Fonction exponentielle et propriétés fondamentales

📋 Plan du Cours

1. Définition et unicité de la fonction exponentielle
2. Propriétés algébriques fondamentales de la fonction exponentielle
3. Relations entre exponentielles de sommes, différences et puissances
4. Définition et propriétés du nombre e
5. Manipulations algébriques avec les puissances de e
6. Dérivation et non-annulation de la fonction exponentielle
7. Lien entre la fonction exponentielle et les fonctions constantes par dérivation

📖 1. Définition et unicité de la fonction exponentielle

🔑 Notions clés & Définitions

• Définition : Propriété mathématique indiquant que toute fonction définie et dérivable sur R, dont la dérivée est égale à elle-même et qui prend la valeur 1 en 0, ne s'annule jamais.
• Fonction exponentielle : Fonction unique définie et dérivable sur R, notée exp, qui satisfait exp(0) = 1 et dont la dérivée est égale à elle-même, c'est-à-dire exp'(x) = exp(x) pour tout réel x.
• Fonction f définie et dérivable : Fonction définie sur l'ensemble des nombres réels et possédant une dérivée en tout point de cet ensemble.

📝 Points essentiels

• Il existe une unique fonction définie et dérivable sur R, vérifiant que sa dérivée est égale à elle-même et que sa valeur en zéro est 1.
• Il existe une unique fonction f définie et dérivable sur R telle que f'(x) = f(x) et f(0) = 1.

💡 À retenir