Scheda di revisione: Critère de variation des suites numériques

📋 Plan du Cours

1. Définition et notations des suites numériques
2. Représentation graphique d’une suite numérique
3. Modes de génération des suites : formules explicites et relations de récurrence
4. Définitions des sens de variation des suites numériques
5. Étude du sens de variation par comparaison des termes consécutifs
6. Exemples d’étude du sens de variation de suites numériques

📖 1. Définition et notations des suites numériques

🔑 Notions clés & Définitions

• Suite numérique : Une fonction définie sur un ensemble d'entiers naturels à partir d'un certain entier p, qui associe à chaque entier n ≥ p un nombre réel noté uₙ.
• Définition et mode de génération : La manière dont une suite est spécifiée, soit par une formule explicite donnant chaque terme en fonction de n, soit par une relation de récurrence exprimant chaque terme à partir des termes précédents.
• Terme général : Le terme uₙ qui correspond à l'image de l'entier n par la suite, représentant le terme d'indice n.
• Notations : La suite est notée u ou (uₙ)ₙ≥p ou (uₙ)ₙ∈I

📝 Points essentiels

• La notation usuelle d'une suite est (uₙ)ₙ≥p ou (uₙ)ₙ∈I, où I est l'ensemble des indices de définition.
• Le terme général uₙ désigne l'image de l'entier n par la suite, appelé aussi terme d'indice n.
• Le terme initial uₚ est le premier terme de la suite, et les termes consécutifs sont notés uₙ₋₁, uₙ, uₙ₊₁.
• La suite est définie à partir de l’indice 1 par le terme général vₙ = 1/n
• Pour la suite (uₙ)ₙ≥p : uₚ est le terme initial

💡 À retenir

La notation usuelle d'une suite est (uₙ)ₙ≥p ou (uₙ)ₙ∈I, où I est l'ensemble des indices de définition.

📖 2. Représentation graphique d’une suite numérique

🔑 Notions clés & Définitions

• Représentation graphique d'une suite : La représentation graphique d'une suite dans un repère est constituée du nuage de points de coordonnées (n ; uₙ) pour n appartenant à l'ensemble des indices de définition.
• Premiers termes de la suite : Les premiers termes de la suite sont les premiers éléments uₚ, uₚ₊₁, ..., uₚ₊ₖ, correspondant aux indices initiaux à partir de p.
• Suite (uₙ) est le nuage : Le nuage de points d'une suite (uₙ) est l'ensemble des points de coordonnées (n ; uₙ) dans un repère, chaque point représentant un terme de la suite.

📝 Points essentiels

• Chaque terme de la suite correspond à un point isolé sur le graphique, ce qui distingue la représentation d'une fonction continue.
• La représentation graphique permet d'observer visuellement le comportement et la tendance de la suite.
• Pour la suite (uₙ)ₙ≥p : uₚ est le terme initial
• 1. modes de génération d’une suite

💡 À retenir

Visualiser une suite numérique comme un ensemble discret de points dans le plan facilite l’analyse graphique de son comportement.

📖 3. Modes de génération des suites : formules explicites et relations de récurrence

🔑 Notions clés & Définitions

• Modes de génération : 3. modes de génération d’une suite
• Quatre premiers termes des suites : Les premiers termes d'une suite, généralement notés u₁, u₂, u₃ et u₄, calculés en appliquant soit la formule explicite, soit la relation de récurrence à partir du terme initial.

📝 Points essentiels

• Une suite peut être définie par une formule explicite permettant de calculer directement le terme d'indice n à partir de n.
• Une suite peut aussi être définie par une relation de récurrence, exprimant chaque terme uₙ₊₁ en fonction du terme précédent uₙ.
• Le calcul des premiers termes d'une suite se fait en appliquant la formule explicite ou en itérant la relation de récurrence à partir du terme initial.
• Les relations de récurrence nécessitent la connaissance d'un terme initial pour générer la suite.
• Des exemples concrets illustrent le calcul des termes par formule explicite et par relation de récurrence.

💡 À retenir

Il est essentiel de différencier les deux modes fondamentaux de définition d'une suite : calcul direct par formule explicite et calcul itératif par relation de récurrence.

📖 4. Définitions des sens de variation des suites numériques

🔑 Notions clés & Définitions

• Exemple : Illustration concrète d'une suite numérique permettant d'observer et d'analyser son sens de variation.

📝 Points essentiels

• Une suite est strictement croissante si pour tout n, uₙ < uₙ₊₁.
• Une suite est décroissante si pour tout n, uₙ ≥ uₙ₊₁.

💡 À retenir

Maîtriser les définitions formelles des différents types de variations monotones des suites numériques permet d'analyser leur comportement.

📖 5. Étude du sens de variation par comparaison des termes consécutifs

🔑 Notions clés & Définitions

• Étudier le sens de variation : L'étude du sens de variation consiste à analyser comment les termes d'une suite évoluent en comparant chaque terme avec le suivant pour déterminer si la suite est croissante, décroissante ou constante.
• Sens de variation des suites : Le sens de variation des suites est la caractéristique qui indique si une suite est croissante, décroissante ou constante, déterminée en comparant les termes consécutifs uₙ et uₙ₊₁.

📝 Points essentiels

• Le sens de variation d'une suite peut être étudié en comparant les termes consécutifs uₙ et uₙ₊₁.
• On peut étudier le signe de la différence uₙ₊₁ - uₙ pour déterminer si la suite est croissante, décroissante ou constante.
• Si uₙ₊₁ - uₙ > 0 pour tout n, la suite est strictement croissante.
• (uₙ)ₙ∈N est strictement décroissante sur N ssi pour tout n ∈ N, uₙ > uₙ₊₁

💡 À retenir

Le sens de variation d'une suite peut être étudié en comparant les termes consécutifs uₙ et uₙ₊₁.

📖 6. Exemples d’étude du sens de variation de suites numériques

🔑 Notions clés & Définitions

• Croissante strictement : Caractéristique d'une suite dont chaque terme est strictement supérieur au terme qui le précède, ce qui se traduit par une différence positive entre termes consécutifs.
• Signe de la différence : Le caractère positif, négatif ou nul de la différence entre deux termes consécutifs d'une suite, utilisé pour déterminer si la suite est croissante, décroissante ou constante.

📝 Points essentiels

• L'étude de la suite uₙ = 4n + 3 montre qu'elle est strictement croissante car uₙ₊₁ - uₙ = 4 > 0.
• L'étude de la suite wₙ définie par wₙ₊₁ = wₙ + 5 montre qu'elle est strictement croissante car la différence est constante et positive.
• Signe v_n+1 - v_n = (-5n - 3) - (-5n + 2) = -5n - 3 + 5n - 2 v_n+1 - v_n = -5 v_n+1 - v_n ≤ 0 v_n+1 - v_n < v_n (v_n) est décroissante strictement sur N n=3 : b_5 = 27 b_100 = 593 n=4 : p_0 = (-1)(1) de p_0 = -1 p_1 = 1 x 0 p_1 = 0 p_2 = 3 x (-1) p_2 = -3 p_3 = 5 x 2 p_3 = -10 p_4 = 7 x -3 p_5 = 9 x -4 p_6 = 11 x -5 p_4 = -21 p_5 = -36 p_6 = -55

💡 À retenir

Appliquer concrètement les méthodes d'étude du sens de variation à des suites numériques variées pour en déduire leur comportement.

🧩 Compléments de couverture

1. Détail source à réviser : Page 1 --- LES SUITES NUMERIQUES I. Définition et mode de génération d’une suite 1. Définition-notations Définition : p ∈ N, = {n ∈ N / n ≥ p} Une suite numérique est une fonction, définie pour tous les entiers naturels (Source: "Page 1 --- LES SUITES NUMERIQUES I. Définition et mode de génération d’une suite 1. Définition-notations Définition : p ∈ N, = {n ∈ N / n ≥ p} Une suite numérique est une fonction, définie pour tous les entiers naturels n à partir d’un certain entier naturel p, qui à tout entier naturel n ≥ p associe un nombre réel u(n) noté uₙ. On note : u : I → R n ↦")
2. Détail source à réviser : Définition : p ∈ N, = {n ∈ N / n ≥ p} Une suite numérique est une fonction, définie pour tous les entiers naturels n à partir d’un certain entier naturel p, qui à tout entier naturel n ≥ p associe un nombre réel u(n) not (Source: "Définition : p ∈ N, = {n ∈ N / n ≥ p} Une suite numérique est une fonction, définie pour tous les entiers naturels n à partir d’un certain entier naturel p, qui à tout entier naturel n ≥ p associe un nombre réel u(n) noté uₙ. On note : u : I → R n ↦ u(n) = uₙ Notations : La suite est notée u ou (uₙ)ₙ≥p ou (uₙ)ₙ∈I L’image de n par u est notée uₙ,")
3. Détail source à réviser : pour tous les entiers naturels n à partir d’un certain entier naturel p, qui à tout entier naturel n ≥ p associe un nombre réel u(n) noté uₙ. On note : u : I → R n ↦ u(n) = uₙ Notations : La suite est notée u ou (uₙ)ₙ≥p (Source: "pour tous les entiers naturels n à partir d’un certain entier naturel p, qui à tout entier naturel n ≥ p associe un nombre réel u(n) noté uₙ. On note : u : I → R n ↦ u(n) = uₙ Notations : La suite est notée u ou (uₙ)ₙ≥p ou (uₙ)ₙ∈I L’image de n par u est notée uₙ, on lit « u indice n » uₙ est le terme général de la suite Pour la suite (uₙ)ₙ≥p : uₚ est le")
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12. Détail source à réviser : La suite est définie à partir de l’indice 1 par le terme général vₙ = 1/n le 1er terme est : v₁ = 1 le nième est : vₙ = 1/n 2. Représentation graphique Dans un repère, la représentation graphique d’une suite (uₙ) est le (Source: "La suite est définie à partir de l’indice 1 par le terme général vₙ = 1/n le 1er terme est : v₁ = 1 le nième est : vₙ = 1/n 2. Représentation graphique Dans un repère, la représentation graphique d’une suite (uₙ) est le nuage de points de coordonnées (n ; uₙ) où n ∈ I Représenter les suites (uₙ) et (vₙ) citées ci-dessus --- Page 2 --- 3. modes de")
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16. Détail source à réviser : a) Suite définie par une formule explicite Une suite peut être définie par une formule explicite qui permet de calculer chaque terme d’indice n à partir de n. Ex 1 : Calculer les quatre premiers termes de la suite (uₙ)ₙ∈ (Source: "a) Suite définie par une formule explicite Une suite peut être définie par une formule explicite qui permet de calculer chaque terme d’indice n à partir de n. Ex 1 : Calculer les quatre premiers termes de la suite (uₙ)ₙ∈N définie par uₙ = 2n Ex 2 : Calculer les quatre premiers termes de la suite (vₙ)ₙ∈N définie par uₙ = 3n² - 1 Ex 3 : (vₙ)ₙ∈N définie par vₙ")
17. Détail source à réviser : qui permet de calculer chaque terme d’indice n à partir de n. Ex 1 : Calculer les quatre premiers termes de la suite (uₙ)ₙ∈N définie par uₙ = 2n Ex 2 : Calculer les quatre premiers termes de la suite (vₙ)ₙ∈N définie par (Source: "qui permet de calculer chaque terme d’indice n à partir de n. Ex 1 : Calculer les quatre premiers termes de la suite (uₙ)ₙ∈N définie par uₙ = 2n Ex 2 : Calculer les quatre premiers termes de la suite (vₙ)ₙ∈N définie par uₙ = 3n² - 1 Ex 3 : (vₙ)ₙ∈N définie par vₙ = (n+1)/(n+2) calculer les cinq premiers termes puis v₁₀₀ calculer vₙ₊₁ puis vₙ + 1 v₀ = 1/2")
18. Détail source à réviser : premiers termes de la suite (uₙ)ₙ∈N définie par uₙ = 2n Ex 2 : Calculer les quatre premiers termes de la suite (vₙ)ₙ∈N définie par uₙ = 3n² - 1 Ex 3 : (vₙ)ₙ∈N définie par vₙ = (n+1)/(n+2) calculer les cinq premiers terme (Source: "premiers termes de la suite (uₙ)ₙ∈N définie par uₙ = 2n Ex 2 : Calculer les quatre premiers termes de la suite (vₙ)ₙ∈N définie par uₙ = 3n² - 1 Ex 3 : (vₙ)ₙ∈N définie par vₙ = (n+1)/(n+2) calculer les cinq premiers termes puis v₁₀₀ calculer vₙ₊₁ puis vₙ + 1 v₀ = 1/2 v₁ = 2/3 v₂ = 3/4 v₃ = 4/5 v₄ = 5/6 v₁₀₀ = 101/102 vₙ = (n+1)/(n+2) vₙ₊₁ = (n+2)/(n+3) vₙ₊₁")
19. Détail source à réviser : de la suite (vₙ)ₙ∈N définie par uₙ = 3n² - 1 Ex 3 : (vₙ)ₙ∈N définie par vₙ = (n+1)/(n+2) calculer les cinq premiers termes puis v₁₀₀ calculer vₙ₊₁ puis vₙ + 1 v₀ = 1/2 v₁ = 2/3 v₂ = 3/4 v₃ = 4/5 v₄ = 5/6 v₁₀₀ = 101/102 v (Source: "de la suite (vₙ)ₙ∈N définie par uₙ = 3n² - 1 Ex 3 : (vₙ)ₙ∈N définie par vₙ = (n+1)/(n+2) calculer les cinq premiers termes puis v₁₀₀ calculer vₙ₊₁ puis vₙ + 1 v₀ = 1/2 v₁ = 2/3 v₂ = 3/4 v₃ = 4/5 v₄ = 5/6 v₁₀₀ = 101/102 vₙ = (n+1)/(n+2) vₙ₊₁ = (n+2)/(n+3) vₙ₊₁ = (n+1)/(n+2) + (n+2)/(n+2) vₙ₊₁ = (2n + 3)/(n+2) b) Suites définies par une relation de")
20. Détail source à réviser : calculer les cinq premiers termes puis v₁₀₀ calculer vₙ₊₁ puis vₙ + 1 v₀ = 1/2 v₁ = 2/3 v₂ = 3/4 v₃ = 4/5 v₄ = 5/6 v₁₀₀ = 101/102 vₙ = (n+1)/(n+2) vₙ₊₁ = (n+2)/(n+3) vₙ₊₁ = (n+1)/(n+2) + (n+2)/(n+2) vₙ₊₁ = (2n + 3)/(n+2) (Source: "calculer les cinq premiers termes puis v₁₀₀ calculer vₙ₊₁ puis vₙ + 1 v₀ = 1/2 v₁ = 2/3 v₂ = 3/4 v₃ = 4/5 v₄ = 5/6 v₁₀₀ = 101/102 vₙ = (n+1)/(n+2) vₙ₊₁ = (n+2)/(n+3) vₙ₊₁ = (n+1)/(n+2) + (n+2)/(n+2) vₙ₊₁ = (2n + 3)/(n+2) b) Suites définies par une relation de récurrence Chaque terme de la suite s’obtient à partir du terme précédent. On exprime en général")
21. Détail source à réviser : = 3/4 v₃ = 4/5 v₄ = 5/6 v₁₀₀ = 101/102 vₙ = (n+1)/(n+2) vₙ₊₁ = (n+2)/(n+3) vₙ₊₁ = (n+1)/(n+2) + (n+2)/(n+2) vₙ₊₁ = (2n + 3)/(n+2) b) Suites définies par une relation de récurrence Chaque terme de la suite s’obtient à par (Source: "= 3/4 v₃ = 4/5 v₄ = 5/6 v₁₀₀ = 101/102 vₙ = (n+1)/(n+2) vₙ₊₁ = (n+2)/(n+3) vₙ₊₁ = (n+1)/(n+2) + (n+2)/(n+2) vₙ₊₁ = (2n + 3)/(n+2) b) Suites définies par une relation de récurrence Chaque terme de la suite s’obtient à partir du terme précédent. On exprime en général uₙ₊₁ en fonction de uₙ. En effet, les termes uₙ et uₙ₊₁ se suivent. Calculer les quatre")
22. Détail source à réviser : + (n+2)/(n+2) vₙ₊₁ = (2n + 3)/(n+2) b) Suites définies par une relation de récurrence Chaque terme de la suite s’obtient à partir du terme précédent. On exprime en général uₙ₊₁ en fonction de uₙ. En effet, les termes uₙ (Source: "+ (n+2)/(n+2) vₙ₊₁ = (2n + 3)/(n+2) b) Suites définies par une relation de récurrence Chaque terme de la suite s’obtient à partir du terme précédent. On exprime en général uₙ₊₁ en fonction de uₙ. En effet, les termes uₙ et uₙ₊₁ se suivent. Calculer les quatre premiers termes des suites suivantes : a) Pour tout entier n, on donne : { u₀ = 5 uₙ₊₁ = 3uₙ u₀ =")
23. Détail source à réviser : terme de la suite s’obtient à partir du terme précédent. On exprime en général uₙ₊₁ en fonction de uₙ. En effet, les termes uₙ et uₙ₊₁ se suivent. Calculer les quatre premiers termes des suites suivantes : a) Pour tout e (Source: "terme de la suite s’obtient à partir du terme précédent. On exprime en général uₙ₊₁ en fonction de uₙ. En effet, les termes uₙ et uₙ₊₁ se suivent. Calculer les quatre premiers termes des suites suivantes : a) Pour tout entier n, on donne : { u₀ = 5 uₙ₊₁ = 3uₙ u₀ = 5 u₁ = 3u₀ u₂ = 3u₁ u₃ = 3u₂ u₄ = 3u₃ u₄ = 3 × 135 u₄ = 405 b) Pour tout entier n, on donne :")
24. Détail source à réviser : de uₙ. En effet, les termes uₙ et uₙ₊₁ se suivent. Calculer les quatre premiers termes des suites suivantes : a) Pour tout entier n, on donne : { u₀ = 5 uₙ₊₁ = 3uₙ u₀ = 5 u₁ = 3u₀ u₂ = 3u₁ u₃ = 3u₂ u₄ = 3u₃ u₄ = 3 × 135 (Source: "de uₙ. En effet, les termes uₙ et uₙ₊₁ se suivent. Calculer les quatre premiers termes des suites suivantes : a) Pour tout entier n, on donne : { u₀ = 5 uₙ₊₁ = 3uₙ u₀ = 5 u₁ = 3u₀ u₂ = 3u₁ u₃ = 3u₂ u₄ = 3u₃ u₄ = 3 × 135 u₄ = 405 b) Pour tout entier n, on donne : { v₀ = 3 vₙ₊₁ = 4vₙ - 6 --- Page 3 --- II. Sens de variation d’une suite Exemple : On a")
25. Détail source à réviser : suites suivantes : a) Pour tout entier n, on donne : { u₀ = 5 uₙ₊₁ = 3uₙ u₀ = 5 u₁ = 3u₀ u₂ = 3u₁ u₃ = 3u₂ u₄ = 3u₃ u₄ = 3 × 135 u₄ = 405 b) Pour tout entier n, on donne : { v₀ = 3 vₙ₊₁ = 4vₙ - 6 --- Page 3 --- II. Sens (Source: "suites suivantes : a) Pour tout entier n, on donne : { u₀ = 5 uₙ₊₁ = 3uₙ u₀ = 5 u₁ = 3u₀ u₂ = 3u₁ u₃ = 3u₂ u₄ = 3u₃ u₄ = 3 × 135 u₄ = 405 b) Pour tout entier n, on donne : { v₀ = 3 vₙ₊₁ = 4vₙ - 6 --- Page 3 --- II. Sens de variation d’une suite Exemple : On a représenté ci-dessous le nuage de points des premiers termes d’une suite (uₙ) : [Graphique avec")
26. Détail source à réviser : = 3u₁ u₃ = 3u₂ u₄ = 3u₃ u₄ = 3 × 135 u₄ = 405 b) Pour tout entier n, on donne : { v₀ = 3 vₙ₊₁ = 4vₙ - 6 --- Page 3 --- II. Sens de variation d’une suite Exemple : On a représenté ci-dessous le nuage de points des premier (Source: "= 3u₁ u₃ = 3u₂ u₄ = 3u₃ u₄ = 3 × 135 u₄ = 405 b) Pour tout entier n, on donne : { v₀ = 3 vₙ₊₁ = 4vₙ - 6 --- Page 3 --- II. Sens de variation d’une suite Exemple : On a représenté ci-dessous le nuage de points des premiers termes d’une suite (uₙ) : [Graphique avec points] On observe que cette suite est croissante. On constate par exemple que u₁ < u₂ ou")
27. Détail source à réviser : = 4vₙ - 6 --- Page 3 --- II. Sens de variation d’une suite Exemple : On a représenté ci-dessous le nuage de points des premiers termes d’une suite (uₙ) : [Graphique avec points] On observe que cette suite est croissante. (Source: "= 4vₙ - 6 --- Page 3 --- II. Sens de variation d’une suite Exemple : On a représenté ci-dessous le nuage de points des premiers termes d’une suite (uₙ) : [Graphique avec points] On observe que cette suite est croissante. On constate par exemple que u₁ < u₂ ou encore u₄ < u₅. De manière générale, on peut écrire : uₙ < uₙ₊₁ 1. Définitions k ∈ N, I = {n ∈ N /")
28. Détail source à réviser : le nuage de points des premiers termes d’une suite (uₙ) : [Graphique avec points] On observe que cette suite est croissante. On constate par exemple que u₁ < u₂ ou encore u₄ < u₅. De manière générale, on peut écrire : uₙ (Source: "le nuage de points des premiers termes d’une suite (uₙ) : [Graphique avec points] On observe que cette suite est croissante. On constate par exemple que u₁ < u₂ ou encore u₄ < u₅. De manière générale, on peut écrire : uₙ < uₙ₊₁ 1. Définitions k ∈ N, I = {n ∈ N / n ≥ k} (uₙ)ₙ∈N est strictement croissante sur N ssi pour tout n ∈ N, uₙ < uₙ₊₁ (uₙ)ₙ∈N est")
29. Détail source à réviser : que cette suite est croissante. On constate par exemple que u₁ < u₂ ou encore u₄ < u₅. De manière générale, on peut écrire : uₙ < uₙ₊₁ 1. Définitions k ∈ N, I = {n ∈ N / n ≥ k} (uₙ)ₙ∈N est strictement croissante sur N ss (Source: "que cette suite est croissante. On constate par exemple que u₁ < u₂ ou encore u₄ < u₅. De manière générale, on peut écrire : uₙ < uₙ₊₁ 1. Définitions k ∈ N, I = {n ∈ N / n ≥ k} (uₙ)ₙ∈N est strictement croissante sur N ssi pour tout n ∈ N, uₙ < uₙ₊₁ (uₙ)ₙ∈N est croissante sur N ssi pour tout n ∈ N, uₙ ≤ uₙ₊₁ (uₙ)ₙ∈N est strictement décroissante sur N ssi")
30. Détail source à réviser : manière générale, on peut écrire : uₙ < uₙ₊₁ 1. Définitions k ∈ N, I = {n ∈ N / n ≥ k} (uₙ)ₙ∈N est strictement croissante sur N ssi pour tout n ∈ N, uₙ < uₙ₊₁ (uₙ)ₙ∈N est croissante sur N ssi pour tout n ∈ N, uₙ ≤ uₙ₊₁ ( (Source: "manière générale, on peut écrire : uₙ < uₙ₊₁ 1. Définitions k ∈ N, I = {n ∈ N / n ≥ k} (uₙ)ₙ∈N est strictement croissante sur N ssi pour tout n ∈ N, uₙ < uₙ₊₁ (uₙ)ₙ∈N est croissante sur N ssi pour tout n ∈ N, uₙ ≤ uₙ₊₁ (uₙ)ₙ∈N est strictement décroissante sur N ssi pour tout n ∈ N, uₙ > uₙ₊₁ (uₙ)ₙ∈N est décroissante sur N ssi pour tout n ∈ N, uₙ ≥ uₙ₊₁")
31. Détail source à réviser : est strictement croissante sur N ssi pour tout n ∈ N, uₙ < uₙ₊₁ (uₙ)ₙ∈N est croissante sur N ssi pour tout n ∈ N, uₙ ≤ uₙ₊₁ (uₙ)ₙ∈N est strictement décroissante sur N ssi pour tout n ∈ N, uₙ > uₙ₊₁ (uₙ)ₙ∈N est décroissan (Source: "est strictement croissante sur N ssi pour tout n ∈ N, uₙ < uₙ₊₁ (uₙ)ₙ∈N est croissante sur N ssi pour tout n ∈ N, uₙ ≤ uₙ₊₁ (uₙ)ₙ∈N est strictement décroissante sur N ssi pour tout n ∈ N, uₙ > uₙ₊₁ (uₙ)ₙ∈N est décroissante sur N ssi pour tout n ∈ N, uₙ ≥ uₙ₊₁ (uₙ)ₙ∈N est constante sur N ssi pour tout n ∈ N, uₙ = uₙ₊₁ [Graphiques] --- Page 4 --- 2.")
32. Détail source à réviser : N ssi pour tout n ∈ N, uₙ ≤ uₙ₊₁ (uₙ)ₙ∈N est strictement décroissante sur N ssi pour tout n ∈ N, uₙ > uₙ₊₁ (uₙ)ₙ∈N est décroissante sur N ssi pour tout n ∈ N, uₙ ≥ uₙ₊₁ (uₙ)ₙ∈N est constante sur N ssi pour tout n ∈ N, uₙ (Source: "N ssi pour tout n ∈ N, uₙ ≤ uₙ₊₁ (uₙ)ₙ∈N est strictement décroissante sur N ssi pour tout n ∈ N, uₙ > uₙ₊₁ (uₙ)ₙ∈N est décroissante sur N ssi pour tout n ∈ N, uₙ ≥ uₙ₊₁ (uₙ)ₙ∈N est constante sur N ssi pour tout n ∈ N, uₙ = uₙ₊₁ [Graphiques] --- Page 4 --- 2. Exemples Étudier le sens de variation des suites suivantes. 1. (uₙ) définie sur N par uₙ = 4n + 3 u₀")
33. Détail source à réviser : N, uₙ > uₙ₊₁ (uₙ)ₙ∈N est décroissante sur N ssi pour tout n ∈ N, uₙ ≥ uₙ₊₁ (uₙ)ₙ∈N est constante sur N ssi pour tout n ∈ N, uₙ = uₙ₊₁ [Graphiques] --- Page 4 --- 2. Exemples Étudier le sens de variation des suites suivan (Source: "N, uₙ > uₙ₊₁ (uₙ)ₙ∈N est décroissante sur N ssi pour tout n ∈ N, uₙ ≥ uₙ₊₁ (uₙ)ₙ∈N est constante sur N ssi pour tout n ∈ N, uₙ = uₙ₊₁ [Graphiques] --- Page 4 --- 2. Exemples Étudier le sens de variation des suites suivantes. 1. (uₙ) définie sur N par uₙ = 4n + 3 u₀ = 3 u₁ = 7 u₂ = 11 u₃ = 15 Il semble que la suite soit croissante Je calcule uₙ₊₁ → 3 + 1 =")
34. Détail source à réviser : sur N ssi pour tout n ∈ N, uₙ = uₙ₊₁ [Graphiques] --- Page 4 --- 2. Exemples Étudier le sens de variation des suites suivantes. 1. (uₙ) définie sur N par uₙ = 4n + 3 u₀ = 3 u₁ = 7 u₂ = 11 u₃ = 15 Il semble que la suite s (Source: "sur N ssi pour tout n ∈ N, uₙ = uₙ₊₁ [Graphiques] --- Page 4 --- 2. Exemples Étudier le sens de variation des suites suivantes. 1. (uₙ) définie sur N par uₙ = 4n + 3 u₀ = 3 u₁ = 7 u₂ = 11 u₃ = 15 Il semble que la suite soit croissante Je calcule uₙ₊₁ → 3 + 1 = 4 ; 7 + 1 = 8 ; 11 + 1 = 12 ; 15 + 1 = 16 J’étudie le signe de la différence uₙ₊₁ - uₙ = 2.")
35. Détail source à réviser : sens de variation des suites suivantes. 1. (uₙ) définie sur N par uₙ = 4n + 3 u₀ = 3 u₁ = 7 u₂ = 11 u₃ = 15 Il semble que la suite soit croissante Je calcule uₙ₊₁ → 3 + 1 = 4 ; 7 + 1 = 8 ; 11 + 1 = 12 ; 15 + 1 = 16 J’étu (Source: "sens de variation des suites suivantes. 1. (uₙ) définie sur N par uₙ = 4n + 3 u₀ = 3 u₁ = 7 u₂ = 11 u₃ = 15 Il semble que la suite soit croissante Je calcule uₙ₊₁ → 3 + 1 = 4 ; 7 + 1 = 8 ; 11 + 1 = 12 ; 15 + 1 = 16 J’étudie le signe de la différence uₙ₊₁ - uₙ = 2. (vₙ) définie sur N par vₙ = -5n + 2 u₀ = 2 u₁ = -3 u₂ = -8 Elle semble décroissante Je calcule")
36. Détail source à réviser : = 11 u₃ = 15 Il semble que la suite soit croissante Je calcule uₙ₊₁ → 3 + 1 = 4 ; 7 + 1 = 8 ; 11 + 1 = 12 ; 15 + 1 = 16 J’étudie le signe de la différence uₙ₊₁ - uₙ = 2. (vₙ) définie sur N par vₙ = -5n + 2 u₀ = 2 u₁ = -3 (Source: "= 11 u₃ = 15 Il semble que la suite soit croissante Je calcule uₙ₊₁ → 3 + 1 = 4 ; 7 + 1 = 8 ; 11 + 1 = 12 ; 15 + 1 = 16 J’étudie le signe de la différence uₙ₊₁ - uₙ = 2. (vₙ) définie sur N par vₙ = -5n + 2 u₀ = 2 u₁ = -3 u₂ = -8 Elle semble décroissante Je calcule : vₙ₊₁ : -5(n+1) + 2 = -5n - 5 + 2 = -5n - 3 J’étudie le signe de la différence : 3. (wₙ)")
37. Détail source à réviser : ; 11 + 1 = 12 ; 15 + 1 = 16 J’étudie le signe de la différence uₙ₊₁ - uₙ = 2. (vₙ) définie sur N par vₙ = -5n + 2 u₀ = 2 u₁ = -3 u₂ = -8 Elle semble décroissante Je calcule : vₙ₊₁ : -5(n+1) + 2 = -5n - 5 + 2 = -5n - 3 J’ (Source: "; 11 + 1 = 12 ; 15 + 1 = 16 J’étudie le signe de la différence uₙ₊₁ - uₙ = 2. (vₙ) définie sur N par vₙ = -5n + 2 u₀ = 2 u₁ = -3 u₂ = -8 Elle semble décroissante Je calcule : vₙ₊₁ : -5(n+1) + 2 = -5n - 5 + 2 = -5n - 3 J’étudie le signe de la différence : 3. (wₙ) définie sur N par wₙ₊₁ = wₙ + 5 wₙ₊₁ = wₙ + 5 wₙ₊₁ - wₙ = 5 wₙ₊₁ - wₙ > 0 wₙ₊₁ > wₙ (wₙ) est")
38. Détail source à réviser : N par vₙ = -5n + 2 u₀ = 2 u₁ = -3 u₂ = -8 Elle semble décroissante Je calcule : vₙ₊₁ : -5(n+1) + 2 = -5n - 5 + 2 = -5n - 3 J’étudie le signe de la différence : 3. (wₙ) définie sur N par wₙ₊₁ = wₙ + 5 wₙ₊₁ = wₙ + 5 wₙ₊₁ - (Source: "N par vₙ = -5n + 2 u₀ = 2 u₁ = -3 u₂ = -8 Elle semble décroissante Je calcule : vₙ₊₁ : -5(n+1) + 2 = -5n - 5 + 2 = -5n - 3 J’étudie le signe de la différence : 3. (wₙ) définie sur N par wₙ₊₁ = wₙ + 5 wₙ₊₁ = wₙ + 5 wₙ₊₁ - wₙ = 5 wₙ₊₁ - wₙ > 0 wₙ₊₁ > wₙ (wₙ) est strictement croissante sur N u_n → 2n + 1 v_n : n → 1/n Méthodes 1) Sachant que n < n + 1, on")
39. Détail source à réviser : + 2 = -5n - 5 + 2 = -5n - 3 J’étudie le signe de la différence : 3. (wₙ) définie sur N par wₙ₊₁ = wₙ + 5 wₙ₊₁ = wₙ + 5 wₙ₊₁ - wₙ = 5 wₙ₊₁ - wₙ > 0 wₙ₊₁ > wₙ (wₙ) est strictement croissante sur N u_n → 2n + 1 v_n : n → 1/ (Source: "+ 2 = -5n - 5 + 2 = -5n - 3 J’étudie le signe de la différence : 3. (wₙ) définie sur N par wₙ₊₁ = wₙ + 5 wₙ₊₁ = wₙ + 5 wₙ₊₁ - wₙ = 5 wₙ₊₁ - wₙ > 0 wₙ₊₁ > wₙ (wₙ) est strictement croissante sur N u_n → 2n + 1 v_n : n → 1/n Méthodes 1) Sachant que n < n + 1, on compare u_n et u_n+1 en utilisant la propriété de la relation d'ordre 2) On étudie le signe de")
40. Détail source à réviser : wₙ₊₁ = wₙ + 5 wₙ₊₁ = wₙ + 5 wₙ₊₁ - wₙ = 5 wₙ₊₁ - wₙ > 0 wₙ₊₁ > wₙ (wₙ) est strictement croissante sur N u_n → 2n + 1 v_n : n → 1/n Méthodes 1) Sachant que n < n + 1, on compare u_n et u_n+1 en utilisant la propriété de l (Source: "wₙ₊₁ = wₙ + 5 wₙ₊₁ = wₙ + 5 wₙ₊₁ - wₙ = 5 wₙ₊₁ - wₙ > 0 wₙ₊₁ > wₙ (wₙ) est strictement croissante sur N u_n → 2n + 1 v_n : n → 1/n Méthodes 1) Sachant que n < n + 1, on compare u_n et u_n+1 en utilisant la propriété de la relation d'ordre 2) On étudie le signe de la diff. u_n+1 - u_n 1. Calcul u_n+1 = 4(n + 1) + 3 u_n = 4n + 3 Signe u_n+1 - u_n = (4n + 7)")
41. Détail source à réviser : sur N u_n → 2n + 1 v_n : n → 1/n Méthodes 1) Sachant que n < n + 1, on compare u_n et u_n+1 en utilisant la propriété de la relation d'ordre 2) On étudie le signe de la diff. u_n+1 - u_n 1. Calcul u_n+1 = 4(n + 1) + 3 u_ (Source: "sur N u_n → 2n + 1 v_n : n → 1/n Méthodes 1) Sachant que n < n + 1, on compare u_n et u_n+1 en utilisant la propriété de la relation d'ordre 2) On étudie le signe de la diff. u_n+1 - u_n 1. Calcul u_n+1 = 4(n + 1) + 3 u_n = 4n + 3 Signe u_n+1 - u_n = (4n + 7) - (4n + 3) u_n+1 - u_n = 4n + 7 - 4n - 3 u_n+1 - u_n = 4 u_n+1 - u_n > 0 u_n+1 > u_n (u_n)")
42. Détail source à réviser : u_n+1 en utilisant la propriété de la relation d'ordre 2) On étudie le signe de la diff. u_n+1 - u_n 1. Calcul u_n+1 = 4(n + 1) + 3 u_n = 4n + 3 Signe u_n+1 - u_n = (4n + 7) - (4n + 3) u_n+1 - u_n = 4n + 7 - 4n - 3 u_n+1 (Source: "u_n+1 en utilisant la propriété de la relation d'ordre 2) On étudie le signe de la diff. u_n+1 - u_n 1. Calcul u_n+1 = 4(n + 1) + 3 u_n = 4n + 3 Signe u_n+1 - u_n = (4n + 7) - (4n + 3) u_n+1 - u_n = 4n + 7 - 4n - 3 u_n+1 - u_n = 4 u_n+1 - u_n > 0 u_n+1 > u_n (u_n) est croissante strictement sur N 2. Signe v_n+1 - v_n = (-5n - 3) - (-5n + 2) = -5n - 3 + 5n -")
43. Détail source à réviser : - u_n 1. Calcul u_n+1 = 4(n + 1) + 3 u_n = 4n + 3 Signe u_n+1 - u_n = (4n + 7) - (4n + 3) u_n+1 - u_n = 4n + 7 - 4n - 3 u_n+1 - u_n = 4 u_n+1 - u_n > 0 u_n+1 > u_n (u_n) est croissante strictement sur N 2. Signe v_n+1 - (Source: "- u_n 1. Calcul u_n+1 = 4(n + 1) + 3 u_n = 4n + 3 Signe u_n+1 - u_n = (4n + 7) - (4n + 3) u_n+1 - u_n = 4n + 7 - 4n - 3 u_n+1 - u_n = 4 u_n+1 - u_n > 0 u_n+1 > u_n (u_n) est croissante strictement sur N 2. Signe v_n+1 - v_n = (-5n - 3) - (-5n + 2) = -5n - 3 + 5n - 2 v_n+1 - v_n = -5 v_n+1 - v_n ≤ 0 v_n+1 - v_n < v_n (v_n) est décroissante strictement sur")
44. Détail source à réviser : - u_n = 4n + 7 - 4n - 3 u_n+1 - u_n = 4 u_n+1 - u_n > 0 u_n+1 > u_n (u_n) est croissante strictement sur N 2. Signe v_n+1 - v_n = (-5n - 3) - (-5n + 2) = -5n - 3 + 5n - 2 v_n+1 - v_n = -5 v_n+1 - v_n ≤ 0 v_n+1 - v_n < v_ (Source: "- u_n = 4n + 7 - 4n - 3 u_n+1 - u_n = 4 u_n+1 - u_n > 0 u_n+1 > u_n (u_n) est croissante strictement sur N 2. Signe v_n+1 - v_n = (-5n - 3) - (-5n + 2) = -5n - 3 + 5n - 2 v_n+1 - v_n = -5 v_n+1 - v_n ≤ 0 v_n+1 - v_n < v_n (v_n) est décroissante strictement sur N n=3 : b_5 = 27 b_100 = 593 n=4 : p_0 = (-1)(1) de p_0 = -1 p_1 = 1 x 0 p_1 = 0 p_2 = 3 x")
45. Détail source à réviser : strictement sur N 2. Signe v_n+1 - v_n = (-5n - 3) - (-5n + 2) = -5n - 3 + 5n - 2 v_n+1 - v_n = -5 v_n+1 - v_n ≤ 0 v_n+1 - v_n < v_n (v_n) est décroissante strictement sur N n=3 : b_5 = 27 b_100 = 593 n=4 : p_0 = (-1)(1) (Source: "strictement sur N 2. Signe v_n+1 - v_n = (-5n - 3) - (-5n + 2) = -5n - 3 + 5n - 2 v_n+1 - v_n = -5 v_n+1 - v_n ≤ 0 v_n+1 - v_n < v_n (v_n) est décroissante strictement sur N n=3 : b_5 = 27 b_100 = 593 n=4 : p_0 = (-1)(1) de p_0 = -1 p_1 = 1 x 0 p_1 = 0 p_2 = 3 x (-1) p_2 = -3 p_3 = 5 x 2 p_3 = -10 p_4 = 7 x -3 p_5 = 9 x -4 p_6 = 11 x -5 p_4 = -21 p_5 = -36")
46. Détail source à réviser : sur N 2. Signe v_n+1 - v_n = (-5n - 3) - (-5n + 2) = -5n - 3 + 5n - 2 v_n+1 - v_n = -5 v_n+1 - v_n ≤ 0 v_n+1 - v_n < v_n (v_n) est décroissante strictement sur N n=3 : b_5 = 27 b_100 = 593 n=4 : p_0 = (-1)(1) de p_0 = -1 (Source: "sur N 2. Signe v_n+1 - v_n = (-5n - 3) - (-5n + 2) = -5n - 3 + 5n - 2 v_n+1 - v_n = -5 v_n+1 - v_n ≤ 0 v_n+1 - v_n < v_n (v_n) est décroissante strictement sur N n=3 : b_5 = 27 b_100 = 593 n=4 : p_0 = (-1)(1) de p_0 = -1 p_1 = 1 x 0 p_1 = 0 p_2 = 3 x (-1) p_2 = -3 p_3 = 5 x 2 p_3 = -10 p_4 = 7 x -3 p_5 = 9 x -4 p_6 = 11 x -5 p_4 = -21 p_5 = -36 p_6 =")
47. Détail source à réviser : --- Page 1 --- LES SUITES NUMERIQUES I. Définition et mode de génération d’une suite 1. Définition-notations Définition : p ∈ N, = {n ∈ N / n ≥ p} Une suite numérique est une fonction, définie pour tous les entiers natur (Source: "--- Page 1 --- LES SUITES NUMERIQUES I. Définition et mode de génération d’une suite 1. Définition-notations Définition : p ∈ N, = {n ∈ N / n ≥ p} Une suite numérique est une fonction, définie pour tous les entiers naturels n à partir d’un certain entier naturel p, qui à tout entier naturel n ≥ p associe un nombre réel u(n) noté uₙ. On note : u : I → R n...")
48. Détail source à réviser : On note : u : I → R n ↦ u(n) = uₙ Notations : La suite est notée u ou (uₙ)ₙ≥p ou (uₙ)ₙ∈I L’image de n par u est notée uₙ, on lit « u indice n » uₙ est le terme général de la suite Pour la suite (uₙ)ₙ≥p : uₚ est le terme (Source: "On note : u : I → R n ↦ u(n) = uₙ Notations : La suite est notée u ou (uₙ)ₙ≥p ou (uₙ)ₙ∈I L’image de n par u est notée uₙ, on lit « u indice n » uₙ est le terme général de la suite Pour la suite (uₙ)ₙ≥p : uₚ est le terme initial uₚ est le 1er terme, uₚ₊₁ est le 2ième,")
49. Détail source à réviser : ions : La suite est notée u ou (uₙ)ₙ≥p ou (uₙ)ₙ∈I L’image de n par u est notée uₙ, on lit « u indice n » uₙ est le terme général de la suite Pour la suite (uₙ)ₙ≥p : uₚ est le terme initial uₚ est le 1er terme, uₚ₊₁ est l (Source: "ions : La suite est notée u ou (uₙ)ₙ≥p ou (uₙ)ₙ∈I L’image de n par u est notée uₙ, on lit « u indice n » uₙ est le terme général de la suite Pour la suite (uₙ)ₙ≥p : uₚ est le terme initial uₚ est le 1er terme, uₚ₊₁ est le 2ième, ...., uₚ₊ₖ est le (k+1)ième terme.")
50. Détail source à réviser : uₙ₋₁ ; uₙ et uₙ₊₁ sont trois termes consécutifs de la suite Exemples : ex 1 : la suite des nombres impairs u : N → R n ↦ uₙ = 2n + 1 u est la suite de terme général uₙ = 2n + 1 Le 1er terme est u₁ = 1 Le 10ième est u₁₀ = (Source: "uₙ₋₁ ; uₙ et uₙ₊₁ sont trois termes consécutifs de la suite Exemples : ex 1 : la suite des nombres impairs u : N → R n ↦ uₙ = 2n + 1 u est la suite de terme général uₙ = 2n + 1 Le 1er terme est u₁ = 1 Le 10ième est u₁₀ = 19 Le nième terme est uₙ = 2(n-1) + 1 uₙ₋₁ = 2n - 2 + 1 uₙ₋₁ = 2n - 1 ex 2 : v : N* → R n ↦ vₙ = 1/n La suite est définie à partir de l’...")
51. Détail source à réviser : 1 u est la suite de terme général uₙ = 2n + 1 Le 1er terme est u₁ = 1 Le 10ième est u₁₀ = 19 Le nième terme est uₙ = 2(n-1) + 1 uₙ₋₁ = 2n (Source: "1 u est la suite de terme général uₙ = 2n + 1 Le 1er terme est u₁ = 1 Le 10ième est u₁₀ = 19 Le nième terme est uₙ = 2(n-1) + 1 uₙ₋₁ = 2n")
52. Détail source à réviser : 2 + 1 uₙ₋₁ = 2n - 1 ex 2 : v : N* → R n ↦ vₙ = 1/n La suite est définie à partir de l’indice 1 par le terme général vₙ = 1/n le 1er terme (Source: "2 + 1 uₙ₋₁ = 2n - 1 ex 2 : v : N* → R n ↦ vₙ = 1/n La suite est définie à partir de l’indice 1 par le terme général vₙ = 1/n le 1er terme")
53. Détail source à réviser : 2. Représentation graphique Dans un repère, la représentation graphique d’une suite (uₙ) est le nuage de points de coordonnées (n ; uₙ) où n ∈ I Représenter les suites (uₙ) et (vₙ) citées ci-dessus --- Page 2 --- 3 (Source: "2. Représentation graphique Dans un repère, la représentation graphique d’une suite (uₙ) est le nuage de points de coordonnées (n ; uₙ) où n ∈ I Représenter les suites (uₙ) et (vₙ) citées ci-dessus --- Page 2 --- 3")
54. Détail source à réviser : a) Suite définie par une formule explicite Une suite peut être définie par une formule explicite qui permet de calculer chaque terme d’indice n à partir de n (Source: "a) Suite définie par une formule explicite Une suite peut être définie par une formule explicite qui permet de calculer chaque terme d’indice n à partir de n")
55. Détail source à réviser : Ex 1 : Calculer les quatre premiers termes de la suite (uₙ)ₙ∈N définie par uₙ = 2n Ex 2 : Calculer les quatre premiers termes de la suite (vₙ)ₙ∈N définie par uₙ = 3n² - 1 Ex 3 : (vₙ)ₙ∈N définie par vₙ = (n+1)/(n+2) calcu (Source: "Ex 1 : Calculer les quatre premiers termes de la suite (uₙ)ₙ∈N définie par uₙ = 2n Ex 2 : Calculer les quatre premiers termes de la suite (vₙ)ₙ∈N définie par uₙ = 3n² - 1 Ex 3 : (vₙ)ₙ∈N définie par vₙ = (n+1)/(n+2) calculer les cinq premiers termes puis v₁₀₀ calculer vₙ₊₁ puis vₙ + 1 v₀ = 1/2 v₁ = 2/3 v₂ = 3/4 v₃ = 4/5 v₄ = 5/6 v₁₀₀ = 101/1")
56. Détail source à réviser : rs termes de la suite (vₙ)ₙ∈N définie par uₙ = 3n² - 1 Ex 3 : (vₙ)ₙ∈N définie par vₙ = (n+1)/(n+2) calculer les cinq premiers termes puis (Source: "rs termes de la suite (vₙ)ₙ∈N définie par uₙ = 3n² - 1 Ex 3 : (vₙ)ₙ∈N définie par vₙ = (n+1)/(n+2) calculer les cinq premiers termes puis")
57. Détail source à réviser : b) Suites définies par une relation de récurrence Chaque terme de la suite s’obtient à partir du terme précédent (Source: "b) Suites définies par une relation de récurrence Chaque terme de la suite s’obtient à partir du terme précédent")
58. Détail source à réviser : Calculer les quatre premiers termes des suites suivantes : a) Pour tout entier n, on donne : { u₀ = 5 uₙ₊₁ = 3uₙ u₀ = 5 u₁ = 3u₀ u₂ = 3u₁ u₃ = 3u₂ u₄ = 3u₃ u₄ = 3 × 135 u₄ = 405 b) Pour tout entier n, on donne : { v₀ = 3 (Source: "Calculer les quatre premiers termes des suites suivantes : a) Pour tout entier n, on donne : { u₀ = 5 uₙ₊₁ = 3uₙ u₀ = 5 u₁ = 3u₀ u₂ = 3u₁ u₃ = 3u₂ u₄ = 3u₃ u₄ = 3 × 135 u₄ = 405 b) Pour tout entier n, on donne : { v₀ = 3 vₙ₊₁ = 4vₙ - 6 --- Page 3 --- II. Sens de variation d’une suite Exemple : On a représenté ci-dessous le nuage de points des premiers ter...")
59. Détail source à réviser : a) Pour tout entier n, on donne : { u₀ = 5 uₙ₊₁ = 3uₙ u₀ = 5 u₁ = 3u₀ u₂ = 3u₁ u₃ = 3u₂ u₄ = 3u₃ u₄ = 3 × 135 u₄ = 405 b) Pour tout entier n, on donne : { v₀ = 3 vₙ₊₁ = 4vₙ - 6 --- Page 3 --- II (Source: "a) Pour tout entier n, on donne : { u₀ = 5 uₙ₊₁ = 3uₙ u₀ = 5 u₁ = 3u₀ u₂ = 3u₁ u₃ = 3u₂ u₄ = 3u₃ u₄ = 3 × 135 u₄ = 405 b) Pour tout entier n, on donne : { v₀ = 3 vₙ₊₁ = 4vₙ - 6 --- Page 3 --- II")
60. Détail source à réviser : Sens de variation d’une suite Exemple : On a représenté ci-dessous le nuage de points des premiers termes d’une suite (uₙ) : [Graphique avec points] On observe que cette suite est croissante (Source: "Sens de variation d’une suite Exemple : On a représenté ci-dessous le nuage de points des premiers termes d’une suite (uₙ) : [Graphique avec points] On observe que cette suite est croissante")
61. Détail source à réviser : 1. Définitions k ∈ N, I = {n ∈ N / n ≥ k} (uₙ)ₙ∈N est strictement croissante sur N ssi pour tout n ∈ N, uₙ < uₙ₊₁ (uₙ)ₙ∈N est croissante sur N ssi pour tout n ∈ N, uₙ ≤ uₙ₊₁ (uₙ)ₙ∈N est strictement décroissante sur N ssi (Source: "1. Définitions k ∈ N, I = {n ∈ N / n ≥ k} (uₙ)ₙ∈N est strictement croissante sur N ssi pour tout n ∈ N, uₙ < uₙ₊₁ (uₙ)ₙ∈N est croissante sur N ssi pour tout n ∈ N, uₙ ≤ uₙ₊₁ (uₙ)ₙ∈N est strictement décroissante sur N ssi pour tout n ∈ N, uₙ > uₙ₊₁ (uₙ)ₙ∈N est décroissante sur N ssi pour tout n ∈ N, uₙ ≥ uₙ₊₁ (uₙ)ₙ∈N est constante sur N ssi pour tout n ∈ N...")
62. Détail source à réviser : uₙ)ₙ∈N est strictement croissante sur N ssi pour tout n ∈ N, uₙ < uₙ₊₁ (uₙ)ₙ∈N est croissante sur N ssi pour tout n ∈ N, uₙ ≤ uₙ₊₁ (uₙ)ₙ∈N (Source: "uₙ)ₙ∈N est strictement croissante sur N ssi pour tout n ∈ N, uₙ < uₙ₊₁ (uₙ)ₙ∈N est croissante sur N ssi pour tout n ∈ N, uₙ ≤ uₙ₊₁ (uₙ)ₙ∈N")
63. Détail source à réviser : 2. Exemples Étudier le sens de variation des suites suivantes (Source: "2. Exemples Étudier le sens de variation des suites suivantes")
64. Détail source à réviser : 1. (uₙ) définie sur N par uₙ = 4n + 3 u₀ = 3 u₁ = 7 u₂ = 11 u₃ = 15 Il semble que la suite soit croissante Je calcule uₙ₊₁ → 3 + 1 = 4 ; 7 + 1 = 8 ; 11 + 1 = 12 ; 15 + 1 = 16 J’étudie le signe de la différence uₙ₊₁ - uₙ (Source: "1. (uₙ) définie sur N par uₙ = 4n + 3 u₀ = 3 u₁ = 7 u₂ = 11 u₃ = 15 Il semble que la suite soit croissante Je calcule uₙ₊₁ → 3 + 1 = 4 ; 7 + 1 = 8 ; 11 + 1 = 12 ; 15 + 1 = 16 J’étudie le signe de la différence uₙ₊₁ - uₙ = 2")
65. Détail source à réviser : (vₙ) définie sur N par vₙ = -5n + 2 u₀ = 2 u₁ = -3 u₂ = -8 Elle semble décroissante Je calcule : vₙ₊₁ : -5(n+1) + 2 = -5n - 5 + 2 = -5n - 3 J’étudie le signe de la différence : 3 (Source: "(vₙ) définie sur N par vₙ = -5n + 2 u₀ = 2 u₁ = -3 u₂ = -8 Elle semble décroissante Je calcule : vₙ₊₁ : -5(n+1) + 2 = -5n - 5 + 2 = -5n - 3 J’étudie le signe de la différence : 3")
66. Détail source à réviser : (wₙ) définie sur N par wₙ₊₁ = wₙ + 5 wₙ₊₁ = wₙ + 5 wₙ₊₁ - wₙ = 5 wₙ₊₁ - wₙ > 0 wₙ₊₁ > wₙ (wₙ) est strictement croissante sur N u_n → 2n + 1 v_n : n → 1/n Méthodes 1) Sachant que n < n + 1, on compare u_n et u_n+1 en util (Source: "(wₙ) définie sur N par wₙ₊₁ = wₙ + 5 wₙ₊₁ = wₙ + 5 wₙ₊₁ - wₙ = 5 wₙ₊₁ - wₙ > 0 wₙ₊₁ > wₙ (wₙ) est strictement croissante sur N u_n → 2n + 1 v_n : n → 1/n Méthodes 1) Sachant que n < n + 1, on compare u_n et u_n+1 en utilisant la propriété de la relation d'ordre 2) On étudie le signe de la diff. u_n+1 - u_n 1. Calcul u_n+1 = 4(n + 1) + 3 u_n = 4n + 3 Signe...")
67. Détail source à réviser : u_n+1 - u_n 1. Calcul u_n+1 = 4(n + 1) + 3 u_n = 4n + 3 Signe u_n+1 - u_n = (4n + 7) - (4n + 3) u_n+1 - u_n = 4n + 7 - 4n - 3 u_n+1 - u_n (Source: "u_n+1 - u_n 1. Calcul u_n+1 = 4(n + 1) + 3 u_n = 4n + 3 Signe u_n+1 - u_n = (4n + 7) - (4n + 3) u_n+1 - u_n = 4n + 7 - 4n - 3 u_n+1 - u_n")
68. Détail source à réviser : 1. Calcul u_n+1 = 4(n + 1) + 3 u_n = 4n + 3 Signe u_n+1 - u_n = (4n + 7) - (4n + 3) u_n+1 - u_n = 4n + 7 - 4n - 3 u_n+1 - u_n = 4 u_n+1 - u_n > 0 u_n+1 > u_n (u_n) est croissante strictement sur N 2 (Source: "1. Calcul u_n+1 = 4(n + 1) + 3 u_n = 4n + 3 Signe u_n+1 - u_n = (4n + 7) - (4n + 3) u_n+1 - u_n = 4n + 7 - 4n - 3 u_n+1 - u_n = 4 u_n+1 - u_n > 0 u_n+1 > u_n (u_n) est croissante strictement sur N 2")
69. Détail source à réviser : Calcul u_n+1 = 4(n + 1) + 3 u_n = 4n + 3 Signe u_n+1 - u_n = (4n + 7) - (4n + 3) u_n+1 - u_n = 4n + 7 - 4n - 3 u_n+1 - u_n = 4 u_n+1 - u_n > 0 u_n+1 > u_n (u_n) est croissante strictement sur N 2. Signe v_n+1 - v_n = (-5 (Source: "Calcul u_n+1 = 4(n + 1) + 3 u_n = 4n + 3 Signe u_n+1 - u_n = (4n + 7) - (4n + 3) u_n+1 - u_n = 4n + 7 - 4n - 3 u_n+1 - u_n = 4 u_n+1 - u_n > 0 u_n+1 > u_n (u_n) est croissante strictement sur N 2. Signe v_n+1 - v_n = (-5n - 3) - (-5n + 2) = -5n - 3 + 5n - 2 v_n+1 - v_n = -5 v_n+1 - v_n ≤ 0 v_n+1 - v_n < v_n (v_n) est décroissante strictement sur N n=3 : b...")
70. Détail source à réviser : Représentation graphique Dans un repère, la représentation graphique d’une suite (uₙ) est le nuage de points de coordonnées (n ; uₙ) où n ∈ I Représenter les suites (uₙ) et (vₙ) citées ci-dessus --- Page 2 --- 3. modes d (Source: "Représentation graphique Dans un repère, la représentation graphique d’une suite (uₙ) est le nuage de points de coordonnées (n ; uₙ) où n ∈ I Représenter les suites (uₙ) et (vₙ) citées ci-dessus --- Page 2 --- 3. modes de génération d’une suite a) Suite définie par une formule explicite Une suite peut être définie par une formule explicite qui permet de c...")
71. Détail source à réviser : 3. (wₙ) définie sur N par wₙ₊₁ = wₙ + 5 wₙ₊₁ = wₙ + 5 wₙ₊₁ - wₙ = 5 wₙ₊₁ - wₙ > 0 wₙ₊₁ > wₙ (wₙ) est strictement croissante sur N u_n → 2n + 1 v_n : n → 1/n Méthodes 1) Sachant que n < n + 1, on compare u_n et u_n+1 en u (Source: "3. (wₙ) définie sur N par wₙ₊₁ = wₙ + 5 wₙ₊₁ = wₙ + 5 wₙ₊₁ - wₙ = 5 wₙ₊₁ - wₙ > 0 wₙ₊₁ > wₙ (wₙ) est strictement croissante sur N u_n → 2n + 1 v_n : n → 1/n Méthodes 1) Sachant que n < n + 1, on compare u_n et u_n+1 en utilisant la propriété de la relation d'ordre 2) On étudie le signe de la diff")
72. Détail source à réviser : I. Définition et mode de génération d’une suite 1 (Source: "I. Définition et mode de génération d’une suite 1")
73. Détail source à réviser : (uₙ) définie sur N par uₙ = 4n + 3 u₀ = 3 u₁ = 7 u₂ = 11 u₃ = 15 Il semble que la suite soit croissante Je calcule uₙ₊₁ → 3 + 1 = 4 ; 7 + 1 = 8 ; 11 + 1 = 12 ; 15 + 1 = 16 J’étudie le signe de la différence uₙ₊₁ - uₙ = 2 (Source: "(uₙ) définie sur N par uₙ = 4n + 3 u₀ = 3 u₁ = 7 u₂ = 11 u₃ = 15 Il semble que la suite soit croissante Je calcule uₙ₊₁ → 3 + 1 = 4 ; 7 + 1 = 8 ; 11 + 1 = 12 ; 15 + 1 = 16 J’étudie le signe de la différence uₙ₊₁ - uₙ = 2")
74. Détail source à réviser : Définition-notations Définition : p ∈ N, = {n ∈ N / n ≥ p} Une suite numérique est une fonction, définie pour tous les entiers naturels n à partir d’un certain entier naturel p, qui à tout entier naturel n ≥ p associe un (Source: "Définition-notations Définition : p ∈ N, = {n ∈ N / n ≥ p} Une suite numérique est une fonction, définie pour tous les entiers naturels n à partir d’un certain entier naturel p, qui à tout entier naturel n ≥ p associe un nombre réel u(n) noté uₙ")
75. Détail source à réviser : --- Page 1 --- LES SUITES NUMERIQUES I (Source: "--- Page 1 --- LES SUITES NUMERIQUES I")
76. Détail source à réviser : Définitions k ∈ N, I = {n ∈ N / n ≥ k} (uₙ)ₙ∈N est strictement croissante sur N ssi pour tout n ∈ N, uₙ < uₙ₊₁ (uₙ)ₙ∈N est croissante sur N ssi pour tout n ∈ N, uₙ ≤ uₙ₊₁ (uₙ)ₙ∈N est strictement décroissante sur N ssi po (Source: "Définitions k ∈ N, I = {n ∈ N / n ≥ k} (uₙ)ₙ∈N est strictement croissante sur N ssi pour tout n ∈ N, uₙ < uₙ₊₁ (uₙ)ₙ∈N est croissante sur N ssi pour tout n ∈ N, uₙ ≤ uₙ₊₁ (uₙ)ₙ∈N est strictement décroissante sur N ssi pour tout n ∈ N, uₙ > uₙ₊₁ (uₙ)ₙ∈N est décroissante sur N ssi pour tout n ∈ N, uₙ ≥ uₙ₊₁ (uₙ)ₙ∈N est con")
77. Détail source à réviser : --- Page 1 --- LES SUITES NUMERIQUES I. Définition et mode de génération d’une suite 1. Définition-notations Définition : p ∈ N, = {n ∈ N (Source: "--- Page 1 --- LES SUITES NUMERIQUES I. Définition et mode de génération d’une suite 1. Définition-notations Définition : p ∈ N, = {n ∈ N")
78. Détail source à réviser : )ₙ∈I L’image de n par u est notée uₙ, on lit « u indice n » uₙ est le terme général de la suite Pour la suite (uₙ)ₙ≥p : uₚ est le terme (Source: ")ₙ∈I L’image de n par u est notée uₙ, on lit « u indice n » uₙ est le terme général de la suite Pour la suite (uₙ)ₙ≥p : uₚ est le terme")
79. Détail source à réviser : st : v₁ = 1 le nième est : vₙ = 1/n 2. Représentation graphique Dans un repère, la représentation graphique d’une suite (uₙ) est le nuage (Source: "st : v₁ = 1 le nième est : vₙ = 1/n 2. Représentation graphique Dans un repère, la représentation graphique d’une suite (uₙ) est le nuage")
80. Détail source à réviser : points de coordonnées (n ; uₙ) où n ∈ I Représenter les suites (uₙ) et (vₙ) citées ci-dessus --- Page 2 --- 3. modes de génération d’une (Source: "points de coordonnées (n ; uₙ) où n ∈ I Représenter les suites (uₙ) et (vₙ) citées ci-dessus --- Page 2 --- 3. modes de génération d’une")
81. Détail source à réviser : n+2) + (n+2)/(n+2) vₙ₊₁ = (2n + 3)/(n+2) b) Suites définies par une relation de récurrence Chaque terme de la suite s’obtient à partir du (Source: "n+2) + (n+2)/(n+2) vₙ₊₁ = (2n + 3)/(n+2) b) Suites définies par une relation de récurrence Chaque terme de la suite s’obtient à partir du")
82. Détail source à réviser : dessous le nuage de points des premiers termes d’une suite (uₙ) : [Graphique avec points] On observe que cette suite est croissante. (Source: "dessous le nuage de points des premiers termes d’une suite (uₙ) : [Graphique avec points] On observe que cette suite est croissante.")
83. Détail source à réviser : = 8 ; 11 + 1 = 12 ; 15 + 1 = 16 J’étudie le signe de la différence uₙ₊₁ - uₙ = 2. (vₙ) définie sur N par vₙ = -5n + 2 u₀ = 2 u₁ = -3 u₂ = (Source: "= 8 ; 11 + 1 = 12 ; 15 + 1 = 16 J’étudie le signe de la différence uₙ₊₁ - uₙ = 2. (vₙ) définie sur N par vₙ = -5n + 2 u₀ = 2 u₁ = -3 u₂ =")
84. Détail source à réviser : 8 Elle semble décroissante Je calcule : vₙ₊₁ : -5(n+1) + 2 = -5n - 5 + 2 = -5n - 3 J’étudie le signe de la différence : 3. (Source: "8 Elle semble décroissante Je calcule : vₙ₊₁ : -5(n+1) + 2 = -5n - 5 + 2 = -5n - 3 J’étudie le signe de la différence : 3.")
85. Détail source à réviser : 4 u_n+1 - u_n > 0 u_n+1 > u_n (u_n) est croissante strictement sur N 2. (Source: "4 u_n+1 - u_n > 0 u_n+1 > u_n (u_n) est croissante strictement sur N 2.")
86. Détail source à réviser : a suite. uₙ₋₁ ; uₙ et uₙ₊₁ sont trois termes consécutifs de la suite Exemples : ex 1 : la suite des nombres impairs u : N → R n ↦ uₙ = 2n (Source: "a suite. uₙ₋₁ ; uₙ et uₙ₊₁ sont trois termes consécutifs de la suite Exemples : ex 1 : la suite des nombres impairs u : N → R n ↦ uₙ = 2n")
87. Détail source à réviser : indice n à partir de n. Ex 1 : Calculer les quatre premiers termes de la suite (uₙ)ₙ∈N définie par uₙ = 2n Ex 2 : Calculer les quatre (Source: "indice n à partir de n. Ex 1 : Calculer les quatre premiers termes de la suite (uₙ)ₙ∈N définie par uₙ = 2n Ex 2 : Calculer les quatre")
88. Détail source à réviser : ₁₀₀ calculer vₙ₊₁ puis vₙ + 1 v₀ = 1/2 v₁ = 2/3 v₂ = 3/4 v₃ = 4/5 v₄ = 5/6 v₁₀₀ = 101/102 vₙ = (n+1)/(n+2) vₙ₊₁ = (n+2)/(n+3) vₙ₊₁ = (Source: "₁₀₀ calculer vₙ₊₁ puis vₙ + 1 v₀ = 1/2 v₁ = 2/3 v₂ = 3/4 v₃ = 4/5 v₄ = 5/6 v₁₀₀ = 101/102 vₙ = (n+1)/(n+2) vₙ₊₁ = (n+2)/(n+3) vₙ₊₁ =")
89. Détail source à réviser : des suites suivantes : a) Pour tout entier n, on donne : { u₀ = 5 uₙ₊₁ = 3uₙ u₀ = 5 u₁ = 3u₀ u₂ = 3u₁ u₃ = 3u₂ u₄ = 3u₃ u₄ = 3 × 135 u₄ (Source: "des suites suivantes : a) Pour tout entier n, on donne : { u₀ = 5 uₙ₊₁ = 3uₙ u₀ = 5 u₁ = 3u₀ u₂ = 3u₁ u₃ = 3u₂ u₄ = 3u₃ u₄ = 3 × 135 u₄")
90. Détail source à réviser : 405 b) Pour tout entier n, on donne : { v₀ = 3 vₙ₊₁ = 4vₙ - 6 --- Page 3 --- II. (Source: "405 b) Pour tout entier n, on donne : { v₀ = 3 vₙ₊₁ = 4vₙ - 6 --- Page 3 --- II.")
91. Détail source à réviser : (uₙ) définie sur N par uₙ = 4n + 3 u₀ = 3 u₁ = 7 u₂ = 11 u₃ = 15 Il semble que la suite soit croissante Je calcule uₙ₊₁ → 3 + 1 = 4 ; (Source: "(uₙ) définie sur N par uₙ = 4n + 3 u₀ = 3 u₁ = 7 u₂ = 11 u₃ = 15 Il semble que la suite soit croissante Je calcule uₙ₊₁ → 3 + 1 = 4 ;")
92. Détail source à réviser : N par wₙ₊₁ = wₙ + 5 wₙ₊₁ = wₙ + 5 wₙ₊₁ - wₙ = 5 wₙ₊₁ - wₙ > 0 wₙ₊₁ > wₙ (wₙ) est strictement croissante sur N u_n → 2n + 1 v_n : n → 1/n (Source: "N par wₙ₊₁ = wₙ + 5 wₙ₊₁ = wₙ + 5 wₙ₊₁ - wₙ = 5 wₙ₊₁ - wₙ > 0 wₙ₊₁ > wₙ (wₙ) est strictement croissante sur N u_n → 2n + 1 v_n : n → 1/n")
93. Détail source à réviser : uₙ) où n ∈ I Représenter les suites (uₙ) et (vₙ) citées ci-dessus --- Page 2 --- 3. (Source: "uₙ) où n ∈ I Représenter les suites (uₙ) et (vₙ) citées ci-dessus --- Page 2 --- 3.")
94. Détail source à réviser : thodes 1) Sachant que n < n + 1, on compare u_n et u_n+1 en utilisant la propriété de la relation d'ordre 2) On étudie le signe de la diff. (Source: "thodes 1) Sachant que n < n + 1, on compare u_n et u_n+1 en utilisant la propriété de la relation d'ordre 2) On étudie le signe de la diff.")
95. Détail source à réviser : onstante sur N ssi pour tout n ∈ N, uₙ = uₙ₊₁ [Graphiques] --- Page 4 --- 2. (Source: "onstante sur N ssi pour tout n ∈ N, uₙ = uₙ₊₁ [Graphiques] --- Page 4 --- 2.")
96. Détail source à réviser : 15 + 1 = 16 J’étudie le signe de la différence uₙ₊₁ - uₙ = 2. (Source: "15 + 1 = 16 J’étudie le signe de la différence uₙ₊₁ - uₙ = 2.")

📊 Tableaux de Synthèse

Comparaison des modes de génération des suites

Mode	Description	Exemples
Formule explicite	Donne chaque terme en fonction de n	uₙ = 2n + 1, vₙ = 1/n
Relation de récurrence	Exprime chaque terme à partir du précédent	uₙ₊₁ = 3uₙ, vₙ₊₁ = 4vₙ - 6

Critères de variation des suites

Type de suite	Condition	Signe de la différence
Suite croissante	uₙ < uₙ₊₁ pour tout n	uₙ₊₁ - uₙ > 0
Suite décroissante	uₙ ≥ uₙ₊₁ pour tout n	uₙ₊₁ - uₙ ≤ 0
Suite constante	uₙ = uₙ₊₁ pour tout n	uₙ₊₁ - uₙ = 0

⚠️ Pièges & Confusions Fréquentes

1. Confondre formule explicite et relation de récurrence.
2. Analyser le sens de variation sans comparer les termes consécutifs.
3. Oublier de vérifier la monotonie pour tous les n.
4. Confondre suite croissante et suite décroissante.
5. Ne pas considérer le signe de la différence uₙ₊₁ - uₙ.
6. Utiliser une formule explicite pour analyser la variation sans justification.
7. Confondre suite constante avec suite monotone.

✅ Checklist Examen

1. Vérifier la définition d'une suite numérique.
2. Savoir représenter graphiquement une suite.
3. Différencier formule explicite et relation de récurrence.
4. Calculer les premiers termes d'une suite.
5. Comparer les termes consécutifs pour étudier la variation.
6. Identifier si une suite est croissante, décroissante ou constante.
7. Utiliser le signe de la différence pour déterminer la variation.
8. Représenter graphiquement une suite dans un repère.
9. Analyser le comportement d'une suite à partir de ses termes.