Scheda di revisione: Fonctions quadratiques : étude et résolution

📋 Plan du Cours

1. Définition et exemples de fonctions polynômes du second degré
2. Forme canonique d'une fonction polynôme du second degré et méthode de transformation
3. Variations, extremum et sommet de la parabole associée à une fonction polynôme du second degré
4. Représentation graphique d'une fonction polynôme du second degré et axe de symétrie
5. Résolution d'équations du second degré selon le discriminant
6. Utilisation des formules de somme et produit des racines d'un polynôme du second degré
7. Factorisation d'un trinôme du second degré et détermination du signe d'un polynôme
8. Résolution d'inéquations du second degré et étude de la position relative de deux courbes polynomiales

📖 1. Définition et exemples de fonctions polynômes du second degré

🔑 Notions clés & Définitions

• Fonction polynôme du second degré : Caractère d'une fonction polynôme dont le terme de degré 2 est présent avec un coefficient non nul.

📝 Points essentiels

• Une fonction polynôme du second degré est définie sur ℝ par 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥² + 𝑏𝑥 + 𝑐 avec 𝑎 ≠ 0.
• Une fonction polynôme du second degré est aussi appelée trinôme.
• Exemples de fonctions polynômes du second degré incluent 𝑓(𝑥) = 3𝑥² − 7𝑥 + 3, 𝑔(𝑥) = 1/2 𝑥² − 5𝑥 + 3/5, et ℎ(𝑥) = 4 − 2𝑥².

💡 À retenir

Une fonction polynôme du second degré, ou trinôme, est une fonction définie par 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥² + 𝑏𝑥 + 𝑐 avec 𝑎 ≠ 0, et peut être illustrée par des exemples variés.

📖 2. Forme canonique d'une fonction polynôme du second degré et méthode de transformation

🔑 Notions clés & Définitions

• 𝑎 (𝑥 + 𝑏 2𝑎) 2 − 𝑏2 − 4𝑎𝑐 4𝑎 : Expression obtenue en complétant le carré pour transformer ax² + bx + c en forme canonique, avec a non nul.
• Forme canonique d'une fonction polynôme du second degré : Fonction définie sur ℝ par une expression de la forme ax² + bx + c avec a non nul.

📝 Points essentiels

• Toute fonction polynôme du second degré f(x) = ax² + bx + c peut s'écrire sous la forme canonique f(x) = a(x − α)² + β avec α = −b/(2a) et β = f(α).
• La forme canonique met en évidence le sommet de la parabole et facilite l'étude des variations et extremums.
• Exemple : f(x) = 2x² − 20x + 10 s'écrit en forme canonique 2(x − 5)² − 40.
• Démonstration au programme : On a vu que la fonction 𝑓 définie sur ℝ par 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 peut s'écrire sous sa forme canonique : 𝑓(𝑥) = 𝑎(𝑥 − 𝛼)2 + 𝛽 avec 𝛼 = − 𝑏 2𝑎 et 𝛽 = − 𝑏2−4𝑎𝑐 4𝑎 .

💡 À retenir

Maîtriser la conversion d'une fonction polynôme du second degré en forme canonique facilite l'analyse de ses variations et extremums.

📖 3. Variations, extremum et sommet de la parabole associée à une fonction polynôme du second degré

🔑 Notions clés & Définitions

• Sommet de la parabole : Le point de coordonnées (α ; β) où α = −b/(2a) et β = f(α), représentant l'extrémum de la fonction polynôme du second degré.
• Correction : L'explication détaillée qui montre que si a > 0, la fonction est décroissante puis croissante avec un minimum au sommet, et si a < 0, elle est croissante puis décroissante avec un maximum au sommet.

📝 Points essentiels

• Le sommet correspond à l'extrémum (minimum ou maximum) de la fonction polynôme du second degré.
• Si 𝑎 > 0, la fonction polynôme du second degré est décroissante puis croissante, et admet un minimum au sommet.
• Le sommet de la parabole est le point de coordonnées (𝛼 ; 𝛽) avec 𝛼 = −𝑏/(2𝑎) et 𝛽 = 𝑓(𝛼).
• Remarque : Comme 𝑎 = 2 > 0, ce sommet correspond à un minimum.
• Il correspond à l’extremum de la fonction 𝑓.

💡 À retenir

Savoir déterminer et interpréter le sommet et l'extrémum d'une fonction polynôme du second degré selon le signe de a.

📖 4. Représentation graphique d'une fonction polynôme du second degré et axe de symétrie

🔑 Notions clés & Définitions

• La droite d’équation 𝑥 : La droite d’équation 𝑥 = 3 est donc axe de symétrie de la parabole.
• Propriété : La parabole représentant une fonction polynôme du second degré possède un axe de symétrie vertical d'équation x = α, ce qui permet de déterminer le sommet et facilite le tracé de la courbe par symétrie.

📝 Points essentiels

• Pour représenter graphiquement la fonction, on calcule des points et utilise la symétrie par rapport à l'axe x = α.
• Le sommet de la parabole est le point (𝛼 ; 𝛽) où 𝛼 = −𝑏/(2𝑎) et 𝛽 = 𝑓(𝛼).
• Remarque : On peut aussi appliquer les formules 𝛼 = − 𝑏 2𝑎 et 𝛽 = 𝑓 (− 𝑏 2𝑎) Les variations de 𝑓 sont donc données dans le tableau suivant : Pour représenter graphiquement la fonction 𝑓, on calcule les coordonnées de quelques points appartenant à la courbe : 𝑓(0) = −(0)2 + 4 × 0 = 0 𝑓(1) = −(1)2 + 4 × 1 = −1 + 4 = 3 On obtient d’autres points par symétrie par rapport à la droite d’équation 𝑥 = 2.
• La parabole possède un axe de symétrie d'équation 𝑥 = − 𝑏 2𝑎, soit 𝑥 = 3.

💡 À retenir

Comprendre la forme géométrique d'une fonction polynôme du second degré et l'importance de son axe de symétrie pour la représentation graphique.

📖 5. Résolution d'équations du second degré selon le discriminant

🔑 Notions clés & Définitions

• 𝑥 + 𝑏 2𝑎 : Si  = 0 : L'équation 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐
• 𝑏2 − 4𝑎𝑐 : Comme  = 0, l'équation possède une unique solution : 𝑥0 = − 𝑏 2𝑎 = − −3 2×2 = 3 4 c) Calculons le discriminant de l'équation 𝑥2 + 3𝑥 + 10 = 0 : 𝑎 = 1, 𝑏 = 3 et 𝑐 = 10 donc 

📝 Points essentiels

• Si Δ < 0, il n'existe pas de solution réelle.
• Si Δ = 0, il existe une solution unique x0 = −b/(2a).
• Si Δ > 0, il y a deux solutions distinctes x1 = (−b − √Δ)/(2a) et x2 = (−b + √Δ)/(2a).

💡 À retenir

Le discriminant Δ permet d'utiliser la valeur de Δ pour déterminer précisément le nombre et la nature des solutions d'une équation du second degré.

📖 6. Utilisation des formules de somme et produit des racines d'un polynôme du second degré

🔑 Notions clés & Définitions

• Polynôme du second degré : Expression algébrique de degré 2 de la forme ax² + bx + c, où a, b et c sont des réels avec a non nul, dont les racines sont les solutions de l'équation ax² + bx + c = 0.

📝 Points essentiels

• Les racines d'un polynôme du second degré sont les solutions de l'équation ax² + bx + c = 0.
• La somme des racines est donnée par S = -b/a.
• Le produit des racines est donné par P = c/a.
• Connaître une racine permet de déterminer l'autre en utilisant les formules de somme et produit.
• Définition : Pour une fonction polynôme 𝑓 du second degré de la forme 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐, les solutions de l’équation 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0 s’appelle les racines de 𝑓.

💡 À retenir

Exploiter les relations entre coefficients et racines permet de trouver rapidement les racines d'un polynôme du second degré.

📖 7. Factorisation d'un trinôme du second degré et détermination du signe d'un polynôme

🔑 Notions clés & Définitions

• 4𝑥2 + 19𝑥 − 5 : Factoriser un trinôme Factoriser les trinômes suivants : a) 4𝑥2 + 19𝑥 − 5 b) 9𝑥2 − 6𝑥 + 1 Correction a) On cherche les racines du trinôme 4𝑥2 + 19𝑥 − 5 : Calcul du discriminant :  = 192 − 4 × 4 × (−5) = 441 Les racines sont : 𝑥1 = −19−√441 2×4 = −5 et 𝑥2 = −19+√441 2×4 = 1 4 On a donc : 4𝑥2 + 19𝑥 − 5 = 4(𝑥 − (−5)) (𝑥 − 1 4) = 4(𝑥 + 5) (𝑥 − 1 4).
• Remarque : Dans la pratique, une racine 𝑥1 de 𝑓 vérifie 𝑓(𝑥1) = 0.
• Signe d'un trinôme : Caractère constant ou changeant du signe du polynôme selon le discriminant et la position par rapport à ses racines.

📝 Points essentiels

• Si Δ < 0, le trinôme n'a pas de factorisation en réels.
• Le signe du trinôme dépend du signe de a et des racines : il est constant si Δ < 0, change de signe aux racines sinon.

💡 À retenir

Si Δ < 0, le trinôme n'a pas de factorisation en réels.

📖 8. Résolution d'inéquations du second degré et étude de la position relative de deux courbes polynomiales

🔑 Notions clés & Définitions

• Inéquation du second degré : Inégalité impliquant un polynôme de degré deux dont la résolution consiste à étudier le signe du trinôme associé.
• Possède deux racines : Situation d'un polynôme du second degré lorsque son discriminant est strictement positif, ce qui implique l'existence de deux racines réelles distinctes.

📝 Points essentiels

• Résoudre une inéquation du second degré revient à étudier le signe du trinôme associé.
• Pour résoudre 𝑓(𝑥) < 0, on détermine les racines et le signe du polynôme entre et en dehors de ces racines.
• Étudier la position relative de deux courbes revient à étudier le signe de la différence de leurs fonctions.
• La résolution d'inéquations utilise les tableaux de signes basés sur les racines du polynôme.
• La courbe de 𝑓 est au-dessus de celle de 𝑔 lorsque 𝑓(𝑥) − 𝑔(𝑥) > 0.
• Correction On va étudier le signe de la différence 𝑓(𝑥) − 𝑔(𝑥) : 𝑓(𝑥) − 𝑔(𝑥) = −𝑥2 + 8𝑥 − 11 − 𝑥 + 1 = −𝑥2 + 7𝑥 − 10.
• Étudier la position relative des courbes représentatives 𝐶𝑓 et 𝐶𝑔.

💡 À retenir

Appliquer la résolution d'inéquations permet de comparer graphiquement deux fonctions polynomiales du second degré en étudiant le signe de leur différence.

📊 Tableaux de Synthèse

Comparaison des formes d'une fonction du second degré

Forme	Expression	Objectif
Standard	ax^2 + bx + c	Définir la fonction
Canonique	a(x - α)^2 + β	Étudier le sommet et les variations

Signe et racines d'un trinôme

Discriminant Δ	Signe du trinôme	Nombre de solutions
< 0	Pas de racines réelles	Aucune solution réelle
= 0	Une racine double	Une solution réelle
> 0	Deux racines distinctes	Deux solutions réelles

⚠️ Pièges & Confusions Fréquentes

1. Confondre la forme canonique et la forme standard du polynôme.
2. Oublier de vérifier le signe de a pour déterminer le minimum ou maximum.
3. Utiliser le discriminant pour des équations qui n'ont pas de solutions réelles.
4. Ne pas respecter la cohérence entre le nombre de racines et le signe du discriminant.
5. Confondre la somme et le produit des racines.
6. Factoriser un trinôme sans vérifier la valeur du discriminant.
7. Mauvaise utilisation des formules de somme et produit pour retrouver les racines.

✅ Checklist Examen

1. Savoir écrire une fonction du second degré en forme standard.
2. Convertir une fonction en forme canonique.
3. Déterminer le sommet de la parabole.
4. Tracer la parabole en utilisant l'axe de symétrie.
5. Calculer le discriminant d'une équation du second degré.
6. Trouver les racines à partir du discriminant.
7. Factoriser un trinôme du second degré.
8. Étudier le signe d'un trinôme selon ses racines.
9. Résoudre une inéquation du second degré.
10. Comparer deux courbes polynomiales en étudiant leur différence.