Quiz: Fondements de l’analyse réelle — 22 domande

1. Qu’est-ce qu’un développement décimal propre d’un réel ?

A. Une écriture avec une partie entière et un nombre fini de chiffres après la virgule

B. Une écriture décimale qui se termine toujours par une infinité de 9

C. Une écriture à l’aide d’un signe, d’une partie entière et d’une suite infinie de chiffres de 0 à 9, sans être définitivement égale à 9 à partir d’un rang

D. Une écriture décimale réservée aux nombres rationnels

Answer: (C)

Spiegazione

Un développement décimal propre est bien une écriture infinie en base 10 qui n’est pas à partir d’un certain rang égale à 9. Cela permet d’éviter l’ambiguïté du type 0,999… = 1.

2. Que garantit la propriété d’Archimède pour deux réels strictement positifs a et b ?

A. Il existe un entier n tel que n<a+b

B. Il existe un entier n tel que a+n>b

C. Il existe un entier n tel que na>b

D. Il existe un réel c tel que a/c>b pour tout c

Answer: (C)

Spiegazione

La propriété d’Archimède affirme qu’un multiple entier d’un réel strictement positif peut dépasser n’importe quel réel positif. Elle s’écrit donc : il existe n tel que na>b.

3. Que signifie l’inégalité triangulaire pour trois réels x, y et z ?

A. |x−z|≥|x−y|+|y−z|

B. ||x|−|y||≥|x−y|

C. |x+y|=|x|+|y|

D. |x−z|≤|x−y|+|y−z|

Answer: (D)

Spiegazione

L’inégalité triangulaire exprime que la distance directe est au plus la distance en passant par un intermédiaire. On a donc |x−z|≤|x−y|+|y−z|.

4. Quelle propriété est nécessaire pour qu’un corps ordonné soit compatible avec l’addition ?

A. Si x<y, alors x−a<y−a seulement pour a positif

B. Si x≤y, alors x+a≤y+a pour tout a

C. Si x≤y, alors ax≤ay pour tout a

D. Si x≥y, alors x+a≤y+a pour tout a

Answer: (B)

Spiegazione

La compatibilité avec l’addition impose que l’ordre soit conservé quand on ajoute le même réel aux deux membres. Ainsi, x≤y entraîne x+a≤y+a pour tout a.

5. Qu’est-ce qu’un plus grand élément d’une partie A de R ?

A. Un réel qui majore A sans appartenir à A

B. Un réel de A qui est strictement plus grand que tous les autres

C. Un réel appartenant à A et qui majore tous les éléments de A

D. Le plus petit réel qui majore A

Answer: (C)

Spiegazione

Un plus grand élément doit appartenir à l’ensemble et être un majorant de tous ses éléments. C’est différent d’une borne supérieure, qui n’a pas forcément à appartenir à A.

6. Quelle caractérisation équivaut à dire qu’une partie A de R est bornée ?

A. Il existe M>0 tel que pour tout x∈A, |x|≤M

B. Il existe m tel que pour tout x∈A, x≥m seulement

C. Il existe un élément de A qui est à la fois maximum et minimum

D. Il existe M tel que pour tout x∈A, x≤M seulement

Answer: (A)

Spiegazione

Une partie est bornée si elle est à la fois majorée et minorée, ce qui équivaut à l’existence d’un M>0 encadrant toutes ses valeurs en valeur absolue. La présence d’un maximum n’est pas nécessaire.

7. Que désigne la borne supérieure d’une partie A non vide et majorée ?

A. Le minorant maximal de A

B. Un majorant strict de A

C. Le plus petit majorant de A

D. Le plus grand élément de A

Answer: (C)

Spiegazione

La borne supérieure est définie comme le plus petit des majorants. Elle peut ne pas appartenir à A, contrairement à un maximum.

8. Que garantit le théorème d’existence de la borne supérieure pour R ?

A. Toute partie non vide et majorée de R admet une borne supérieure

B. Toute partie de R admet une borne supérieure

C. Toute partie bornée de R admet un maximum

D. Toute partie de R admet une borne inférieure

Answer: (A)

Spiegazione

Le théorème porte précisément sur les parties non vides et majorées de R. Il assure l’existence d’une borne supérieure, sans garantir l’existence d’un maximum.

9. Quelle affirmation caractérise un intervalle de R ?

A. Si x<y appartiennent à l’ensemble, tout z tel que x≤z≤y y appartient aussi

B. Il est forcément borné

C. Il est forcément ouvert ou fermé

D. Il contient tous les rationnels entre deux de ses éléments

Answer: (A)

Spiegazione

Un intervalle est une partie sans trou : dès que deux points y appartiennent, tous les réels compris entre eux y appartiennent aussi. C’est la propriété essentielle de définition.

10. Quelle est la liste correcte des formes possibles d’un intervalle ouvert ?

A. [a,b], ]a,b[, [a,+∞[, ]-∞,b]

B. [a,b], ]a,+∞[, [a,-∞[, et R

C. [a,b[, ]a,b], ]-∞,+∞[, et ∅

D. ]a,b[, ]-∞,b[, ]a,+∞[, ainsi que ∅ ou R

Answer: (D)

Spiegazione

Les intervalles ouverts prennent les formes ]a,b[, ]-∞,b[, ]a,+∞[, ainsi que les cas particuliers ∅ et R. Les crochets fermés ne conviennent pas à la notion d’ouvert.

11. Quelle est la caractérisation d’un intervalle de R ?

A. C’est une partie bornée de R qui contient ses bornes

B. C’est une partie de R qui admet un plus petit et un plus grand élément

C. C’est une partie telle que, si x et y y appartiennent avec x<y, alors tout réel compris entre x et y y appartient aussi

D. C’est une partie de R qui ne contient que des nombres rationnels

Answer: (C)

Spiegazione

Un intervalle est précisément une partie « sans trou » : dès que deux points y sont, tous les réels entre eux y sont aussi. Les autres propositions décrivent des cas particuliers ou des propriétés sans rapport avec la définition.

12. Lequel des ensembles suivants n’est pas un intervalle de R ?

A. ℤ

B. [0,2]

C. [1,+∞[

D. ]−∞,3[

Answer: (A)

Spiegazione

ℤ n’est pas un intervalle car il contient 0 et 1 mais pas 1/2, pourtant situé entre eux. Les trois autres ensembles sont des formes d’intervalles de R.

13. Quelle est la définition de la partie entière E(x) d’un réel x ?

A. Le plus grand entier strictement inférieur à x

B. Le plus petit entier strictement supérieur à x

C. L’unique entier n tel que n≤x<n+1

D. L’entier le plus proche de x

Answer: (C)

Spiegazione

La partie entière E(x) est l’unique entier vérifiant E(x)≤x<E(x)+1. Ce n’est pas forcément l’entier le plus proche, notamment pour les nombres négatifs.

14. Pourquoi l’ensemble ℤ+2πℤ est-il important dans le chapitre sur la densité ?

A. Parce qu’il est borné dans R

B. Parce qu’il est un intervalle de R

C. Parce qu’il est dense dans R

D. Parce qu’il contient tous les réels positifs

Answer: (C)

Spiegazione

Le texte indique que ℤ+2πℤ est dense dans R, donc tout intervalle ouvert contient au moins un de ses éléments. C’est cette propriété qui sert à obtenir des valeurs d’adhérence pour des suites trigonométriques.

15. Si u_n→ℓ et v_n→ℓ', que vaut la limite de u_n+v_n ?

A. Elle n’existe pas forcément

B. ℓ−ℓ'

C. ℓ·ℓ'

D. ℓ+ℓ'

Answer: (D)

Spiegazione

La règle d’opération sur les limites donne que la somme de deux suites convergentes converge vers la somme des limites. Le produit suit une autre règle, à savoir vers ℓ·ℓ'.

16. Dans quel cas peut-on conclure que 1/u_n converge vers 1/ℓ ?

A. Lorsque u_n est seulement bornée

B. Lorsque u_n est monotone

C. Lorsque u_n→ℓ avec ℓ≠0

D. Lorsque u_n→0

Answer: (C)

Spiegazione

L’inversion est permise si la suite converge vers une limite non nulle. Si la limite vaut 0, le passage à l’inverse n’est pas valable en général.

17. Quelle propriété relie limsup d’une somme aux limsup des deux suites ?

A. limsup(a_n+b_n)=liminf a_n+liminf b_n

B. limsup(a_n+b_n)=limsup a_n+limsup b_n

C. limsup(a_n+b_n)≥limsup a_n+limsup b_n

D. limsup(a_n+b_n)≤limsup a_n+limsup b_n

Answer: (D)

Spiegazione

Le chapitre précise une inégalité sous-additive : la limsup d’une somme est au plus la somme des limsup. L’égalité est fausse en général.

18. Que peut-on dire d’une partie non vide de R qui n’est pas majorée ?

A. Elle est nécessairement bornée

B. Elle contient un maximum

C. Il existe une suite de ses éléments qui tend vers +∞

D. Elle admet une borne supérieure

Answer: (C)

Spiegazione

Une partie non majorée est caractérisée par l’existence d’une suite d’éléments qui devient arbitrairement grande. Cela exclut justement l’existence d’une borne supérieure dans R.

19. Si f(u)→y0 et g(y)→ℓ lorsque y→y0, que vaut g(f(u)) ?

A. On ne peut rien conclure

B. g(f(u))→f(y0)

C. g(f(u))→y0

D. g(f(u))→ℓ

Answer: (D)

Spiegazione

La composition des limites permet de remplacer l’entrée de g par une quantité qui tend vers y0, donc la composée tend vers ℓ. C’est la règle centrale du chapitre sur la composition.

20. Quelle propriété est garantie pour une fonction continue et bijective entre deux intervalles ?

A. Elle est forcément constante

B. Sa réciproque n’est pas définie

C. Elle est strictement monotone

D. Elle n’est pas injective

Answer: (C)

Spiegazione

Le cours affirme qu’une fonction continue et bijective entre deux intervalles est strictement monotone. La strict monotonicité entraîne en particulier l’injectivité, contrairement à l’option proposée.

21. Si f(u) tend vers y0 quand u tend vers x0 et si g(y) tend vers ℓ quand y tend vers y0, quelle est la limite de g(f(u)) quand u tend vers x0 ?

A. ℓ

B. y0

C. f(x0)

D. g(x0)

Answer: (A)

Spiegazione

C’est la règle de composition des limites : si f(u) approche y0 et que g(y) a pour limite ℓ en y0, alors la composée g(f(u)) tend vers ℓ. Les autres choix confondent la valeur limite avec les points intermédiaires.

22. Quelle propriété est nécessairement vérifiée par une fonction strictement monotone ?

A. Elle est constante sur tout intervalle

B. Elle est périodique

C. Elle admet une image qui n’est pas un intervalle

D. Elle est injective

Answer: (D)

Spiegazione

Une fonction strictement monotone prend des valeurs qui varient toujours dans le même sens, ce qui empêche deux antécédents distincts d’avoir la même image : elle est donc injective. En revanche, son image d’un intervalle reste un intervalle.