Quiz: Fonctions du second degré et racines — 10 domande

1. Quelle expression définit une fonction du second degré sur ℝ ?

A. f(x)=ax^3+bx^2+c avec a≠0

B. f(x)=ax+b avec a≠0

C. f(x)=a/x^2+bx+c avec a≠0

D. f(x)=ax^2+bx+c avec a≠0

Answer: (D)

Spiegazione

Une fonction du second degré est un polynôme de degré 2, donc son expression générale est f(x)=ax^2+bx+c avec a≠0. Les autres propositions correspondent à des fonctions d’un autre degré ou à une autre forme.

2. Quel effet le signe du coefficient a a-t-il sur la parabole représentative d’une fonction du second degré ?

A. Si a>0, la parabole est tournée vers le haut ; si a<0, elle est tournée vers le bas

B. Si a>0, la parabole est tournée vers le bas ; si a<0, elle est tournée vers le haut

C. Le signe de a détermine le nombre de racines réelles

D. Le signe de a ne change que la position horizontale de la parabole

Answer: (A)

Spiegazione

Le coefficient a fixe le sens d’ouverture de la parabole : vers le haut si a est positif, vers le bas si a est négatif. Le nombre de racines dépend du discriminant, pas directement du signe de a.

3. Dans la forme canonique f(x)=a(x-α)^2+β, à quoi correspond le point A(α; f(α)) ?

A. Au point d’intersection avec l’axe des abscisses

B. À l’ordonnée à l’origine

C. Au sommet de la parabole

D. À une racine double de f

Answer: (C)

Spiegazione

Le point A(α; f(α)) est le sommet de la parabole. C’est autour de ce point que s’organisent les variations de la fonction.

4. Si a>0 dans la forme canonique f(x)=a(x-α)^2+β, comment évolue la fonction ?

A. Elle croît sur ]-∞;α] puis décroît sur [α;+∞[

B. Elle est constante sur tout ℝ

C. Elle décroît sur ]-∞;α] puis croît sur [α;+∞[

D. Elle croît partout sur ℝ

Answer: (C)

Spiegazione

Quand a>0, la parabole est ouverte vers le haut : la fonction décroît jusqu’à α puis croît après α. L’inverse se produit lorsque a<0.

5. Quelle formule donne le discriminant d’une équation ax^2+bx+c=0 ?

A. Δ=2a-b+c

B. Δ=b^2+4ac

C. Δ=b^2-4ac

D. Δ=ac-b^2

Answer: (C)

Spiegazione

Le discriminant est défini par Δ=b^2-4ac. C’est lui qui permet de savoir si l’équation admet zéro, une ou deux solutions réelles.

6. Que peut-on conclure si le discriminant d’une équation du second degré est strictement négatif ?

A. L’équation a exactement une solution dans ℝ

B. L’équation a deux solutions réelles distinctes

C. L’équation se factorise en deux facteurs du premier degré dans ℝ

D. L’équation n’a aucune solution dans ℝ

Answer: (D)

Spiegazione

Lorsque Δ<0, il n’existe pas de solution réelle. Dans ce cas, on ne peut pas factoriser le polynôme en produit de deux facteurs du premier degré dans ℝ.

7. Si un trinôme du second degré admet deux racines réelles distinctes x1 et x2, quelle factorisation est correcte dans ℝ ?

A. f(x)=a(x-x1)(x-x2)

B. f(x)=a(x1-x)(x2-x) avec a=0

C. f(x)=a(x-x1)^2(x-x2)^2

D. f(x)=a(x+x1)(x+x2)

Answer: (A)

Spiegazione

Quand Δ>0, le polynôme se factorise en f(x)=a(x-x1)(x-x2). Les facteurs doivent s’annuler précisément en x1 et x2.

8. Que vaut le signe de f(x)=a(x-x0)^2 lorsque Δ=0, en dehors de la racine x0 ?

A. Il dépend du signe de x0

B. Il change à chaque côté de x0

C. Il est toujours nul

D. Il est lié au signe de a

Answer: (D)

Spiegazione

Si Δ=0, on a f(x)=a(x-x0)^2 : comme le carré est toujours positif ou nul, le signe de f(x) est déterminé par celui de a. Le signe ne change pas de part et d’autre de x0.

9. Quelles relations de Viète vérifient les racines x1 et x2 d’un trinôme ax^2+bx+c quand Δ>0 ?

A. x1+x2=-b/a et x1x2=c/a

B. x1+x2=-2b/a et x1x2=2c/a

C. x1+x2=b/a et x1x2=-c/a

D. x1+x2=-c/a et x1x2=b/a

Answer: (A)

Spiegazione

Les relations de Viète donnent la somme des racines égale à -b/a et leur produit égal à c/a. Ces formules s’obtiennent par identification des coefficients.

10. Pour f(x)=2x^2+7x-3, quelle est la somme des racines ?

A. 7/2

B. 3/2

C. -3/2

D. -7/2

Answer: (D)

Spiegazione

Par les relations de Viète, la somme des racines vaut -b/a, donc -7/2 pour ce trinôme. Le produit serait c/a, soit -3/2.