Fonction exponentielle : propriétés et applications

📋 Plan du Cours

1. Existence et unicité de la fonction exponentielle
2. Exponentielle d’une somme et d’un quotient
3. Exponentielle d’une puissance et notation e
4. Propriétés algébriques de e^x
5. Équations et inéquations exponentielles
6. Signe et variations de la fonction exponentielle
7. Dérivation des fonctions exponentielles
8. Courbe représentative et exponentielle e^kx
9. Exponentielle et suite géométrique

📖 1. Existence et unicité de la fonction exponentielle

🔑 Notions clés & Définitions

• Fonction exponentielle : La fonction exponentielle est l’unique fonction dérivable sur R dont la dérivée est égale à elle-même et qui vaut 1 en 0.
• exp : exp désigne la fonction exponentielle, définie sur R et caractérisée par exp(0)=1 et exp’(x)=exp(x).
• Condition f’ = f : La condition f’(x)=f(x) caractérise la fonction exponentielle comme fonction égale à sa dérivée.
• Condition f(0)=1 : La condition exp(0)=1 fixe la valeur initiale qui permet d’obtenir l’unicité de la fonction exponentielle.

📝 Points essentiels

• Il existe une unique fonction dérivable sur R telle que f’(x)=f(x) pour tout x et f(0)=1.
• La fonction exponentielle est notée exp.
• On a exp(0)=1.
• Pour tout x réel, exp’(x)=exp(x).
• La propriété d’unicité signifie qu’il n’existe pas deux fonctions différentes vérifiant simultanément f’=f et f(0)=1.
• Le cours admet l’existence et l’unicité (preuve non demandée).

💡 Astuce mémo