel total : Le différentiel total exprime l’approximation linéaire d’une fonction à partir des variations de ses variables.

📝 Points essentiels

• Pour une composée $G(u,v)=f(v,uv^2)$, on calcule $\partial_u G$ et $\partial_v G$ via la règle de la chaîne en dérivant $f$ par rapport à $x$ et $y$ puis en multipliant par les dérivées de $x(v,u)$ et $y(v,u)$.
• Dans l’exemple $x=v$ et $y=uv^2$, on obtient $\partial_u G(u,v)=2v\,u\,v^2\cdot 0+(v^2-2uv^2)\cdot v^2=(1-2u)v^4$ (forme équivalente selon simplification).
• Dans le même exemple, on obtient $\partial_v G(u,v)=4(1-u)v^3$ en combinant les contributions de $\partial_x f$ et $\partial_y f$ multipliées par $\partial_v x$ et $\partial_v y$.
• Pour $H(t)=f(t^2,3t)$, la dérivée s’écrit $\dfrac{dH}{dt}=\partial_x f(t^2,3t)\,2t+\partial_y f(t^2,3t)\,3$ (règle de la chaîne en 1 variable).
• Pour $f(x,y)=xy^2$ et $g$ telle que $g'(z)=\sqrt{z}$, on a $\dfrac{\partial}{\partial x}g(xy^2)=g'(xy^2)\,y^2$ et $\dfrac{\partial}{\partial y}g(xy^2)=g'(xy^2)\,2xy$.
• Pour une trajectoire $t\mapsto (x(t),y(t))$, la dérivée de $t\mapsto f(x(t),y(t))$ vaut $\dfrac{d}{dt}f(x(t),y(t))=\partial_x f\,x'(t)+\partial_y f\,y'(t)$ évaluées le long de la trajectoire.

💡 Astuce mémo

Chaîne = extérieur × intérieur : dériver $f$ puis multiplier par la dérivée des variables composées.

📖 8. Jacobienne et changement de coordonnées

🔑 Notions clés & Définitions

• Jacobienne : La jacobienne est la matrice des dérivées partielles qui décrit comment les dérivées se transforment lors d’un changement de variables.
• Changement de coordonnées : Un changement de coordonnées remplace (x,t) par de nouvelles variables, ce qui modifie les dérivées via la règle de la chaîne.
• Matrice hessienne : La matrice hessienne regroupe toutes les dérivées secondes d’une fonction de classe C2 et sert à calculer des opérateurs comme le Laplacien.
• Théorème de Schwarz : Le théorème de Schwarz affirme que, pour une fonction suffisamment régulière, les dérivées secondes mixtes sont égales.

📝 Points essentiels

• Si $u(x,t)=F(x-ct)+G(x+ct)$ avec $F,G\in C^2$, alors $u$ est de classe $C^2$ car c’est une composition de fonctions $C^2$.
• On a $\partial_x u=F'(x-ct)+G'(x+ct)$ et $\partial_t u=-cF'(x-ct)+cG'(x+ct)$, ce qui permet de calculer ensuite les dérivées secondes.
• On obtient $\partial_{xx}u=F''(x-ct)+G''(x+ct)$ et $\partial_{tt}u=c^2F''(x-ct)+c^2G''(x+ct)$, donc $\frac1{c^2}\partial_{tt}u-\partial_{xx}u=0$.
• Pour une fonction $f:D\subset\mathbb R^n\to\mathbb R$ de classe $C^2$, la hessienne $Hf(p)$ est la matrice $n\times n$ des dérivées secondes en $p$.
• Le déterminant de la hessienne s’appelle le déterminant hessien (ou hessien) et sert à étudier la courbure locale.
• La hessienne est symétrique grâce au théorème de Schwarz, ce qui impose l’égalité des dérivées secondes mixtes $\partial_{ij}f=\partial_{ji}f$.

💡 Astuce mémo

Astuce : pour $F(x-ct)+G(x+ct)$, chaque dérivation en $t$ ramène un facteur $\pm c$ et chaque dérivation en $x$ ramène un facteur $\pm 1$ ; au final, $\frac1{c^2}u_{tt}$ compense exactement $u_{xx}$.

📖 9. Règle de la chaîne et dérivation d’une composée

🔑 Notions clés & Définitions

• Développement de Taylor d’ordre 1 : Un développement de Taylor d’ordre 1 approxime une fonction par sa valeur au point et par sa différentielle linéaire.
• Dérivée partielle : Une dérivée partielle mesure la variation d’une fonction quand une seule variable change, les autres restant fixes.
• Gradient : Le gradient regroupe les dérivées partielles et décrit la direction de variation maximale d’une fonction.
• Dérivation d’une composée : La dérivation d’une composée relie les dérivées de la fonction extérieure à celles des fonctions internes via la règle de la chaîne.

📝 Points essentiels

• Pour une fonction $P(T,V)$, l’approximation d’ordre 1 s’écrit $P(T,V)-P(T_0,V_0)\approx \partial_T P(T_0,V_0)(T-T_0)+\partial_V P(T_0,V_0)(V-V_0)$.
• Dans l’exemple, la pression est linéarisée autour de $(T_0,V_0)$ pour borner l’erreur relative induite par des erreurs sur $T$ et $V$.
• Les erreurs relatives se combinent en majorant séparément les contributions en $T$ puis en $V$ (somme des majorants).
• Le résultat de l’exemple donne une borne $\big|P-P_0\big|/P_0\le 0{,}007\%$ à partir de $0{,}005\%$ et $0{,}002\%$.
• La règle de la chaîne sert quand $P$ dépend de variables elles-mêmes fonctions d’autres grandeurs, en propageant les variations via les dérivées partielles correspondantes.

💡 Astuce mémo

Taylor d’ordre 1 = valeur au point + (pente en T)·ΔT + (pente en V)·ΔV ; puis on additionne les majorants d’erreur.

📖 10. Dérivées d’ordre supérieur et théorème de Schwarz

🔑 Notions clés & Définitions

• Intégrale de Riemann : L’intégrale de Riemann est la limite des sommes de Riemann lorsque cette limite existe et est finie.
• Fonction intégrable au sens de Riemann : Une fonction est intégrable au sens de Riemann si la limite des sommes de Riemann existe et est finie.
• Primitive : Une primitive d’une fonction f est une fonction dérivable F telle que sa dérivée soit égale à f.
• Théorème fondamental de l’analyse : Le théorème fondamental relie l’intégrale de Riemann à l’existence de primitives et à la différence F(b)−F(a).
• Théorème de Fubini : Le théorème de Fubini permet de calculer une intégrale double en la décomposant en intégrales itérées sur un rectangle.

📝 Points essentiels

• Si la limite des sommes de Riemann existe, elle ne dépend pas du choix des points d’échantillonnage, et on la note comme une intégrale sur l’intervalle.
• Toute fonction continue sur [a,b] est intégrable au sens de Riemann, et toute fonction monotone sur [a,b] est aussi intégrable.
• L’intégrale donne une aire algébrique : elle correspond à l’aire sous le graphe avec signe, et l’intégrale de |f| donne l’aire positive sous |f|.
• Relation de Chasles : pour tout a,b,c, on définit ∫_a^b f(x)dx = −∫_b^a f(x)dx afin que la formule ∫_a^c = ∫_a^b + ∫_b^c reste valable.
• Théorème fondamental (partie I) : si f est Riemann-intégrable, la fonction F(x)=∫_a^x f(t)dt est continue, et si f est continue alors F est une primitive de f.
• Théorème fondamental (partie II) : si f est Riemann-intégrable et admet une primitive F, alors ∫_a^b f(x)dx = F(b)−F(a).

💡 Astuce mémo

Schwarz : pas de contenu dans la section fournie ; utiliser Fubini pour “déplier” (double intégrale) et F(b)−F(a) pour “primitive → intégrale”.

📖 11. Hessienne, Laplacien et fonctions harmoniques

🔑 Notions clés & Définitions

• Hessienne : La Hessienne est la matrice des dérivées secondes d’une fonction de plusieurs variables, qui décrit sa courbure locale.
• Laplacien : Le Laplacien est l’opérateur qui somme les dérivées secondes par rapport aux variables, mesurant une forme de “diffusion” locale.
• Fonction harmonique : Une fonction harmonique est une fonction suffisamment régulière dont le Laplacien est nul sur un domaine.
• Dérivées secondes : Les dérivées secondes sont les dérivées des dérivées premières, et elles contrôlent la variation de la pente.

📝 Points essentiels

• La Hessienne d’une fonction $f(x,y)$ est la matrice $\begin{pmatrix} f_{xx} & f_{xy} \\ f_{yx} & f_{yy} \end{pmatrix}$, avec $f_{xy}=f_{yx}$ si $f$ est assez régulière.
• Le Laplacien en dimension 2 s’écrit $\Delta f = f_{xx}+f_{yy}$, et en dimension 3 $\Delta f = f_{xx}+f_{yy}+f_{zz}$.
• Une fonction $f$ est harmonique sur un domaine si et seulement si $\Delta f=0$ sur ce domaine.
• La Hessienne permet de distinguer localement les comportements (convexe/concave/selle) via ses valeurs propres, tandis que le Laplacien ne retient que la somme des courbures directionnelles.
• Si $f$ est harmonique, alors sa moyenne sur certaines régions (ex. boules) est liée à sa valeur au centre, ce qui traduit l’absence de “source” locale (interprétation physique).
• Comparaison : Hessienne vs Laplacien : la Hessienne est une matrice (information directionnelle complète) alors que le Laplacien est un scalaire (somme des dérivées secondes).

💡 Astuce mémo

Hessienne = matrice de courbure (toutes les directions) ; Laplacien = somme des courbures ($\Delta$) ; harmonique = “pas de source” ($\Delta f=0$).

📖 12. Extrema locaux et matrice hessienne

🔑 Notions clés & Définitions

• Extremum local : Un extremum local est une valeur prise par une fonction au voisinage d’un point, sans que l’on compare forcément à des points éloignés.
• Condition du gradient nul : Pour une fonction différentiable, un extremum local intérieur impose que le gradient s’annule au point considéré.
• Matrice hessienne : La matrice hessienne regroupe toutes les dérivées secondes d’une fonction et sert à étudier la courbure locale autour d’un point.
• Hessienne positive : Une hessienne est dite positive (définie) si la forme quadratique associée est strictement positive pour tout vecteur non nul, ce qui indique une courbure vers le haut.
• Hessienne négative : Une hessienne est dite négative (définie) si la forme quadratique associée est strictement négative pour tout vecteur non nul, ce qui indique une courbure vers le bas.

📝 Points essentiels

• Si $f$ est $C^1$ et admet un extremum local en un point intérieur, alors $abla f=0$ en ce point.
• Si $f$ est $C^2$, l’étude des extrema locaux se fait via la forme quadratique $Q(h)=h^T H h$ où $H$ est la matrice hessienne.
• Si $H$ est définie positive au point, alors la fonction admet un minimum local en ce point.
• Si $H$ est définie négative au point, alors la fonction admet un maximum local en ce point.
• Si $H$ est indéfinie (ni définie positive ni définie négative), le point critique est un point selle et il n’y a ni minimum ni maximum local strict.
• Si $H$ est semi-définie (positive ou négative mais pas définie), le test hessien ne suffit pas : il faut un raisonnement complémentaire.

💡 Astuce mémo

Gradient nul = “point plat”, Hessienne = “courbure vers le haut (min) ou vers le bas (max)”. Comparaison : Hessienne définie positive → min ; définie négative → max ; indéfinie → selle.

📊 Tableaux de synthèse

Conversion coordonnées (plan)

Cartésien	Polaires	Formules
(x,y)	(ρ,θ)	ρ=√(x^2+y^2) puis θ=arctan(y/x) (ou cotθ=x/y si y≠0)
(ρ,θ)	(x,y)	x=ρ cosθ et y=ρ sinθ

⚠️ Pièges & confusions fréquents

1. Confondre coordonnées et vecteurs : (x,y) peut désigner le point P ou le vecteur OP, selon le contexte.
2. En polaires, oublier les contraintes de θ (dans le cours : θ∈[0,2π[) et choisir une formule de θ non adaptée au cas x=0 ou y=0.
3. Prendre le bord d’un ensemble comme “égalité de l’inégalité” : la définition du bord impose la rencontre de D et du complémentaire dans toute boule ouverte.
4. Croire que “continue ⇒ dérivable” : le cours rappelle qu’une fonction dérivable est continue, mais pas l’inverse.
5. Mélanger gradient et lignes de niveau : le gradient est orthogonal à la ligne de niveau La(f) avec a=f(p), et pointe la direction de plus forte croissance.
6. Oublier que la différentielle est une application linéaire : dfp(αh)=α dfp(h), et elle s’écrit via gradient (scalaire) ou jacobienne (vectorielle).
7. Confondre Hessienne et Laplacien : Hessienne = matrice (information directionnelle), Laplacien = somme des dérivées secondes (trace).

✅ Checklist Examen

1. Savoir écrire les coordonnées cartésiennes du plan et relier x,y aux longueurs des projections orthogonales de OP sur i et j.
2. Savoir convertir cartésien↔polaire dans les formules du cours, puis déterminer θ sans ambiguïté selon les cas indiqués (arctan/cot).
3. Savoir écrire les coordonnées cartésiennes, cylindriques et sphériques de l’espace et utiliser les formules de passage (x=ρcosθ, etc.).
4. Savoir définir domaine Df et image If d’une fonction f:Df→Rm, et déterminer le domaine de la composée g∘f : {x∈Df | f(x)∈Dg}.
5. Savoir utiliser les résultats continuité : somme/produit/composition de fonctions continues d’une variable donnent une fonction continue, et “non continue ⇒ non dérivable”.
6. Savoir définir dérivées partielles et C1 : existence et continuité des dérivées partielles, puis écrire le Taylor-Young ordre 1 f(p)=f(p0)+Σ ∂f/∂xi(p0)(xi−x0i)+o(||p−p0||).
7. Savoir relier différentielle, gradient et jacobienne : dfp(v)=⟨∇f(p),v⟩ (scalaire) et dfp(v)=Jf(p)v (vectorielle), et écrire df=Σ ∂f/∂xi dx_i.
8. Savoir appliquer la règle de la chaîne pour dériver une composée et calculer des dérivées directionnelles via B~vf=Σ vi ∂f/∂xi.
9. Savoir définir jacobienne Jf et déterminant jacobien quand n=m, puis calculer J pour un changement de variables (polaire/cylindrique/sphérique).
10. Savoir définir la hessienne Hf et le théorème de Schwarz (égalité des dérivées mixtes sous C2), puis écrire Laplacien Δf comme trace de Hf.
11. Savoir caractériser extrema locaux : gradient nul en intérieur pour C1, puis test hessien via det Hf et signe (définie positive/négative/indéfinie) et distinguer point selle.
12. Savoir définir intégrale de Riemann (1D), intégrale double/triple (somme de Riemann, indicatrice, interprétation géométrique), puis appliquer Fubini et le changement de variables avec déterminant jacobien.
13. Savoir définir aire et volume via intégrales (A(D)=∬_D dxdy, Vol(Ω)=∭_Ω dxdydz), puis utiliser quantités totale/moyenne et formules du centre de masse (barycentre).