Scheda di revisione: Dynamique et oscillateurs en mécanique

📋 Plan du Cours

1. Notion de système isolé et pseudo-isolé en dynamique newtonienne
2. Oscillateur harmonique libre : équation différentielle et exemples (pendule élastique horizontal et vertical)
3. Oscillateurs amortis : équation différentielle, discriminant et cas d’amortissement
4. Oscillateurs forcés et résonances : amplitude, phase et dépendance à la fréquence
5. Simulation d’oscillateurs mécaniques libres et forcés
6. Travail d’une force constante sur un déplacement rectiligne
7. Énergie cinétique, énergie potentielle et puits de potentiel en mécanique du point
8. Évolution énergétique des systèmes non isolés avec frottements et potentiels anharmoniques
9. Portraits de phase et dynamique amortie dans les puits de potentiel complexes
10. Principes énergétiques et conservation de l’énergie en dynamique des systèmes matériels
11. Référentiels galiléens et principe d’inertie
12. Analogie entre oscillateurs mécaniques amortis et circuits électriques RLC

📖 1. Notion de système isolé et pseudo-isolé en dynamique newtonienne

🔑 Notions clés & Définitions

• Important : Tout corps isolé qui n’est soumis à aucune sorte d’interaction avec d’autres ob- jets matériels, conserve l’état de repos ou de mouvement rectiligne uniforme qu’il possédait auparavant.
• Première Loi de Newton : Principe d'inertie indiquant que dans un référentiel galiléen, un système soumis à des forces équilibrées conserve sa quantité de mouvement, et toute variation de cette quantité est due à une force non compensée.
• Système isolé : On peut donc établir la relation Ec ≥ 0 ⇔ Ec

📝 Points essentiels

• Un système pseudo-isolé subit des actions extérieures qui se compensent exactement, le système se comporte comme isolé.
• Sur Terre, aucun système n’est rigoureusement isolé, notamment à cause de la gravitation terrestre.
• La notion d’isolement est essentielle pour appliquer les lois de Newton sans influence extérieure.

💡 À retenir

Un système pseudo-isolé subit des actions extérieures qui se compensent exactement, le système se comporte comme isolé.

📖 2. Oscillateur harmonique libre : équation différentielle et exemples (pendule élastique horizontal et vertical)

🔑 Notions clés & Définitions

• Droite : Masse en mouvement, on considère que le mobile est dans sa phase de descente, le vecteur vitesse est suivant #»ux, la force de frottement opposée à la vitesse est donc dans le sens opposé à #»ux 20 dire que λ ≈ ω0.
• Oscillateur harmonique libre : Un système mécanique simple dont le mouvement est décrit par une équation différentielle linéaire homogène sans amortissement ni force extérieure, oscillant autour d'une position d'équilibre.
• Pendule élastique horizontal : 1 – Exemple de mouvement d’un oscillateur harmonique de fréquence 1Hz et d’amplitude 3cm 10

📝 Points essentiels

• L’équation différentielle de l’oscillateur harmonique libre est ¨x + (k/m) x = 0, où k est la constante de raideur et m la masse.
• Le pendule élastique horizontal est un exemple typique d’oscillateur harmonique libre avec déplacement autour d’une position d’équilibre.
• Le pendule élastique vertical présente la même équation différentielle que le pendule horizontal, avec la position définie par rapport à l’équilibre.
• La position x(t) est mesurée par rapport au point d’équilibre du système, ce qui simplifie l’équation du mouvement.

💡 À retenir

L’oscillateur harmonique libre modélise des systèmes mécaniques simples dont le mouvement est décrit par une équation différentielle linéaire homogène.

📖 3. Oscillateurs amortis : équation différentielle, discriminant et cas d’amortissement

🔑 Notions clés & Définitions

• Équation différentielle : Si l’on prend le système statique (masse à l’équilibre et immobile) et que l’on applique le PFD, on obtient #» P + #» T
• Pseudo-période : Danger : Ce mouvement est appelé pseudo-périodique, puisque entre deux maximas succes- sifs, l’oscillateur ne repasse pas par la même position, donc x(t)̸
• Décrément logarithmique : Logarithme du rapport des amplitudes successives des oscillations, caractérisant la décroissance exponentielle de l’amplitude.

📝 Points essentiels

• Dans le cas sous-amorti, la solution est pseudo-périodique avec une amplitude décroissante exponentiellement, et la pseudo-période T est plus longue que la période sans frottement.
• Le décrément logarithmique δ est défini comme le logarithme du rapport des amplitudes successives, indiquant la vitesse de décroissance de l’amplitude.

💡 À retenir

L’analyse du discriminant et des solutions permet de classifier précisément les comportements des oscillateurs amortis, notamment en distinguant entre sous-amorti, critique et sur-amorti.

📖 4. Oscillateurs forcés et résonances : amplitude, phase et dépendance à la fréquence

🔑 Notions clés & Définitions

• Résonance mécanique : Phénomène qui se produit lorsque la pulsation de la force extérieure appliquée à un oscillateur est égale à la pulsation naturelle de cet oscillateur, entraînant une amplitude maximale de la vitesse.
• Phase de l’oscillateur : Angle caractérisant le décalage temporel entre le déplacement de l’oscillateur et la force excitatrice sinusoïdale qui le soumet, dépendant de la pulsation de cette force.
• Oscillateurs forcés - Résonances : Oscillateurs forcés - Résonances Mécanique du point Semetre 2, L1 MPCE2I Fig.

📝 Points essentiels

• L’oscillateur forcé est soumis à une force extérieure sinusoïdale de pulsation ω, modifiant son amplitude et sa phase.
• L’amplitude X0(ω) et la phase ϕ(ω) du déplacement dépendent explicitement de la pulsation ω de la force excitatrice.
• La résonance mécanique se produit lorsque la pulsation de la force externe ω est égale à la pulsation naturelle ω0 de l’oscillateur.
• La représentation complexe facilite le calcul des amplitudes et phases dans le cas forcé.
• 1. = 0 A la résonance mécanique, la vitesse de l’oscillateur est en phase avec la force excitatrice et l’amplitude de la vitesse est maximale. Pour les basses fréquences, la vitesse du système est en avance d’une quadrature de phase par rapport à la phase du moteur, pour les hautes fréquences, l’oscillateur est en retard d’une quadrature de phase par rapport au moteur. 4.2. Solutions de l’équation différentielle 43 Mécanique du point Semetre 2, L1 MPCE2I Fig. 4.4 – Vitesse du résonateur de fréquence propre ν0 = 1Hz et pulsation propre ω0 = 2πν0 en fonction de la pulsation de l’excitateur. L’excitateur a un déplacement d’amplitude 1cm et de fréquence ω variable. Les vitesses en bleu sont obtenues avec les coefficients d’amortissements les plus élevés, en rouge les amortissements les plus faibles (respectivement λ = [5.0, 4.0, 3.0, 2.0, 1.5, 1.25, 1.0, 0.75, 0.5, 0.3]s−

💡 À retenir

L’oscillateur forcé est soumis à une force extérieure sinusoïdale de pulsation ω, modifiant son amplitude et sa phase.

📖 5. Simulation d’oscillateurs mécaniques libres et forcés

🔑 Notions clés & Définitions

• Positif (∆ : Une condition où le discriminant ∆ = λ² − ω₀² est strictement supérieur à zéro, ce qui implique que l’équation différentielle associée à l’oscillateur admet deux racines réelles négatives distinctes.
• Conditions initiales : 1 Oscillateur harmonique amorti par frottement fluide Si l’on applique le principe fondamental de la mécanique à la masse en mouvement dans un repère galilléen, on peut écrire pour l’oscillateur au repos #» P + #» T
• Note : La résonnance de vitesses est donc obtenue lorsque la pulsation du moteur est ωr
• Oscillateurs mécaniques : Oscillateurs mécaniques Mécanique du point Semetre 2, L1 MPCE2I Fig.

📝 Points essentiels

• La simulation permet de visualiser la trajectoire et la vitesse d’un système masse-ressort en fonction des paramètres et conditions initiales.
• Pour simuler un oscillateur libre, le frottement doit être nul (α = 0).
• Différentes valeurs de masse, constante de raideur, position et vitesse initiales modifient la dynamique simulée.
• La simulation est un outil pédagogique pour comprendre les comportements des oscillateurs libres et forcés.
• Oscillateurs forcés - Résonances Mécanique du point Semetre 2, L1 MPCE2I Note : Le relations d’amplitude des vitesses peuvent être reliées à celles trouvées sur la l’amplitude de déplacement, on voit clairement que V0(ω) = ωX0(ω) ϕv(ω) = π 2 + ϕ(ω) Analyse de la vitesse On cherche ici aussi le maximum de vitesse obtenue pour le système masse-ressort en fonction de la pulsation externe du moteur.

💡 À retenir

La simulation numérique est un moyen efficace pour explorer et comprendre les comportements dynamiques des oscillateurs mécaniques.

📖 6. Travail d’une force constante sur un déplacement rectiligne

🔑 Notions clés & Définitions

• ΔWx→x+dx ( #» T ) : Le travail élémentaire d’une force constante lors d’un déplacement infinitésimal est le produit scalaire de la force par le vecteur déplacement élémentaire.
• Déplacement rectiligne : Un déplacement rectiligne est un mouvement le long d’une trajectoire en ligne droite entre deux points.

📝 Points essentiels

• Le travail total d’une force sur un déplacement #AB est une intégrale sur la trajectoire suivie.
• Le travail peut être positif, négatif ou nul selon l’orientation de la force par rapport au déplacement.
• Certaines forces ne produisent pas de travail, par exemple les forces perpendiculaires au déplacement.
• Le travail d’une force constante pouvant-être assimilée à un produit scalaire, le travail peut être positif, négatif ou nul en fonction de l’angle α formé entre la force et le sens de déplacement 50 Chapitre 6.
• Travail des forces de frottement Les forces de frottement s’opposent au déplacement et ne sont pas constantes, ainsi la détermination du travail d’une force de frottement nécéssite de connaître la trajectoire réellement parcourue par le système.

💡 À retenir

Le calcul du travail d’une force constante sur un déplacement rectiligne est fondamental pour relier forces et énergie en mécanique.

📖 7. Énergie cinétique, énergie potentielle et puits de potentiel en mécanique du point

🔑 Notions clés & Définitions

• Énergie cinétique : Fonction d'état définie par Ec = ½ mv², dépendant uniquement de la masse et de la vitesse instantanée du point matériel dans un référentiel galiléen.
• Énergie potentielle : Ec = Em − Ep ⇔ v(x) = dx dt
• Energie Mécanique du point Semetre : Travail et Energie Mécanique du point Semetre 2, L1 MPCE2I vitesses.

📝 Points essentiels

• L'énergie cinétique est définie par Ec = ½ m v², fonction de la vitesse du point matériel.
• Un puits de potentiel correspond à une région où l'énergie potentielle présente un minimum local, permettant des états liés.
• Dans un puits de potentiel harmonique, les mouvements sont périodiques et peuvent être décrits par des fonctions trigonométriques simples.

💡 À retenir

La compréhension des énergies cinétique et potentielle et des puits de potentiel est essentielle pour analyser les mouvements liés en mécanique.

📖 8. Évolution énergétique des systèmes non isolés avec frottements et potentiels anharmoniques

🔑 Notions clés & Définitions

• Abscence de frottements : ș À faire Reprenez l’oscillateur ressort-masse horizontal et redéveloppez le PFD en l’abscence de frottements solides mais en présence de frottements fluides.
• Energie Mécanique : Grandeur physique égale à la somme de l'énergie cinétique et de l'énergie potentielle d'un système, qui peut diminuer en présence de forces dissipatives comme les frottements.
• Systèmes non isolés : Cette problématique de l’isolement du système a longtemps perturbé les expérimentateurs qui ne pouvaient unifier la mécanique célestes (systèmes « isolés » du point de vue des forces de frottement) avec la mécanique terrestre (chute des corps sur terre, systèmes non-isolés du point de vue des forces de frottement) 1.2.

📝 Points essentiels

• Dans les systèmes non isolés, l’énergie mécanique n’est pas conservée à cause des frottements.
• Les potentiels anharmoniques produisent des trajectoires et énergies périodiques mais non sinusoïdales.
• La dissipation d’énergie par les frottements conduit à une décroissance progressive de l’amplitude des oscillations.
• Le système peut s’arrêter dans un minimum d’énergie dépendant des conditions initiales et du potentiel.
• Chapitre 6. Travail et Energie Mécanique du point Semetre 2, L1 MPCE2I Fig. 6.6 – Trois exemples de trajectoires différentes entre deux points A et B et finaux du système sans que la trajectoire réèllement suivie n’apparaisse dans la déter- mination du travail (poids, tension d’un ressort, force constante le long du déplacement). Pour d’autres forces, la connaissance réèlle du trajet et l’intégration du travail suivant la trajectoire réèllement parcourue est nécéssaire à la détermination du travail de la force lors du déplacement. Les forces dont le travail ne dépend pas de la trajectoire sont dites conservatives, opposées aux forces dont le travail dépend de la trajectoire, appelées forces non-conservatives Ainsi le travail des forces conservatives ne dépendant pas du chemin suivi, mais des positions extrémales, pour n’importe quel chemin formant un « aller-retour », on obtient WA→A ( #» F ) = WA→B→A ( #» F ) = WA→B ( #» F ) ︸ ︷︷ ︸ Traj. 1 + WB→A ( #» F ) ︸ ︷︷ ︸ Traj. 2 = WA→B ( #» F ) ︸ ︷︷ ︸ Traj. 1 − WA→B ( #» F ) ︸ ︷︷ ︸ Traj. 2 = 0 Note : Le travail d’une force conservative le long d’une trajectoire fermée est donc nul, ce qui s’écrit ∮ #» F · #» dℓ = 0 Avec le symbole ∮ représentant une « intégrale de chemin », c’est à dire l’intégration sur un contour fermé. 6.2.
• Chapitre 6. Travail et Energie Mécanique du point Semetre 2, L1 MPCE2I Puit de potentiel frottement Dans le cas d’une énergie mécanique non-conservée dans un potentiel multiple, le système peut aussi s’arrêter dans un minimum d’énergie qui n’est pas obligatoirement le minimum plus stable, mais qui dépend des données du problème et principalement des conditions initiales. La position et la vitesse sont des fonctions amorties et les portraits de phase peuvent être assez complexes, comme dans l’exemple ci dessous. Puit de potentiel double frottement 6.2. Energie 73

💡 À retenir

L’évolution énergétique des systèmes réels intègre la dissipation et la complexité des potentiels, modifiant profondément la dynamique.

📖 9. Portraits de phase et dynamique amortie dans les puits de potentiel complexes

🔑 Notions clés & Définitions

• Portrait de phase : Pour le cas particulier Ep(x0) = 0, on obtient Ep(x0) + Ec = Em ⇔ Ec = Em ⇔ vext = ± √2Em m Dans le cas de l’oscillateur harmonique, on a de plus l’équation suivante toujours vraie : Ec + Ep = Em = cte m 2 ˙x2 + k 2 x2
• Potentiel Dans : Fonction d’énergie potentielle associée à une force conservative, dont la courbure autour d’un point d’équilibre détermine la stabilité : un minimum local correspond à un équilibre stable, un maximum à un équilibre instable.
• Puits de potentiel : Les positions maximales étant atteintes lorsque la vitesse du système est nulle et donc lorsque l’énergie cinétique est nulle Ec = Em − Ep(x) ≥ 0 ⇔ Ec

📝 Points essentiels

• Le portrait de phase représente graphiquement la position et la vitesse du système dans un espace à deux dimensions.
• Dans un puits de potentiel complexe, les portraits de phase peuvent présenter des trajectoires non triviales et des points d’équilibre multiples.
• La dynamique amortie conduit à des trajectoires en spirale convergeant vers un minimum d’énergie.
• Les conditions initiales influencent fortement la trajectoire et le point d’arrêt dans un puits de potentiel multiple.
• Chapitre 6. Travail et Energie Mécanique du point Semetre 2, L1 MPCE2I Puit de potentiel frottement Dans le cas d’une énergie mécanique non-conservée dans un potentiel multiple, le système peut aussi s’arrêter dans un minimum d’énergie qui n’est pas obligatoirement le minimum plus stable, mais qui dépend des données du problème et principalement des conditions initiales. La position et la vitesse sont des fonctions amorties et les portraits de phase peuvent être assez complexes, comme dans l’exemple ci dessous. Puit de potentiel double frottement 6.2. Energie 73

💡 À retenir

Les portraits de phase sont des outils puissants pour visualiser et comprendre la dynamique amortie dans des potentiels complexes, en montrant la convergence vers des points d’équilibre multiples.

📖 10. Principes énergétiques et conservation de l’énergie en dynamique des systèmes matériels

🔑 Notions clés & Définitions

• Principe de conservation de l’énergie : Un principe fondamental de la physique qui affirme que dans un système matériel isolé, l’énergie mécanique totale, définie comme la somme de l’énergie cinétique et de l’énergie potentielle, reste constante au cours du temps en l'absence de forces non conservatives.

📝 Points essentiels

• Les principes énergétiques permettent de relier travail, énergie cinétique et énergie potentielle.
• La conservation de l’énergie est un outil fondamental pour résoudre des problèmes dynamiques sans résoudre explicitement les équations du mouvement.
• Les forces non conservatives, comme les frottements, entraînent une non-conservation de l’énergie mécanique.

💡 À retenir

Les principes énergétiques permettent de relier travail, énergie cinétique et énergie potentielle.

📖 11. Référentiels galiléens et principe d’inertie

🔑 Notions clés & Définitions

• 3 Seconde Loi de Newton : Principe fondamental de la dynamique indiquant que la force exercée sur un point matériel est égale à la masse du point multipliée par son accélération.
• Référentiel galiléen : Référentiel dans lequel le principe d’inertie est vérifié, c’est-à-dire où un point matériel isolé reste au repos ou en mouvement rectiligne uniforme.

📝 Points essentiels

• Les lois de Newton sont valides uniquement dans les référentiels galiléens.
• Un référentiel galiléen est un référentiel dans lequel le principe d’inertie est vérifié.

💡 À retenir

Les lois de Newton sont valides uniquement dans les référentiels galiléens.

📖 12. Analogie entre oscillateurs mécaniques amortis et circuits électriques RLC

🔑 Notions clés & Définitions

• Oscillateurs mécaniques : Systèmes physiques constitués d'une masse et d'un ressort ou d'un pendule, capables d'effectuer des mouvements vibratoires autour d'une position d'équilibre, modélisés par des équations différentielles du second ordre.

📝 Points essentiels

• L’équation différentielle d’un oscillateur mécanique amorti est formellement analogue à celle d’un circuit électrique RLC.
• La constante d’amortissement mécanique correspond à la résistance électrique dans le circuit RLC.
• La pulsation propre et la fréquence de résonance ont des équivalents électriques et mécaniques, permettant une transposition des résultats.
• Oscillateurs amortis 27 Mécanique du point Semetre 2, L1 MPCE2I Avec le coefficient d’amortissement λ = R 2L , et la pulsation propre du circuit ω0 = √ 1 LC On voit donc que le circuit RLC se comporte comme un oscillateur harmonique amorti.

💡 À retenir

L’analogie entre oscillateurs mécaniques amortis et circuits RLC offre un pont conceptuel facilitant la compréhension des deux domaines.

🧩 Compléments de couverture

1. Détail source à réviser : du point Semetre 2 L1 MPCE2I Rémi Busselez, Nicolas Errien, Pascal Ruello 2023 Chapitres : 1 Dynamique Newtonienne 1 1.1 Prérequis à la compréhension des lois de Newton . . . . . . . . . . . . . 1 1.2 Première Loi de New (Source: "du point Semetre 2 L1 MPCE2I Rémi Busselez, Nicolas Errien, Pascal Ruello 2023 Chapitres : 1 Dynamique Newtonienne 1 1.1 Prérequis à la compréhension des lois de Newton . . . . . . . . . . . . . 1 1.2 Première Loi de Newton : Principe d’inertie . . . . . . . . . . . . . . . . 2 1.3 Seconde Loi de Newton : Principe fondamental de la dynamique . . .")
2. Détail source à réviser : seuls leur mouvement de translation seront traités (pas de rotation des objets autour de leur centre de gravité), les systèmes devant être massifs, les objets du monde quantique seront exclus de l’approche Newtonienne, d (Source: "seuls leur mouvement de translation seront traités (pas de rotation des objets autour de leur centre de gravité), les systèmes devant être massifs, les objets du monde quantique seront exclus de l’approche Newtonienne, de plus comme noté dans le chapitre précédent, le temps étant un référentiel commun aux systèmes d’étude et au référentiel considéré,")
3. Détail source à réviser : Important : La quantité de mouvement d’une assemblée de points matériels, de masse totale m, est la même que celle d’un point matériel de même masse situé au centre d’inertie G 1.2 Première Loi de Newton : Principe d’ine (Source: "Important : La quantité de mouvement d’une assemblée de points matériels, de masse totale m, est la même que celle d’un point matériel de même masse situé au centre d’inertie G 1.2 Première Loi de Newton : Principe d’inertie 1.2.1 Systèmes isolés Ce prinicipe d’inertie déjà évoqué précédemment a été mis en évidence par les expériences de Galilée puis")
4. Détail source à réviser : ce dernier est galiléen, le référentiel du système étant lui aussi galiléen. Prenons une voiture en phase d’accélération et étudions la dynamique d’une balle légère dans l’habitacle. Dans le référentiel de la voiture, la (Source: "ce dernier est galiléen, le référentiel du système étant lui aussi galiléen. Prenons une voiture en phase d’accélération et étudions la dynamique d’une balle légère dans l’habitacle. Dans le référentiel de la voiture, la balle va spontanément se déplacer vers l’arrière de la voiture, la balle n’est pas en mouvement rectiligne uniforme dans le")
5. Détail source à réviser : lier la cause (actions non compen- sées) à l’effet mesurable (variation de quantité de mouvement). On relie les forces non-compensées à la variation temporelle de quantité de mouvement via la relation du principe fondame (Source: "lier la cause (actions non compen- sées) à l’effet mesurable (variation de quantité de mouvement). On relie les forces non-compensées à la variation temporelle de quantité de mouvement via la relation du principe fondamental de la dynamique (PFD) via ∑ # » Fext = d ( # »pG/R ) dt = d (m # »vG/R ) dt (1.1) Lorsque la masse du système est constante au cours")
6. Détail source à réviser : d #»ps dt = N∑ i d #»pi dt = N∑ i # » f ext i ︸ ︷︷ ︸ # » Fext + N∑ i N∑ j̸ =i # » fj→i ︸ ︷︷ ︸ = #» 0 d #»ps dt = # » F ext La double somme de l’équation sommant toutes les contributions des forces internes qui s’annulent (Source: "d #»ps dt = N∑ i d #»pi dt = N∑ i # » f ext i ︸ ︷︷ ︸ # » Fext + N∑ i N∑ j̸ =i # » fj→i ︸ ︷︷ ︸ = #» 0 d #»ps dt = # » F ext La double somme de l’équation sommant toutes les contributions des forces internes qui s’annulent deux à deux via le principe d’action-réaction. On a donc bien démontré en partant du principe d’action réaction que d #»ps dt = m # »aG =")
7. Détail source à réviser : solide Lorsque deux solides sont en contact, l’interface produit une force de frottement. Le frottement solide apparaît lorsque l’on tente de déplacer un solide sur un support solide. Cette force de frottement à deux eff (Source: "solide Lorsque deux solides sont en contact, l’interface produit une force de frottement. Le frottement solide apparaît lorsque l’on tente de déplacer un solide sur un support solide. Cette force de frottement à deux effets principaux 1. Elle permet à un solide de rester immobile lorsqu’on le place en déséquilibre ma- nifeste (cf Forces de contact à")
8. Détail source à réviser : la résultante des forces appliquées au centre d’inertie du système. Droite, graphe montrant l’intensité de la force de frottement en fonction de la force externe, pour des valeurs de force externe ∥ # » Fe∥ ∥ # » RN ∥ < (Source: "la résultante des forces appliquées au centre d’inertie du système. Droite, graphe montrant l’intensité de la force de frottement en fonction de la force externe, pour des valeurs de force externe ∥ # » Fe∥ ∥ # » RN ∥ < μ l’intensité de la force de frottement est égale à la force externe. Au dessus de cette limite, la force de frottement est constante et")
9. Détail source à réviser : sinusoidale, on peut aussi définir la position de 9 Mécanique du point Semetre 2, L1 MPCE2I Fig. 2.1 – Exemple de mouvement d’un oscillateur harmonique de fréquence 1Hz et d’amplitude 3cm 10 Chapitre 2. Oscillateurs méca (Source: "sinusoidale, on peut aussi définir la position de 9 Mécanique du point Semetre 2, L1 MPCE2I Fig. 2.1 – Exemple de mouvement d’un oscillateur harmonique de fréquence 1Hz et d’amplitude 3cm 10 Chapitre 2. Oscillateurs mécaniques Mécanique du point Semetre 2, L1 MPCE2I l’oscillateur comme étant la partie réelle du nombre complexe x(t) = Re(x(t)) x(t) = xmax")
10. Détail source à réviser : manières, elles sont indentiques d’un point de vue mathématique. On voit directement que les deux formes de la première égalité de (2.2) sont identiques si ϕ = π 2 − ψ. De même la partie réèlle de la troisième forme est (Source: "manières, elles sont indentiques d’un point de vue mathématique. On voit directement que les deux formes de la première égalité de (2.2) sont identiques si ϕ = π 2 − ψ. De même la partie réèlle de la troisième forme est directement égale à la première expression de x(t). La somme d’un cosinus et d’un sinus d’amplitude différentes mais de même")
11. Détail source à réviser : R(O, #»ux, #»uy) considéré comme galilléen. L’application du principe fondamental de la dynamique conduit à l’équation m #»a = #» P + 12 Chapitre 2. Oscillateurs mécaniques Mécanique du point Semetre 2, L1 MPCE2I Fig. 2. (Source: "R(O, #»ux, #»uy) considéré comme galilléen. L’application du principe fondamental de la dynamique conduit à l’équation m #»a = #» P + 12 Chapitre 2. Oscillateurs mécaniques Mécanique du point Semetre 2, L1 MPCE2I Fig. 2.2 – Pendule élastique horizontal. En haut, ressort en position d’équilibre. Bas, ressort étiré. 2.3. Exemple d’oscillateurs harmoniques 13")
12. Détail source à réviser : Fig. 2.3 – Schéma du système masse ressort vertical. A gauche ressort à vide, au milieu masse soutenue par le ressort à l’équilibre. Droite, système en mouvement. La position x(t) est définie par rapport au point O, la p (Source: "Fig. 2.3 – Schéma du système masse ressort vertical. A gauche ressort à vide, au milieu masse soutenue par le ressort à l’équilibre. Droite, système en mouvement. La position x(t) est définie par rapport au point O, la position du système à l’équilibre 2.3. Exemple d’oscillateurs harmoniques 15 Mécanique du point Semetre 2, L1 MPCE2I ș À faire Sur la")
13. Détail source à réviser : dans différentes situations physiques, prenons par exemple en electricité le cas d’un circuit constitué d’une inductance pure (bobine parfaite) L et d’un condensateur parfait de capacité C chargé . Au vu de l’intensité i (Source: "dans différentes situations physiques, prenons par exemple en electricité le cas d’un circuit constitué d’une inductance pure (bobine parfaite) L et d’un condensateur parfait de capacité C chargé . Au vu de l’intensité i(t) du courant, la charge de l’armature de gauche du condensateur présente un excès de charges par rapport à l’armature de droite.")
14. Détail source à réviser : du mouvement obtenu au bout d’un temps suffisament long. Cet effet est qualifié d’amortissement du système. L’amortissement est dû à l’action de forces extérieures à notre système, dans le cas d’oscillateurs mécaniques, (Source: "du mouvement obtenu au bout d’un temps suffisament long. Cet effet est qualifié d’amortissement du système. L’amortissement est dû à l’action de forces extérieures à notre système, dans le cas d’oscillateurs mécaniques, aux forces de frottement solides ou fluides s’exerçant sur notre système. Dans le cas des oscillateurs électriques, les forces freinant le")
15. Détail source à réviser : Gauche : ressort à vide, Centre : Position d’équilibre du système. Droite : Masse en mouvement, on considère que le mobile est dans sa phase de descente, le vecteur vitesse est suivant #»ux, la force de frottement opposé (Source: "Gauche : ressort à vide, Centre : Position d’équilibre du système. Droite : Masse en mouvement, on considère que le mobile est dans sa phase de descente, le vecteur vitesse est suivant #»ux, la force de frottement opposée à la vitesse est donc dans le sens opposé à #»ux 20 Chapitre 2. Oscillateurs mécaniques Mécanique du point Semetre 2, L1 MPCE2I La")
16. Détail source à réviser : (A+, A− ou A0, ϕ ou A, B) devant être déterminées par les conditions initiales de l’expérience. En prenant l’équation 3 de (2.9) on obtient une solution sinusoidale dont l’amplitude décroît de manière exponentielle avec (Source: "(A+, A− ou A0, ϕ ou A, B) devant être déterminées par les conditions initiales de l’expérience. En prenant l’équation 3 de (2.9) on obtient une solution sinusoidale dont l’amplitude décroît de manière exponentielle avec le temps et tend finalement vers limt→∞ x(t) = 0. Danger : Ce mouvement est appelé pseudo-périodique, puisque entre deux maximas")
17. Détail source à réviser : admettent donc deux racines réelles négatives    r+ = −λ + √ λ2 − ω2 0 r− = −λ − √ λ2 − ω2 0 En posant cette fois-ci la pulsation du système comme ω = √ λ2 − ω2 0 Important : La solution générale de l’équation diffé (Source: "admettent donc deux racines réelles négatives    r+ = −λ + √ λ2 − ω2 0 r− = −λ − √ λ2 − ω2 0 En posant cette fois-ci la pulsation du système comme ω = √ λ2 − ω2 0 Important : La solution générale de l’équation différentielle a donc la forme x(t) = exp (−λt) [A+ exp(ωt) + A− exp(−ωt)] Puisque λ > ω0, les deux racines sont bien négatives, les")
18. Détail source à réviser : à l’équilibre sans oscillations comme dans le cas apériodique. Cependant, ce retour à l’équilibre est plus rapide que si le régime était apériodique. Dans le cas apériodique, l’évolution des exponentielles et donc le tem (Source: "à l’équilibre sans oscillations comme dans le cas apériodique. Cependant, ce retour à l’équilibre est plus rapide que si le régime était apériodique. Dans le cas apériodique, l’évolution des exponentielles et donc le temps de retour à l’équilibre est proportionnel à l’inverse des racines est donnée par 1 |r+| et 1 |r−| . Le temps de relaxation total")
19. Détail source à réviser : une ellipse. Cette ellipse peut-être parcouru dans un sens ou dans l’autre (en fonction des conditions initiales). Pour un mouvement donné parcourant l’ellipse dans un sens, si l’on « renverse le temps », alors l’ellipse (Source: "une ellipse. Cette ellipse peut-être parcouru dans un sens ou dans l’autre (en fonction des conditions initiales). Pour un mouvement donné parcourant l’ellipse dans un sens, si l’on « renverse le temps », alors l’ellipse sera parcourue dans l’autre sens, montrant l’invariance du mouvement par renversement du temps. Dans le cas de l’oscillateur amorti,")
20. Détail source à réviser : est l’analogue du coefficient de frottement et l’inverse de la capacité est l’analogue de la constante de raideur du ressort. ș À faire Reprenez le pendule simple (Pendule simple) en présence de frottement fluide. Pour f (Source: "est l’analogue du coefficient de frottement et l’inverse de la capacité est l’analogue de la constante de raideur du ressort. ș À faire Reprenez le pendule simple (Pendule simple) en présence de frottement fluide. Pour faire apparaître les frottements fluides, il est nécésaire de déterminer la vitesse du pendule suivant #»uθ . Déterminez enfin une")
21. Détail source à réviser : un oscillateur par l’intermédiaire d’une force extérieure elle-même variable dans le temps, la variation de la force extérieure avec le temps étant périodique et de pulsation ω variable généralement différente de la puls (Source: "un oscillateur par l’intermédiaire d’une force extérieure elle-même variable dans le temps, la variation de la force extérieure avec le temps étant périodique et de pulsation ω variable généralement différente de la pulsation propre du système ω0. C’est le cas d’une membrane de haut-parleur soumis à une tension électrique périodique de fréquence")
22. Détail source à réviser : une fréquence d’excitation proche de la fréquence propre de l’oscillateur harmonique, l’amplitude de vibration de la masse m devient importante. On dit alors que l’oscillateur entre en résonance. Fig. 4.1 – Représentatio (Source: "une fréquence d’excitation proche de la fréquence propre de l’oscillateur harmonique, l’amplitude de vibration de la masse m devient importante. On dit alors que l’oscillateur entre en résonance. Fig. 4.1 – Représentation de l’allongement du ressort dans différents cas de déplacement de la masse m. De gauche à droite 1 : Ressort à vide 2 : Masse à")
23. Détail source à réviser : x(t) > 0 sur le schéma et X(t) < 0 sur le schéma. En appliquant le PFD, on obtient #» P + #» T + #» fα = m #»a mg − k [(ℓ0 + ∆ℓ + x(t) − X(t)) − ℓ0] − α ˙x = m¨x (mg − k (ℓ0 + ∆ℓ − ℓ0)) ︸ ︷︷ ︸ =0 −k (x(t) − X(t)) − α ˙x (Source: "x(t) > 0 sur le schéma et X(t) < 0 sur le schéma. En appliquant le PFD, on obtient #» P + #» T + #» fα = m #»a mg − k [(ℓ0 + ∆ℓ + x(t) − X(t)) − ℓ0] − α ˙x = m¨x (mg − k (ℓ0 + ∆ℓ − ℓ0)) ︸ ︷︷ ︸ =0 −k (x(t) − X(t)) − α ˙x = m¨x ¨x + α m ˙x + k mx = k mX(t) ¨x + α m ˙x + ω2 0 x = k mX(t) (4.3) En reprenant l’équation (4.3) et en subtituant X(t) par")
24. Détail source à réviser : implique que la contribution du régime transitoire devient très vite négligeable par rapport à la contribution du régime permanent. Pour cette raison, nous nous intéresserons à la contribution du régime forcé intervenant (Source: "implique que la contribution du régime transitoire devient très vite négligeable par rapport à la contribution du régime permanent. Pour cette raison, nous nous intéresserons à la contribution du régime forcé intervenant aux « temps longs » 4.2.2 Régime forcé Dans le régime forcé, le mouvement du système adopte un régime permanent dont la pulsation est")
25. Détail source à réviser : ω2 0 − ω2 + ıαω m ) ϕ(ω) = − arctan (Im (ω2 0 − ω2 + ıαω m ) Re (ω2 0 − ω2 + ıαω m ) ) ϕ(ω) = − arctan ( αω m ω2 0 − ω2 ) Important : Finalement, on obtient la relation tan(ϕ(ω)) = − ( ωα m (ω2 0 − ω2) ) = − ( 2λω ω2 0 − (Source: "ω2 0 − ω2 + ıαω m ) ϕ(ω) = − arctan (Im (ω2 0 − ω2 + ıαω m ) Re (ω2 0 − ω2 + ıαω m ) ) ϕ(ω) = − arctan ( αω m ω2 0 − ω2 ) Important : Finalement, on obtient la relation tan(ϕ(ω)) = − ( ωα m (ω2 0 − ω2) ) = − ( 2λω ω2 0 − ω2 ) 4.2. Solutions de l’équation différentielle 37 Mécanique du point Semetre 2, L1 MPCE2I Note : On obtient donc deux fonctions")
26. Détail source à réviser : importante par rapport aux déplacements initiés par le moteur. Lorsque les frottements deviennent plus importants, l’amplitude des oscillations diminue rapidement et la pulsation de résonance est décalée vers les basses (Source: "importante par rapport aux déplacements initiés par le moteur. Lorsque les frottements deviennent plus importants, l’amplitude des oscillations diminue rapidement et la pulsation de résonance est décalée vers les basses fréquences par rapport à la pulsa- tion propre du système. La courbe en pointillés noirs indique la pulsation de résonance et")
27. Détail source à réviser : de la basse-chaîne à Angers conduisant à sa rupture. De même, dans un circuit RLC (système résonnant) soumis à une modulation de tension par l’intermédiaire d’un GBF (excitateur), le déplacement des charges peut-être ext (Source: "de la basse-chaîne à Angers conduisant à sa rupture. De même, dans un circuit RLC (système résonnant) soumis à une modulation de tension par l’intermédiaire d’un GBF (excitateur), le déplacement des charges peut-être extrême- ment important à la résonance. Pour un circuit insufissament protégé (à résistance faible) les charges aux bornes du condensateur")
28. Détail source à réviser : point Semetre 2, L1 MPCE2I Fig. 4.3 – Phase dans le régime forcé pour un oscillateur harmonique de fréquence propre ν0 = 2Hz et pulsation ω0 = 2πν0. Ce système est soumis à une excitation de fréquence ω variable. Les pha (Source: "point Semetre 2, L1 MPCE2I Fig. 4.3 – Phase dans le régime forcé pour un oscillateur harmonique de fréquence propre ν0 = 2Hz et pulsation ω0 = 2πν0. Ce système est soumis à une excitation de fréquence ω variable. Les phases en bleu sont obtenues avec les coefficients d’amortis- sements les plus élevées, en rouge les amortissements les plus faibles")
29. Détail source à réviser : exp (ı (ωt + ϕ)) = ωX0 exp ( ı ( ωt + ϕ + π 2 )) = V0 exp (ı (ωt + ϕv)) (4.8) on obtient à partir de (4.8) l’amplitude de vitesse V0(ω) telle que V0(ω) = F0 m ω √ (ω2 0 − ω2)2 + 4ω2λ2 ϕv (ω) = π 2 + ϕ(ω) = π 2 − arctan ( (Source: "exp (ı (ωt + ϕ)) = ωX0 exp ( ı ( ωt + ϕ + π 2 )) = V0 exp (ı (ωt + ϕv)) (4.8) on obtient à partir de (4.8) l’amplitude de vitesse V0(ω) telle que V0(ω) = F0 m ω √ (ω2 0 − ω2)2 + 4ω2λ2 ϕv (ω) = π 2 + ϕ(ω) = π 2 − arctan ( 2λω ω2 0 − ω2 ) Important : Finalement on obtient les deux relations suivantes    V0(ω) = eω2 0 ω √ (ω2 0 − ω2)2 + 4ω2λ2 tan (ϕv")
30. Détail source à réviser : 1cm et de fréquence ω variable. Les vitesses en bleu sont obtenues avec les coefficients d’amortissements les plus élevés, en rouge les amortissements les plus faibles (respectivement λ = [5.0, 4.0, 3.0, 2.0, 1.5, 1.25, (Source: "1cm et de fréquence ω variable. Les vitesses en bleu sont obtenues avec les coefficients d’amortissements les plus élevés, en rouge les amortissements les plus faibles (respectivement λ = [5.0, 4.0, 3.0, 2.0, 1.5, 1.25, 1.0, 0.75, 0.5, 0.3]s−1). La courbe en vert indique l’amplitude pour la limite de résonnance (λ = ω0√2 ) La résonnance des vitesses")
31. Détail source à réviser : namique et permettent d’exclure l’étude de certains mouvements irréalisables puisque contradictoires avec le principe de conservation de l’énergie, comme les mouvements per- pétuels. Parmi les principes énergétiques nous (Source: "namique et permettent d’exclure l’étude de certains mouvements irréalisables puisque contradictoires avec le principe de conservation de l’énergie, comme les mouvements per- pétuels. Parmi les principes énergétiques nous nous focaliserons sur la restriction méca- nique de la loi de conservation qui s’apparente au premier principe Thermodynamique appliqué")
32. Détail source à réviser : déplaçant le long d’une trajectoire rectiligne, l’effet de la force est le produit de la force par le déplacement. Cette quantité est homogène à une énergie [M ][L]2[T ]−2 dont l’unité S.I. est le Joule (symbole J). 6.1. (Source: "déplaçant le long d’une trajectoire rectiligne, l’effet de la force est le produit de la force par le déplacement. Cette quantité est homogène à une énergie [M ][L]2[T ]−2 dont l’unité S.I. est le Joule (symbole J). 6.1.2 Force constante lors d’un déplacement rectiligne Dans le cas simple d’une force constante (comme le poids par exemple), appliquée sur un")
33. Détail source à réviser : . La force devenant variable, on peut cependant s’intéresser à la valeur de la force en un point précis M de la trajectoire et regarder comment la force en ce point influe sur un déplacement local infiniment petit #» dℓ (Source: ". La force devenant variable, on peut cependant s’intéresser à la valeur de la force en un point précis M de la trajectoire et regarder comment la force en ce point influe sur un déplacement local infiniment petit #» dℓ amenant le système en M ′ tel que # » M M ′ = #» dℓ. Si le déplacement est suffisament petit, on peut ainsi considérer la force")
34. Détail source à réviser : de forces couramment rencontrées L’expression infinitésimale du travail demeure assez simple et proche des expressions vues dans le cours de thermodynamique, nous allons aborder les implications physique du concept de tr (Source: "de forces couramment rencontrées L’expression infinitésimale du travail demeure assez simple et proche des expressions vues dans le cours de thermodynamique, nous allons aborder les implications physique du concept de travail appliqué à la mécanique au travers de l’exemeple de forces fréquemment rencontrées et de conditions particulières entre la")
35. Détail source à réviser : du déplacement de la masse. Il est donc nécésaire de calculer la variation infinitésimale de la force au cours du déplacement. Pour celà, prenons une position quelconque de la masse (Fig. 6.5 dessous). En utilisant l’ori (Source: "du déplacement de la masse. Il est donc nécésaire de calculer la variation infinitésimale de la force au cours du déplacement. Pour celà, prenons une position quelconque de la masse (Fig. 6.5 dessous). En utilisant l’orientation du repère, on peut écrire la tension dans le ressort en fonction de la position de la masse #» T = −k(ℓ − ℓ0) #»ux = −k(ℓ0 + x")
36. Détail source à réviser : à chaque instant lors du déplacement pour pouvoir déterminer Wt1→t2 ( #» ff ) = ∫ t2 t1 −αv(t)2dt Dans le cas du travail d’une force de frottement solide s’opposant au déplacement, la force solide peut s’écrire #» fs = − (Source: "à chaque instant lors du déplacement pour pouvoir déterminer Wt1→t2 ( #» ff ) = ∫ t2 t1 −αv(t)2dt Dans le cas du travail d’une force de frottement solide s’opposant au déplacement, la force solide peut s’écrire #» fs = −μ∥ # » RN ∥ #» dℓ ∥ #» dℓ∥ , on obtient δW ( #» fs ) = −μ∥ # » RN ∥ #» dℓ ∥ #» dℓ∥ #» dℓ = −μ∥ # » RN ∥dℓ En considérant la réaction")
37. Détail source à réviser : δW ( #» Fl ) = #» Fl · #» dℓ = ( q #»v ∧ #» B ) · #» dℓ = ( q #»v ∧ #» B ) · #»v dt δW ( #» Fl ) = 0 Le déplacement élémentaire de la particule étant toujours perpendiculaire à la force #» Fl, le travail de la force de L (Source: "δW ( #» Fl ) = #» Fl · #» dℓ = ( q #»v ∧ #» B ) · #» dℓ = ( q #»v ∧ #» B ) · #»v dt δW ( #» Fl ) = 0 Le déplacement élémentaire de la particule étant toujours perpendiculaire à la force #» Fl, le travail de la force de Lorentz est nul. La force de Lorentz ne travaille donc pas lors du déplacement de la particule dans le champ #» B. 6.2 Energie 6.2.1")
38. Détail source à réviser : est égale à la somme des travaux de ces forces entre les deux points 6.2.2 Energie potentielle Distinction entre Forces conservatives et non-conservatives Nous avons vu que le travail des forces peut toujours être déterm (Source: "est égale à la somme des travaux de ces forces entre les deux points 6.2.2 Energie potentielle Distinction entre Forces conservatives et non-conservatives Nous avons vu que le travail des forces peut toujours être déterminé quelque soit l’origine microscopique de ces forces. Cependant, dans les exemples vus précédemment, l’expres- sion du travail de")
39. Détail source à réviser : − Ep(B)] Le travail d’une force conservative entre deux points est donc égal à l’opposé de la variation d’énergie potentielle de ces deux points. Expression de l’Energie potentielle des forces conservatives Pour une forc (Source: "− Ep(B)] Le travail d’une force conservative entre deux points est donc égal à l’opposé de la variation d’énergie potentielle de ces deux points. Expression de l’Energie potentielle des forces conservatives Pour une force conservative, on obtient donc la relation [Ep(B) − Ep(A)] = −WA→B ( #» F ) = − ∫ B A #» F · #» dℓ (6.3) Important : En différentiant")
40. Détail source à réviser : de l’élastique, montrez que l’expression de la force de rappel est modifiée et devient ∥ #» T ∥ = −k(x − x0). Montrez que dans ce cas l’expression la plus simple de l’énergie potentielle élastique est Ep(x) = k 2 (x − x0 (Source: "de l’élastique, montrez que l’expression de la force de rappel est modifiée et devient ∥ #» T ∥ = −k(x − x0). Montrez que dans ce cas l’expression la plus simple de l’énergie potentielle élastique est Ep(x) = k 2 (x − x0)2 Energie potentielle gravitationnelle Fig. 6.7 – Force gravitationnelle exercée sur le point matériel MM par la masse MO dans un")
41. Détail source à réviser : 62 Chapitre 6. Travail et Energie Mécanique du point Semetre 2, L1 MPCE2I Pour les deux masses infiniment loin, l’interaction gravitationnelle est nulle, on pose dans ce cas une énergie potentielle gravitationnelle égale (Source: "62 Chapitre 6. Travail et Energie Mécanique du point Semetre 2, L1 MPCE2I Pour les deux masses infiniment loin, l’interaction gravitationnelle est nulle, on pose dans ce cas une énergie potentielle gravitationnelle égale à zéro, Ep(r → ∞) = 0 ce qui permet de fixer cte = 0. On obtient donc l’énergie potentielle gravitationnelle entre deux masses")
42. Détail source à réviser : F N.C ) Nous avons donc introduit deux expressions 6.2. Energie 63 Mécanique du point Semetre 2, L1 MPCE2I — L’énergie potentielle totale du système Ep, énergie potentielle provenant de toutes les forces conservatives — (Source: "F N.C ) Nous avons donc introduit deux expressions 6.2. Energie 63 Mécanique du point Semetre 2, L1 MPCE2I — L’énergie potentielle totale du système Ep, énergie potentielle provenant de toutes les forces conservatives — L’énergie mécanique du système Em, somme de l’énergie cinétique du système et de l’énergie potentielle totale. Ces deux fonctions sont des")
43. Détail source à réviser : elle est bien évidemment conservée au cours du temps, on peut donc traduire la conservation de l’énergie mécanique par dEm dt = 0 Le corollaire dEm dt̸ = 0 indiquant que le système n’est pas isolé d’un point de vue énerg (Source: "elle est bien évidemment conservée au cours du temps, on peut donc traduire la conservation de l’énergie mécanique par dEm dt = 0 Le corollaire dEm dt̸ = 0 indiquant que le système n’est pas isolé d’un point de vue énergé- tique, des forces externes non-conservatives s’appliquent donc au système. 64 Chapitre 6. Travail et Energie Mécanique du point")
44. Détail source à réviser : augmente, le terme dEp dx est donc positif. La force étant opposée à ce terme, l’augmentation du potentiel va créer une force négative sur le système, le système sera donc soumis à une force « de rappel » vers les x décr (Source: "augmente, le terme dEp dx est donc positif. La force étant opposée à ce terme, l’augmentation du potentiel va créer une force négative sur le système, le système sera donc soumis à une force « de rappel » vers les x décroissants. — Dans la position x1 et x3, si l’on déplace le système de dx < 0, alors l’énergie potentielle augmente, le terme dEp dx")
45. Détail source à réviser : au déplacement. La vitesse du système diminuera de même que l’énergie cinétique. Toutefois, si l’énergie maximale de la barrière de potentiel est inférieure à l’énergie mécanique du système, le système passera au dessus (Source: "au déplacement. La vitesse du système diminuera de même que l’énergie cinétique. Toutefois, si l’énergie maximale de la barrière de potentiel est inférieure à l’énergie mécanique du système, le système passera au dessus de cette barrière de potentiel tout en perdant de l’énergie cinétique, sa vitesse sera donc moins élevée. Si l’énergie du système est")
46. Détail source à réviser : maximal, où l’énergie cinétique sera nulle. Ar- rivée à ce point, sans énergie cinétique, mais avec une énergie potentielle supérieure au minima, le système rebrousse chemin vers le minima tout en augmentant sa vitesse d (Source: "maximal, où l’énergie cinétique sera nulle. Ar- rivée à ce point, sans énergie cinétique, mais avec une énergie potentielle supérieure au minima, le système rebrousse chemin vers le minima tout en augmentant sa vitesse donc son énergie cinétique. Finalement, le système oscillera autour de la position d’équilibre sans jamais s’arrêter. Le système agira")
47. Détail source à réviser : ⇔ Ec = Em − kx2 2 ⇔ − √2Em k ≤ x ≤ √2Em k Les valeurs hors de cet intervalle sont inaccessibles au système qui est dit en- fermé dans un puits de potentiel harmonique. Le système ne peut évoluer qu’entre les valeurs extr (Source: "⇔ Ec = Em − kx2 2 ⇔ − √2Em k ≤ x ≤ √2Em k Les valeurs hors de cet intervalle sont inaccessibles au système qui est dit en- fermé dans un puits de potentiel harmonique. Le système ne peut évoluer qu’entre les valeurs extrémales de position et entre les valeurs extrémales de vitesse. Les valeurs extrémales de vitesse étant déterminées lorsque le système est")
48. Détail source à réviser : trigonométrique. Le portrait de phase qui n’est plus une simple ellipse décrit cependant toujours une trajectoire fermée, indication que le système repasse indéfiniment par les mêmes coordonnées d’espaces et de vitesses. (Source: "trigonométrique. Le portrait de phase qui n’est plus une simple ellipse décrit cependant toujours une trajectoire fermée, indication que le système repasse indéfiniment par les mêmes coordonnées d’espaces et de vitesses. 6.2. Energie 71 Mécanique du point Semetre 2, L1 MPCE2I Puit de potentiel Anharmonique Evolution d’un système non-isolé Dans le cas d’un")
49. Détail source à réviser : 2023 Chapitres : 1 Dynamique Newtonienne 1 1 (Source: "2023 Chapitres : 1 Dynamique Newtonienne 1 1")
50. Détail source à réviser : 2. Cette problématique de l’isolement du système a longtemps perturbé les expérimentateurs qui ne pouvaient unifier la mécanique célestes (systèmes « isolés » du point de vue des forces de frottement) avec la mécanique t (Source: "2. Cette problématique de l’isolement du système a longtemps perturbé les expérimentateurs qui ne pouvaient unifier la mécanique célestes (systèmes « isolés » du point de vue des forces de frottement) avec la mécanique terrestre (chute des corps sur terre, systèmes non-isolés du point de vue des forces de frottement) 1")
51. Détail source à réviser : 1. Dynamique Newtonienne Mécanique du point Semetre 2, L1 MPCE2I Chacun des points peut être soumis à des forces extérieures # » f ext i et des forces internes (Source: "1. Dynamique Newtonienne Mécanique du point Semetre 2, L1 MPCE2I Chacun des points peut être soumis à des forces extérieures # » f ext i et des forces internes")
52. Détail source à réviser : 1. Elle permet à un solide de rester immobile lorsqu’on le place en déséquilibre ma- nifeste (cf Forces de contact à l’équilibre statique), la force de frottement solide « s’adapte » de manière à garder l’équilibre (Source: "1. Elle permet à un solide de rester immobile lorsqu’on le place en déséquilibre ma- nifeste (cf Forces de contact à l’équilibre statique), la force de frottement solide « s’adapte » de manière à garder l’équilibre")
53. Détail source à réviser : 2. Oscillateurs mécaniques Mécanique du point Semetre 2, L1 MPCE2I l’oscillateur comme étant la partie réelle du nombre complexe x(t) = Re(x(t)) x(t) = xmax exp (ı (ω0t + ϕ)) Cette écriture complexe permet de définir fac (Source: "2. Oscillateurs mécaniques Mécanique du point Semetre 2, L1 MPCE2I l’oscillateur comme étant la partie réelle du nombre complexe x(t) = Re(x(t)) x(t) = xmax exp (ı (ω0t + ϕ)) Cette écriture complexe permet de définir facilement la vitesse instantanée de l’oscillateur, on peut directement prendre la partie réèlle de la dérivée du complexe")
54. Détail source à réviser : 3) Lorsque le système est en mouvement, les deux forces ne se compensent plus, l’application du PFD dans le référentiel donne m #»a = #» P + #» T m¨x = mg − k ((ℓ0 + ∆ℓ + x) − ℓ0) m¨x = mg − k (∆ℓ + x) m¨x = mg − k∆ℓ ︸ ︷ (Source: "3) Lorsque le système est en mouvement, les deux forces ne se compensent plus, l’application du PFD dans le référentiel donne m #»a = #» P + #» T m¨x = mg − k ((ℓ0 + ∆ℓ + x) − ℓ0) m¨x = mg − k (∆ℓ + x) m¨x = mg − k∆ℓ ︸ ︷︷ ︸ =0 −kx m¨x + kx = 0 ¨x + k mx = 0 (2.4) Le mouvement vertical a donc exactement les même propriétés que le cas précédent. 14 Chapitre...")
55. Détail source à réviser : 2. Oscillateurs mécaniques Mécanique du point Semetre 2, L1 MPCE2I Fig (Source: "2. Oscillateurs mécaniques Mécanique du point Semetre 2, L1 MPCE2I Fig")
56. Détail source à réviser : 7 – Elongation de l’oscillateur amorti en régime pseudo-périodique en fonction du temps 22 Chapitre 2. Oscillateurs mécaniques Mécanique du point Semetre 2, L1 MPCE2I Les différentes constantes (A+, A− ou A0, ϕ ou A, B) (Source: "7 – Elongation de l’oscillateur amorti en régime pseudo-périodique en fonction du temps 22 Chapitre 2. Oscillateurs mécaniques Mécanique du point Semetre 2, L1 MPCE2I Les différentes constantes (A+, A− ou A0, ϕ ou A, B) devant être déterminées par les conditions initiales de l’expérience. En prenant l’équation 3 de (2.9) on obtient une solution sinusoidal...")
57. Détail source à réviser : 4. Vous pouvez simuler différentes conditions initiales (y compris position initiale nulle et vitesse initiale non-nulle) (Source: "4. Vous pouvez simuler différentes conditions initiales (y compris position initiale nulle et vitesse initiale non-nulle)")
58. Détail source à réviser : Rappels sur les complexes 29 Mécanique du point Semetre 2, L1 MPCE2I 30 Chapitre 2. Oscillateurs mécaniques CHAPITRE 3 Simulation Oscillateur mécanique libre Seulement pour la version HTML 31 Mécanique du point Semetre 2 (Source: "Rappels sur les complexes 29 Mécanique du point Semetre 2, L1 MPCE2I 30 Chapitre 2. Oscillateurs mécaniques CHAPITRE 3 Simulation Oscillateur mécanique libre Seulement pour la version HTML 31 Mécanique du point Semetre 2, L1 MPCE2I 32 Chapitre 3. Simulation Oscillateur mécanique libre CHAPITRE 4 Oscillateurs forcés - Résonances Lorsque le mouvement d’osci...")
59. Détail source à réviser : m. De gauche à droite 1 : Ressort à vide 2 : Masse à l’équilibre (pas de mouvement) 3 : Mouvement de la masse avec moteur bloqué en X(t) = cte 4 : Mouvement de la masse m et moteur tournant X(t) = e cos(ωt) 4 (Source: "m. De gauche à droite 1 : Ressort à vide 2 : Masse à l’équilibre (pas de mouvement) 3 : Mouvement de la masse avec moteur bloqué en X(t) = cte 4 : Mouvement de la masse m et moteur tournant X(t) = e cos(ωt) 4")
60. Détail source à réviser : 1. L’amplitude et la phase du mouvement de l’oscillateur étant fonction de l’excitation externe, ces deux paramètre dépendent de la pulsation de l’excitation externe ω, il serait donc plus juste de désigner l’amplitude e (Source: "1. L’amplitude et la phase du mouvement de l’oscillateur étant fonction de l’excitation externe, ces deux paramètre dépendent de la pulsation de l’excitation externe ω, il serait donc plus juste de désigner l’amplitude et la phase comme dépendantes de la pulsation, c’est à dire X0(ω) et ϕ(ω) par commodité d’écriture nous garderons X0 et ϕ 36 Chapitre 4")
61. Détail source à réviser : 4. Oscillateurs forcés - Résonances Mécanique du point Semetre 2, L1 MPCE2I Fig (Source: "4. Oscillateurs forcés - Résonances Mécanique du point Semetre 2, L1 MPCE2I Fig")
62. Détail source à réviser : — Pour ω = ω0, cos(ϕ) = 0, donc ϕ = −π 2 l’oscillateur est donc en retard d’une quadrature de phase l’excitateur (Source: "— Pour ω = ω0, cos(ϕ) = 0, donc ϕ = −π 2 l’oscillateur est donc en retard d’une quadrature de phase l’excitateur")
63. Détail source à réviser : 4. Oscillateurs forcés - Résonances CHAPITRE 5 Simulation Oscillateur mécanique forcé Seulement pour la version HTML 47 Mécanique du point Semetre 2, L1 MPCE2I 48 Chapitre 5 (Source: "4. Oscillateurs forcés - Résonances CHAPITRE 5 Simulation Oscillateur mécanique forcé Seulement pour la version HTML 47 Mécanique du point Semetre 2, L1 MPCE2I 48 Chapitre 5")
64. Détail source à réviser : n’est donc pas surprenant que cette loi de conservation ait été mise en évidence par son « versant thermodynamique » (Mayer et Joule) puis énoncée par Helmholtz de la manière suivante : L’univers possède une quantité d’é (Source: "n’est donc pas surprenant que cette loi de conservation ait été mise en évidence par son « versant thermodynamique » (Mayer et Joule) puis énoncée par Helmholtz de la manière suivante : L’univers possède une quantité d’énergie disponible constante, qui ne peut ni croître ni d")
65. Détail source à réviser : 6. Travail et Energie Mécanique du point Semetre 2, L1 MPCE2I Note : Le travail d’une force constante ne dépend pas du chemin suivi mais uniquement de la distance directe entre AB et de l’angle α entre la force et le seg (Source: "6. Travail et Energie Mécanique du point Semetre 2, L1 MPCE2I Note : Le travail d’une force constante ne dépend pas du chemin suivi mais uniquement de la distance directe entre AB et de l’angle α entre la force et le segment AB WA→B ( #» F ) = ∫ C A # » F (M ) · #» dℓ = #» F ∫ B A #» dℓ = #» F · # » AB = ∥ #» F ∥AB cos (α) Fig")
66. Détail source à réviser : B. Le travail élémentaire de cette force au cours du déplacement devient donc δW ( #» Fl ) = #» Fl · #» dℓ = ( q #»v ∧ #» B ) · #» dℓ = ( q #»v ∧ #» B ) · #»v dt δW ( #» Fl ) = 0 Le déplacement élémentaire de la particul (Source: "B. Le travail élémentaire de cette force au cours du déplacement devient donc δW ( #» Fl ) = #» Fl · #» dℓ = ( q #»v ∧ #» B ) · #» dℓ = ( q #»v ∧ #» B ) · #»v dt δW ( #» Fl ) = 0 Le déplacement élémentaire de la particule étant toujours perpendiculaire à la force #» Fl, le travail de la force de Lorentz est nul")
67. Détail source à réviser : fermée est donc nul, ce qui s’écrit ∮ #» F · #» dℓ = 0 Avec le symbole ∮ représentant une « intégrale de chemin », c’est à dire l’intégration sur un contour fermé. 6.2. Energie 59 Mécanique du point Semetre 2, L1 MPCE2I (Source: "fermée est donc nul, ce qui s’écrit ∮ #» F · #» dℓ = 0 Avec le symbole ∮ représentant une « intégrale de chemin », c’est à dire l’intégration sur un contour fermé. 6.2. Energie 59 Mécanique du point Semetre 2, L1 MPCE2I Avertissement : Dans ce cas, et uniquement dans ce ca")
68. Détail source à réviser : 6. Travail et Energie Mécanique du point Semetre 2, L1 MPCE2I Pour les deux masses infiniment loin, l’interaction gravitationnelle est nulle, on pose dans ce cas une énergie potentielle gravitationnelle égale à zéro, Ep( (Source: "6. Travail et Energie Mécanique du point Semetre 2, L1 MPCE2I Pour les deux masses infiniment loin, l’interaction gravitationnelle est nulle, on pose dans ce cas une énergie potentielle gravitationnelle égale à zéro, Ep(r → ∞) = 0 ce qui permet de fixer cte = 0")
69. Détail source à réviser : B. Conservation et Non conservation de l’énergie mécanique Les forces non-conservatives étant des forces résistantes, l’énergie mécanique d’un système ne peut que diminuer au cours du temps (Source: "B. Conservation et Non conservation de l’énergie mécanique Les forces non-conservatives étant des forces résistantes, l’énergie mécanique d’un système ne peut que diminuer au cours du temps")
70. Détail source à réviser : 6. Travail et Energie Mécanique du point Semetre 2, L1 MPCE2I 6 (Source: "6. Travail et Energie Mécanique du point Semetre 2, L1 MPCE2I 6")
71. Détail source à réviser : 6. Travail et Energie Mécanique du point Semetre 2, L1 MPCE2I Par définition, l’énergie cinétique est une quatité toujours positive ou nulle (Source: "6. Travail et Energie Mécanique du point Semetre 2, L1 MPCE2I Par définition, l’énergie cinétique est une quatité toujours positive ou nulle")
72. Détail source à réviser : 6. Travail et Energie Mécanique du point Semetre 2, L1 MPCE2I Puit de potentiel Dans un cas plus général d’un puits de potentiel non-harmonique, il existe toujours des états liés, donc des vitesses et des positions extré (Source: "6. Travail et Energie Mécanique du point Semetre 2, L1 MPCE2I Puit de potentiel Dans un cas plus général d’un puits de potentiel non-harmonique, il existe toujours des états liés, donc des vitesses et des positions extrémales, ces dernières sont toutefois plus compliquées à obtenir")
73. Détail source à réviser : 0. Danger : Ce mouvement est appelé pseudo-périodique, puisque entre deux maximas succes- sifs, l’oscillateur ne repasse pas par la même position, donc x(t)̸ = x(t + T ) (Source: "0. Danger : Ce mouvement est appelé pseudo-périodique, puisque entre deux maximas succes- sifs, l’oscillateur ne repasse pas par la même position, donc x(t)̸ = x(t + T )")
74. Détail source à réviser : 4. Oscillateurs forcés - Résonances Mécanique du point Semetre 2, L1 MPCE2I l’équilibre (2ème figure en partant de la gauche), le poids est intégralement compensé par la tension dans le ressort (Source: "4. Oscillateurs forcés - Résonances Mécanique du point Semetre 2, L1 MPCE2I l’équilibre (2ème figure en partant de la gauche), le poids est intégralement compensé par la tension dans le ressort")
75. Détail source à réviser : On choisit souvent l’origine des énergies par rapport à une référence Ep(z = 0) = 0. On obtient ainsi l’expression de l’énergie potentielle de pesanteur comme Ep(z) = mgz 60 Chapitre 6. Travail et Energie Mécanique du po (Source: "On choisit souvent l’origine des énergies par rapport à une référence Ep(z = 0) = 0. On obtient ainsi l’expression de l’énergie potentielle de pesanteur comme Ep(z) = mgz 60 Chapitre 6. Travail et Energie Mécanique du point Semetre 2, L1 MPCE2I Energie potentielle élastique Nous avons vu précédemment que le travail de la force de rappel d’un ressort ne dé...")
76. Détail source à réviser : 0. On obtient ainsi l’expression de l’énergie potentielle de pesanteur comme Ep(z) = mgz 60 Chapitre 6 (Source: "0. On obtient ainsi l’expression de l’énergie potentielle de pesanteur comme Ep(z) = mgz 60 Chapitre 6")
77. Détail source à réviser : En prenant l’état de repos x = 0 (force de rappel nulle en x = 0) comme origine du potentielle, on définit le potentiel comme dEp = − #» T #» dℓ dEp = − (−k ((ℓ0 + x) − ℓ0) #»ux) · (dx #»ux + dy #»uy + dz #»uz ) dEp = kx (Source: "En prenant l’état de repos x = 0 (force de rappel nulle en x = 0) comme origine du potentielle, on définit le potentiel comme dEp = − #» T #» dℓ dEp = − (−k ((ℓ0 + x) − ℓ0) #»ux) · (dx #»ux + dy #»uy + dz #»uz ) dEp = kxdx Ep(x) = k 2 x2 + cte En prenant Ep(x = 0) = 0 comme référence pour l’énergie potentielle élastique, on trouve une constante nulle, l’e...")
78. Détail source à réviser : x) − ℓ0) m¨x = mg − k (∆ℓ + x) m¨x = mg − k∆ℓ ︸ ︷︷ ︸ =0 −kx m¨x + kx = 0 ¨x + k mx = 0 (2 (Source: "x) − ℓ0) m¨x = mg − k (∆ℓ + x) m¨x = mg − k∆ℓ ︸ ︷︷ ︸ =0 −kx m¨x + kx = 0 ¨x + k mx = 0 (2")
79. Détail source à réviser : 2. Oscillateurs mécaniques Mécanique du point Semetre 2, L1 MPCE2I La solution de l’équation différentielle est à rechercher parmi la famille des exponen- tielles dépendant du temps (x(t) = A exp(rt)), mais peut aussi êt (Source: "2. Oscillateurs mécaniques Mécanique du point Semetre 2, L1 MPCE2I La solution de l’équation différentielle est à rechercher parmi la famille des exponen- tielles dépendant du temps (x(t) = A exp(rt)), mais peut aussi être une combinaison linéaire de membres de cette famille")
80. Détail source à réviser : 4. Oscillateurs forcés - Résonances Mécanique du point Semetre 2, L1 MPCE2I Note : Le relations d’amplitude des vitesses peuvent être reliées à celles trouvées sur la l’amplitude de déplacement, on voit clairement que V0 (Source: "4. Oscillateurs forcés - Résonances Mécanique du point Semetre 2, L1 MPCE2I Note : Le relations d’amplitude des vitesses peuvent être reliées à celles trouvées sur la l’amplitude de déplacement, on voit clairement que V0(ω) = ωX0(ω) ϕv(ω) = π 2 + ϕ(ω) Analyse de la vitesse On cherche ici aussi le maximum de vitesse obtenue pour le système masse-ressort en...")
81. Détail source à réviser : 0) comme origine du potentielle, on définit le potentiel comme dEp = − #» T #» dℓ dEp = − (−k ((ℓ0 + x) − ℓ0) #»ux) · (dx #»ux + dy #»uy + dz #»uz ) dEp = kxdx Ep(x) = k 2 x2 + cte En prenant Ep(x = 0) = 0 comme référenc (Source: "0) comme origine du potentielle, on définit le potentiel comme dEp = − #» T #» dℓ dEp = − (−k ((ℓ0 + x) − ℓ0) #»ux) · (dx #»ux + dy #»uy + dz #»uz ) dEp = kxdx Ep(x) = k 2 x2 + cte En prenant Ep(x = 0) = 0 comme référence pour l’énergie potentielle élastique, on trouve une constante nulle, l’expression de l’énergie potentielle élastique devient donc Ep(x)...")
82. Détail source à réviser : 1. On utilise normalement les coordonnées sphériques et non cartésiennes pour ce type de problème (Source: "1. On utilise normalement les coordonnées sphériques et non cartésiennes pour ce type de problème")
83. Détail source à réviser : 1. Dynamique Newtonienne Mécanique du point Semetre 2, L1 MPCE2I La définition introduit la notion de système isolé, c’est à dire que le système ne doit subir aucune action venant de l’extérieur (Source: "1. Dynamique Newtonienne Mécanique du point Semetre 2, L1 MPCE2I La définition introduit la notion de système isolé, c’est à dire que le système ne doit subir aucune action venant de l’extérieur")
84. Détail source à réviser : 1. Dynamique Newtonienne CHAPITRE 2 Oscillateurs mécaniques L’oscillateur mécanique est l’un des systèmes les plus simples et les plus rencontrés de la physique (Source: "1. Dynamique Newtonienne CHAPITRE 2 Oscillateurs mécaniques L’oscillateur mécanique est l’un des systèmes les plus simples et les plus rencontrés de la physique")
85. Détail source à réviser : 2. Oscillateurs mécaniques Mécanique du point Semetre 2, L1 MPCE2I Les différentes constantes (A+, A− ou A0, ϕ ou A, B) devant être déterminées par les conditions initiales de l’expérience (Source: "2. Oscillateurs mécaniques Mécanique du point Semetre 2, L1 MPCE2I Les différentes constantes (A+, A− ou A0, ϕ ou A, B) devant être déterminées par les conditions initiales de l’expérience")
86. Détail source à réviser : 6. Travail et Energie Mécanique du point Semetre 2, L1 MPCE2I Exemples de forces ne produisant pas de travail A partir de l’établissement de la variation infinitésimale de travail (6 (Source: "6. Travail et Energie Mécanique du point Semetre 2, L1 MPCE2I Exemples de forces ne produisant pas de travail A partir de l’établissement de la variation infinitésimale de travail (6")
87. Détail source à réviser : 6.8 d’énergie potentielle Ep(x), ce potentiel est relié à la force unidimensionnelle # » F (x) = − #» ∇Ep(x) conservative (Source: "6.8 d’énergie potentielle Ep(x), ce potentiel est relié à la force unidimensionnelle # » F (x) = − #» ∇Ep(x) conservative")
88. Détail source à réviser : ntiel va créer une force positive sur le système, le système sera donc soumis à une force « de rappel » vers les x croissants. Dans les positions d’équilibre x1 et x3 lorsque le système est faiblement déplacé, l’aug- men (Source: "ntiel va créer une force positive sur le système, le système sera donc soumis à une force « de rappel » vers les x croissants. Dans les positions d’équilibre x1 et x3 lorsque le système est faiblement déplacé, l’aug- mentation de potentiel crée une force tendant")
89. Détail source à réviser : 6. Travail et Energie Mécanique du point Semetre 2, L1 MPCE2I vitesses (Source: "6. Travail et Energie Mécanique du point Semetre 2, L1 MPCE2I vitesses")
90. Détail source à réviser : On peut donc établir la relation Ec ≥ 0 ⇔ Ec = Em − Ep ≥ 0 Pour un système isolé d’énergie mécanique constante dans une région autorisée, on peut donc avoir une indiquation de la vitesse du système (Source: "On peut donc établir la relation Ec ≥ 0 ⇔ Ec = Em − Ep ≥ 0 Pour un système isolé d’énergie mécanique constante dans une région autorisée, on peut donc avoir une indiquation de la vitesse du système")
91. Détail source à réviser : Mécanique du point Semetre 2 L1 MPCE2I Rémi Busselez, Nicolas Errien, Pascal Ruello 2023 Chapitres : 1 Dynamique Newtonienne 1 1.1 Prérequis à la compréhension des lois de Newton (Source: "Mécanique du point Semetre 2 L1 MPCE2I Rémi Busselez, Nicolas Errien, Pascal Ruello 2023 Chapitres : 1 Dynamique Newtonienne 1 1.1 Prérequis à la compréhension des lois de Newton")
92. Détail source à réviser : 2. Lorsque le solide se déplace, cette force est constante et opposée au mouvement (Source: "2. Lorsque le solide se déplace, cette force est constante et opposée au mouvement")
93. Détail source à réviser : B) exp(−ω0t) Avec A, B des coefficients à déterminer à partir des conditions initiales (Source: "B) exp(−ω0t) Avec A, B des coefficients à déterminer à partir des conditions initiales")
94. Détail source à réviser : 2. Oscillateurs mécaniques CHAPITRE 3 Simulation Oscillateur mécanique libre Seulement pour la version HTML 31 Mécanique du point Semetre 2, L1 MPCE2I 32 Chapitre 3 (Source: "2. Oscillateurs mécaniques CHAPITRE 3 Simulation Oscillateur mécanique libre Seulement pour la version HTML 31 Mécanique du point Semetre 2, L1 MPCE2I 32 Chapitre 3")
95. Détail source à réviser : 2. Oscillateurs mécaniques Mécanique du point Semetre 2, L1 MPCE2I plus équivalent de parcourir la spirale dans un sens ou dans l’autre, ce qui montre que le mouvement n’est plus invariant par renversement du temps, sign (Source: "2. Oscillateurs mécaniques Mécanique du point Semetre 2, L1 MPCE2I plus équivalent de parcourir la spirale dans un sens ou dans l’autre, ce qui montre que le mouvement n’est plus invariant par renversement du temps, signe de l’irréversibilité du mouvement engendré par les frottements fluides")
96. Détail source à réviser : Dans le cas des coordonnées sphériques #» dℓ = dr #»ur + rdθ #»uθ + r sin(θ)dϕ # »uϕ et l’intégrale ∫ − # » FO→M · #» dℓ =∫ −(− k r2 dr) = − k r + Cte (Source: "Dans le cas des coordonnées sphériques #» dℓ = dr #»ur + rdθ #»uθ + r sin(θ)dϕ # »uϕ et l’intégrale ∫ − # » FO→M · #» dℓ =∫ −(− k r2 dr) = − k r + Cte")

📊 Tableaux de Synthèse

Comparaison des oscillateurs

Type	Équation différentielle	Exemples
Libre	¨x + (k/m) x = 0	Pendule élastique horizontal, vertical
Amorti	¨x + 2λ ẋ + ω₀² x = 0	Oscillateur amorti par frottement fluide
Forcé	¨x + 2λ ẋ + ω₀² x = F₀ cos(ωt)	Oscillateurs forcés, résonance

⚠️ Pièges & Confusions Fréquentes

1. Confusion entre système isolé et pseudo-isolé, notamment à cause des forces extérieures compensées.
2. Erreur dans la formulation de l'équation différentielle de l’oscillateur harmonique, notamment en oubliant le terme de force extérieure dans le cas forcé.
3. Confusion entre énergie cinétique et énergie potentielle dans le portrait de phase.
4. Mauvaise interprétation des portraits de phase dans les puits de potentiel complexes.
5. Confusion entre principe de conservation de l’énergie et principes énergétiques en dynamique.
6. Erreur dans la compréhension du principe d’inertie dans les référentiels galiléens.
7. Mélanger analogie entre oscillateurs mécaniques et circuits électriques RLC sans distinction claire.

✅ Checklist Examen

1. Comprendre la notion de système isolé et pseudo-isolé.
2. Savoir écrire l’équation différentielle d’un oscillateur harmonique.
3. Savoir analyser un portrait de phase.
4. Maîtriser la notion de puits de potentiel.
5. Savoir calculer le travail d’une force constante.
6. Comprendre la conservation de l’énergie en mécanique.
7. Savoir distinguer énergie cinétique et énergie potentielle.
8. Maîtriser la simulation d’oscillateurs mécaniques.
9. Comprendre la résonance et la dépendance à la fréquence.
10. Savoir utiliser les coordonnées sphériques pour l’intégrale de travail.