Scheda di revisione: Géométrie et résolution de systèmes linéaires

📋 Plan du Cours

1. Méthodes de résolution des systèmes linéaires à deux inconnues
2. Histoire et fondements de la géométrie cartésienne
3. Détermination d’un vecteur directeur et du coefficient directeur d’une droite
4. Équations des droites parallèles aux axes et critère de parallélisme
5. Équation réduite d’une droite non parallèle à l’axe des ordonnées
6. Signification et lecture graphique du coefficient directeur et de l’ordonnée à l’origine

📖 1. Méthodes de résolution des systèmes linéaires à deux inconnues

🔑 Notions clés & Définitions

• Objectif : La résolution d'un système linéaire à deux inconnues vise à déterminer l'ensemble des couples (x, y) qui satisfont simultanément les deux équations.
• Par combinaisons linéaires : Une méthode qui consiste à multiplier les équations par des constantes pour obtenir des coefficients opposés pour une inconnue, permettant ainsi son élimination par addition des équations.
• Méthode de substitution : Une méthode qui consiste à isoler une inconnue dans une équation puis à remplacer cette expression dans l'autre équation pour résoudre le système.
• Deux méthodes : Les deux méthodes algébriques fondamentales pour résoudre un système linéaire à deux inconnues sont la substitution et l'addition (ou combinaisons linéaires).

📝 Points essentiels

• Un système linéaire de deux équations à deux inconnues peut avoir une solution unique, aucune solution (droites parallèles) ou une infinité de solutions (droites confondues).
• Résoudre un système revient à déterminer les coordonnées du ou des points d’intersection des droites correspondantes.
• La méthode d’addition vise à obtenir des coefficients opposés pour une inconnue dans les deux équations afin de l’éliminer par addition.
• Donc résoudre un système linéaire de 2 équations à 2 inconnues revient à déterminer les coordonnées du ou des points d’intersection entre (D) et (D’)
• Application : Deux méthodes pour construire une droite

💡 À retenir

Comprendre et appliquer rigoureusement deux méthodes algébriques fondamentales pour résoudre tout système linéaire à deux inconnues en garantissant l’unicité ou la nature des solutions.

📖 2. Histoire et fondements de la géométrie cartésienne

🔑 Notions clés & Définitions

• D’après Joseph Louis Lagrange : Une citation de Joseph Louis Lagrange en 1795 souligne que la réunion de l’algèbre et de la géométrie a permis un progrès rapide et mutuel de ces sciences.
• Un vecteur directeur de (D) est u : Un vecteur directeur d’une droite (D) est un vecteur u qui indique la direction de (D), par exemple u = (1, m) si (D) a pour équation réduite y = mx + p.

📝 Points essentiels

• La géométrie cartésienne consiste à étudier la géométrie plane à l’aide d’un repère, permettant une approche calculatoire.
• En mathématiques, une ligne droite est illimitée contrairement à l’usage courant qui désigne souvent une portion de route sans virage.
• La plus longue ligne droite ferroviaire connue mesure 479 km en Australie.

💡 À retenir

La géométrie cartésienne consiste à étudier la géométrie plane à l’aide d’un repère, permettant une approche calculatoire.

📖 3. Détermination d’un vecteur directeur et du coefficient directeur d’une droite

🔑 Notions clés & Définitions

📝 Points essentiels

• L’équation réduite d’une droite (D) non parallèle à l’axe des ordonnées est y = mx + p avec m le coefficient directeur.
• Pour une droite d’équation ax + by + c = 0 (avec b ≠ 0), un vecteur directeur est u(b/-a).
• Donc un vecteur directeur de (D) est u(b/-a)
• Déterminons un vecteur directeur de (D) à partir d’une équation cartésienne

💡 À retenir

Maîtriser la relation entre vecteur directeur et coefficient directeur permet de caractériser algébriquement et géométriquement toute droite dans le plan.

📖 4. Équations des droites parallèles aux axes et critère de parallélisme

🔑 Notions clés & Définitions

• Parallélisme de 2 droites : Le parallélisme de deux droites est une relation géométrique où ces droites ont des coefficients directeurs égaux, ce qui signifie qu'elles ne se coupent pas et ont la même pente.

📝 Points essentiels

• Toute droite parallèle à l’axe (Oy) a une équation de la forme x = k, où k est une constante réelle.
• Deux droites (D) : y = mx + p et (D’) : y = m’x + p’ sont parallèles si et seulement si leurs coefficients directeurs sont égaux, c’est-à-dire m = m’.
• Le parallélisme entre deux droites se caractérise par l’égalité de leurs coefficients directeurs.

💡 À retenir

Identifier et caractériser précisément les droites parallèles aux axes et entre elles grâce à leurs équations et coefficients directeurs.

📖 5. Équation réduite d’une droite non parallèle à l’axe des ordonnées

🔑 Notions clés & Définitions

• L’écriture y : Expression de la relation fonctionnelle entre l’abscisse et l’ordonnée d’un point d’une droite non parallèle à l’axe des ordonnées, sous la forme y = mx + p avec m et p réels.
• 0 alors y : 1ère méthode * Si x
• Lecture de m : Soit (D) : y
• Équation réduite d’une droite : Forme unique d’équation d’une droite non parallèle à l’axe des ordonnées, exprimée sous la forme y = mx + p où m est le coefficient directeur et p l’ordonnée à l’origine.

📝 Points essentiels

• Une droite non parallèle à l’axe des ordonnées admet une équation réduite unique de la forme y = mx + p avec m, p ∈ ℝ.
• Si p = 0, la droite passe par l’origine et l’équation devient y = mx, représentant une fonction linéaire.
• L’équation réduite exprime une relation fonctionnelle entre l’abscisse et l’ordonnée de tout point de la droite.
• C’est l’ordonnée du point d’abscisse 0
• Lecture de m : si l’accroissement (la différence) entre les abscisses de deux points de (D) est de 1, alors l’accroissement entre les ordonnées yB – yA est égal à m Lecture de m : si l’accroissement (la différence) entre les abscisses de deux points de (D) est de 1, alors l’accroissement entre les ordonnées est égal à m Application : Deux méthodes pour construire une droite Exemple : soit (D) : y = -2x + 3 1ère méthode * Si x = 0 alors y = 3 donc le point de coord.
• 2ème méthode

• Utilisant l’ordonnée à l’origine et le coefficient directeur
• p = 3 donc A(0 ; 3) ∈ (D)
• m = -2 l’accroissement (la différence) entre les abscisses de deux points de (D) est de 1, alors l’accroissement entre les ordonnées est égal à -2

💡 À retenir

Une droite non parallèle à l’axe des ordonnées admet une équation réduite unique de la forme y = mx + p avec m, p ∈ ℝ.

📖 6. Signification et lecture graphique du coefficient directeur et de l’ordonnée à l’origine

🔑 Notions clés & Définitions

• Lecture de m : Soit (D) : y
• Ordonnée à l’origine : Valeur de l’ordonnée du point d’intersection de la droite avec l’axe des ordonnées, correspondant à y lorsque x = 0.
• Coefficient directeur : Rapport entre l’accroissement des ordonnées et l’accroissement des abscisses entre deux points distincts de la droite, représentant la pente de celle-ci.
• Ordonnée du point d’abscisse : Soit (D) : y

📝 Points essentiels

• L’ordonnée à l’origine p est la valeur de y pour x = 0, c’est le point où la droite coupe l’axe des ordonnées.
• Graphiquement, p se lit comme l’ordonnée du point d’intersection de la droite avec l’axe vertical.
• Le coefficient directeur m peut être calculé à partir de deux points A(xA, yA) et B(xB, yB) de la droite par la formule m = (yB – yA) / (xB – xA).
• La lecture graphique de m et p permet de tracer une droite facilement à partir de son équation réduite.
• Soit (D) : y = mx + p
• Lecture de p : (D) passe par le point de coordonnées (0 ; p). C’est l’ordonnée du point d’abscisse 0 • Lecture de m : si l’accroissement (la différence) entre les abscisses de deux points de (D) est de 1, alors l’accroissement entre les ordonnées yB – yA est égal à m

💡 À retenir

L’ordonnée à l’origine p est la valeur de y pour x = 0, c’est le point où la droite coupe l’axe des ordonnées.

🧩 Compléments de couverture

1. Détail source à réviser : Page 1 --- 2/ Méthodes de résolution a) La méthode de substitution { 2x + y - 5 = 0 3x - 2y + 3 = 0 ⇔ { y = -2x + 5 3x - 2y + 3 = 0 ⇔ { y = -2x + 5 3x - 2(-2x + 5) + 3 = 0 ⇔ { y = -2x + 5 3x + 4x - 10 + 3 = 0 ⇔ { y = -2x (Source: "Page 1 --- 2/ Méthodes de résolution a) La méthode de substitution { 2x + y - 5 = 0 3x - 2y + 3 = 0 ⇔ { y = -2x + 5 3x - 2y + 3 = 0 ⇔ { y = -2x + 5 3x - 2(-2x + 5) + 3 = 0 ⇔ { y = -2x + 5 3x + 4x - 10 + 3 = 0 ⇔ { y = -2x + 5 7x = 7 ⇔ { y = -2x + 5 x = 1 ⇔ { y = -2 × 1 + 5 x = 1 ⇔ { y = 3 x = 1 S = {(1; 3)} L’unique solution est le couple (1; 3) b) La")
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4. Détail source à réviser : opposés en x (ou en y) dans les deux équations puis ajouter les deux équations. { 6x - 4y - 2 = 0 -6x + 15y - 9 = 0 L1 ← 2×L1 L2 ← -3×L2 La flèche signifie « provient de » (ex : la nouvelle ligne 1 est 2 fois la précéden (Source: "opposés en x (ou en y) dans les deux équations puis ajouter les deux équations. { 6x - 4y - 2 = 0 -6x + 15y - 9 = 0 L1 ← 2×L1 L2 ← -3×L2 La flèche signifie « provient de » (ex : la nouvelle ligne 1 est 2 fois la précédente) ⇔ { 6x - 4y - 2 = 0 6x - 6x - 4y + 15y - 2 - 9 = 0 L1 ← L1 L2 ← L1 + L2 Ainsi la deuxième équation est uniquement en y ⇔ { 6x - 4y -")
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7. Détail source à réviser : deux équations. Je vous invite à aller regarder ces vidéos pour bien comprendre les deux méthodes : Par substitution : https://www.youtube.com/watch?v=24VsDZK6bN0 https://www.youtube.com/watch?v=tzOCBkFZgUI Par combinais (Source: "deux équations. Je vous invite à aller regarder ces vidéos pour bien comprendre les deux méthodes : Par substitution : https://www.youtube.com/watch?v=24VsDZK6bN0 https://www.youtube.com/watch?v=tzOCBkFZgUI Par combinaisons linéaires : Lui fait apparaître les mêmes coefficients et soustrait les deux lignes, c’est la même chose que de faire apparaître des")
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9. Détail source à réviser : car l’objectif est bien de supprimer soit les termes en x soit en y https://www.youtube.com/watch?v=UPIz65G4f48 --- Page 2 --- Chapitre 9 : Équation de droite et systèmes Histoire des maths • Ce chapitre traite de la géo (Source: "car l’objectif est bien de supprimer soit les termes en x soit en y https://www.youtube.com/watch?v=UPIz65G4f48 --- Page 2 --- Chapitre 9 : Équation de droite et systèmes Histoire des maths • Ce chapitre traite de la géométrie plane repérée, c’est-à-dire pour laquelle on choisit un repère. Cette approche de la géométrie est aussi appelée cartésienne,")
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11. Détail source à réviser : les bases en 1637 dans la partie « Géométrie » de son célèbre Discours de la méthode. Grâce aux méthodes cartésiennes, on peut résoudre des problèmes de géométrie avec une approche calculatoire. D’après Joseph Louis Lagr (Source: "les bases en 1637 dans la partie « Géométrie » de son célèbre Discours de la méthode. Grâce aux méthodes cartésiennes, on peut résoudre des problèmes de géométrie avec une approche calculatoire. D’après Joseph Louis Lagrange : « Tant que l’algèbre et la géométrie ont été séparées, leurs progrès furent lents et leurs usages bornés ; mais lorsque ces deux")
12. Détail source à réviser : Joseph Louis Lagrange : « Tant que l’algèbre et la géométrie ont été séparées, leurs progrès furent lents et leurs usages bornés ; mais lorsque ces deux sciences furent réunies, elles se sont prêtées des forces mutuelles (Source: "Joseph Louis Lagrange : « Tant que l’algèbre et la géométrie ont été séparées, leurs progrès furent lents et leurs usages bornés ; mais lorsque ces deux sciences furent réunies, elles se sont prêtées des forces mutuelles et ont marché ensemble d’un pas rapide vers la perfection » (1795) • En mathématiques, une ligne droite est illimitée. Dans le")
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18. Détail source à réviser : de (D) est 7u(3/1) = u(21/7) Cas général : si u(a/b) est un vecteur directeur d’une droite (D) alors un autre vecteur directeur de (D) est u(ka/kb) = u(a/b) et donc le coeff directeur de (D) est m = a/b Si u(a/b) est un (Source: "de (D) est 7u(3/1) = u(21/7) Cas général : si u(a/b) est un vecteur directeur d’une droite (D) alors un autre vecteur directeur de (D) est u(ka/kb) = u(a/b) et donc le coeff directeur de (D) est m = a/b Si u(a/b) est un vecteur directeur de (D) alors le coeff directeur de (D) est m = β/α A retenir : m = β/α est l’équation réduite d’une droite (D) une")
19. Détail source à réviser : m = a/b Si u(a/b) est un vecteur directeur de (D) alors le coeff directeur de (D) est m = β/α A retenir : m = β/α est l’équation réduite d’une droite (D) une droite admet une seule équation réduite un vecteur directeur d (Source: "m = a/b Si u(a/b) est un vecteur directeur de (D) alors le coeff directeur de (D) est m = β/α A retenir : m = β/α est l’équation réduite d’une droite (D) une droite admet une seule équation réduite un vecteur directeur de (D) : u(α/β) m : le coefficient directeur de (D) • Si u(α/β) est un vecteur directeur de (D) --- Page 4 --- III/ Systèmes linéaires de")
20. Détail source à réviser : un vecteur directeur de (D) : u(α/β) m : le coefficient directeur de (D) • Si u(α/β) est un vecteur directeur de (D) --- Page 4 --- III/ Systèmes linéaires de deux équations à 2 inconnues 1/ Qu’est-ce que résoudre par le (Source: "un vecteur directeur de (D) : u(α/β) m : le coefficient directeur de (D) • Si u(α/β) est un vecteur directeur de (D) --- Page 4 --- III/ Systèmes linéaires de deux équations à 2 inconnues 1/ Qu’est-ce que résoudre par le calcul un système dans R² ? Un système linéaire de 2 équations à 2 inconnues est de la forme : { ax + by + c = 0 a’x + b’y + c’ = 0 où a,")
21. Détail source à réviser : que résoudre par le calcul un système dans R² ? Un système linéaire de 2 équations à 2 inconnues est de la forme : { ax + by + c = 0 a’x + b’y + c’ = 0 où a, b, c, a’, b’, c’ sont des coefficients donnés et x et y sont l (Source: "que résoudre par le calcul un système dans R² ? Un système linéaire de 2 équations à 2 inconnues est de la forme : { ax + by + c = 0 a’x + b’y + c’ = 0 où a, b, c, a’, b’, c’ sont des coefficients donnés et x et y sont les inconnues. Cela signifie les couples de réels (x, y) qui sont les solutions. Exemple : { 2x + y - 5 = 0 { 3x - 2y + 3 = 0 Résoudre un")
22. Détail source à réviser : donnés et x et y sont les inconnues. Cela signifie les couples de réels (x, y) qui sont les solutions. Exemple : { 2x + y - 5 = 0 { 3x - 2y + 3 = 0 Résoudre un tel système c’est déterminer l’ensemble des couples (x, y) E (Source: "donnés et x et y sont les inconnues. Cela signifie les couples de réels (x, y) qui sont les solutions. Exemple : { 2x + y - 5 = 0 { 3x - 2y + 3 = 0 Résoudre un tel système c’est déterminer l’ensemble des couples (x, y) Exemple : { 2x + y - 5 = 0 { 3x - 2y + 3 = 0 Résoudre un tel système c’est déterminer l’ensemble des couples (x, y) Interprétation graphique")
23. Détail source à réviser : des couples (x, y) Exemple : { 2x + y - 5 = 0 { 3x - 2y + 3 = 0 Résoudre un tel système c’est déterminer l’ensemble des couples (x, y) Interprétation graphique : Soit (D) : y = -2x + 5 et 3x - 2y + 3 = 0 s’écrit aussi y (Source: "des couples (x, y) Exemple : { 2x + y - 5 = 0 { 3x - 2y + 3 = 0 Résoudre un tel système c’est déterminer l’ensemble des couples (x, y) Interprétation graphique : Soit (D) : y = -2x + 5 et 3x - 2y + 3 = 0 s’écrit aussi y = 3/2 x + 3/2 Alors (D) et (D’) sont deux droites distinctes. Donc résoudre un système linéaire de 2 équations à 2 inconnues revient à")
24. Détail source à réviser : 3 = 0 s’écrit aussi y = 3/2 x + 3/2 Alors (D) et (D’) sont deux droites distinctes. Donc résoudre un système linéaire de 2 équations à 2 inconnues revient à déterminer les coordonnées du ou des points d’intersection entr (Source: "3 = 0 s’écrit aussi y = 3/2 x + 3/2 Alors (D) et (D’) sont deux droites distinctes. Donc résoudre un système linéaire de 2 équations à 2 inconnues revient à déterminer les coordonnées du ou des points d’intersection entre (D) et (D’) (D) et (D’) sont sécantes en un point M(xM, yM) donc le système admet une solution unique : le couple (xM, yM) (D) et (D’)")
25. Détail source à réviser : d’intersection entre (D) et (D’) (D) et (D’) sont sécantes en un point M(xM, yM) donc le système admet une solution unique : le couple (xM, yM) (D) et (D’) sont parallèles donc le système n’admet pas de solution (D) et ( (Source: "d’intersection entre (D) et (D’) (D) et (D’) sont sécantes en un point M(xM, yM) donc le système admet une solution unique : le couple (xM, yM) (D) et (D’) sont parallèles donc le système n’admet pas de solution (D) et (D’) sont confondues donc le système admet une infinité de solutions : ce sont les coordonnées de tous les points de (D) --- Page 5 --- A")
26. Détail source à réviser : de solution (D) et (D’) sont confondues donc le système admet une infinité de solutions : ce sont les coordonnées de tous les points de (D) --- Page 5 --- A retenir Toute droite parallèle à l’axe (Oy) a une équation de l (Source: "de solution (D) et (D’) sont confondues donc le système admet une infinité de solutions : ce sont les coordonnées de tous les points de (D) --- Page 5 --- A retenir Toute droite parallèle à l’axe (Oy) a une équation de la forme : x = k, k est une constante Toute droite parallèle à l’axe (Ox) a une équation de la forme : y = k, k est une constante 4/")
27. Détail source à réviser : (Oy) a une équation de la forme : x = k, k est une constante Toute droite parallèle à l’axe (Ox) a une équation de la forme : y = k, k est une constante 4/ Parallélisme de 2 droites (D) et (D’) A retenir : Soit (D) : y = (Source: "(Oy) a une équation de la forme : x = k, k est une constante Toute droite parallèle à l’axe (Ox) a une équation de la forme : y = k, k est une constante 4/ Parallélisme de 2 droites (D) et (D’) A retenir : Soit (D) : y = mx + p et (D’) : y = m’x + p’ Dire que (D) et (D’) sont parallèles signifie que : (D)//(D’) ⇔ m = m’ (D) et (D’) ont le même coefficient")
28. Détail source à réviser : : Soit (D) : y = mx + p et (D’) : y = m’x + p’ Dire que (D) et (D’) sont parallèles signifie que : (D)//(D’) ⇔ m = m’ (D) et (D’) ont le même coefficient directeur, ainsi : --- Page 6 --- 1- Équation réduite de droite 1° (Source: ": Soit (D) : y = mx + p et (D’) : y = m’x + p’ Dire que (D) et (D’) sont parallèles signifie que : (D)//(D’) ⇔ m = m’ (D) et (D’) ont le même coefficient directeur, ainsi : --- Page 6 --- 1- Équation réduite de droite 1°) Généralités A retenir • Toute droite (D) non parallèle à l’axe (Oy) (axe des ordonnées), a une équation réduite de la forme y = ax +")
29. Détail source à réviser : réduite de droite 1°) Généralités A retenir • Toute droite (D) non parallèle à l’axe (Oy) (axe des ordonnées), a une équation réduite de la forme y = ax + b avec a et b constantes de ℝ. On note aussi l’équation réduite d (Source: "réduite de droite 1°) Généralités A retenir • Toute droite (D) non parallèle à l’axe (Oy) (axe des ordonnées), a une équation réduite de la forme y = ax + b avec a et b constantes de ℝ. On note aussi l’équation réduite de la forme y = mx + p avec m et p constantes de ℝ. • Elle représente la fonction f : x ↦ f(x) = mx + p • On note (D) : y = mx + p et")
30. Détail source à réviser : aussi l’équation réduite de la forme y = mx + p avec m et p constantes de ℝ. • Elle représente la fonction f : x ↦ f(x) = mx + p • On note (D) : y = mx + p et on lit (D) "a pour équation" y = mx + p • L’équation de (D) e (Source: "aussi l’équation réduite de la forme y = mx + p avec m et p constantes de ℝ. • Elle représente la fonction f : x ↦ f(x) = mx + p • On note (D) : y = mx + p et on lit (D) "a pour équation" y = mx + p • L’équation de (D) est : -- Une relation entre l’abscisse et l’ordonnée de tout point de (D) -- Une égalité liant les coordonnées d’un point quelconque de (D)")
31. Détail source à réviser : • L’équation de (D) est : -- Une relation entre l’abscisse et l’ordonnée de tout point de (D) -- Une égalité liant les coordonnées d’un point quelconque de (D) • Cas particulier : Si p = 0 alors (D) : y = mx (D) passe pa (Source: "• L’équation de (D) est : -- Une relation entre l’abscisse et l’ordonnée de tout point de (D) -- Une égalité liant les coordonnées d’un point quelconque de (D) • Cas particulier : Si p = 0 alors (D) : y = mx (D) passe par l’origine du repère Elle représente une fonction f : x ↦ f(x) = mx f est une fonction linéaire (situation de proportionnalité) • Soit")
32. Détail source à réviser : : y = mx (D) passe par l’origine du repère Elle représente une fonction f : x ↦ f(x) = mx f est une fonction linéaire (situation de proportionnalité) • Soit (D) : y = mx + p alors : -- m est le coefficient directeur de ( (Source: ": y = mx (D) passe par l’origine du repère Elle représente une fonction f : x ↦ f(x) = mx f est une fonction linéaire (situation de proportionnalité) • Soit (D) : y = mx + p alors : -- m est le coefficient directeur de (D) (ou pente) -- p est l’ordonnée à l’origine (quand x = 0, y = p) -- x et y sont les coordonnées d’un point quelconque de (D) -- Un point")
33. Détail source à réviser : directeur de (D) (ou pente) -- p est l’ordonnée à l’origine (quand x = 0, y = p) -- x et y sont les coordonnées d’un point quelconque de (D) -- Un point M(x; y) ∈ (D) si et seulement si ses coordonnées satisfont (vérifie (Source: "directeur de (D) (ou pente) -- p est l’ordonnée à l’origine (quand x = 0, y = p) -- x et y sont les coordonnées d’un point quelconque de (D) -- Un point M(x; y) ∈ (D) si et seulement si ses coordonnées satisfont (vérifient) l’équation de (D) Remarque : Une droite a une infinité d’équations équivalentes. En effet, soit (D) : y = 3x + 1 On peut écrire")
34. Détail source à réviser : satisfont (vérifient) l’équation de (D) Remarque : Une droite a une infinité d’équations équivalentes. En effet, soit (D) : y = 3x + 1 On peut écrire l’équation de (D) sous la forme : 3x - y + 1 = 0 ou -3x + y - 1 = 0 ou (Source: "satisfont (vérifient) l’équation de (D) Remarque : Une droite a une infinité d’équations équivalentes. En effet, soit (D) : y = 3x + 1 On peut écrire l’équation de (D) sous la forme : 3x - y + 1 = 0 ou -3x + y - 1 = 0 ou 6x - 2y + 2 = 0 ou ... L’écriture y = 3x + 1 est appelée équation réduite de (D). Elle est unique. 29) Le coefficient directeur")
35. Détail source à réviser : y + 1 = 0 ou -3x + y - 1 = 0 ou 6x - 2y + 2 = 0 ou ... L’écriture y = 3x + 1 est appelée équation réduite de (D). Elle est unique. 29) Le coefficient directeur « m » et l’ordonnée à l’origine « p » a) Comment déterminer (Source: "y + 1 = 0 ou -3x + y - 1 = 0 ou 6x - 2y + 2 = 0 ou ... L’écriture y = 3x + 1 est appelée équation réduite de (D). Elle est unique. 29) Le coefficient directeur « m » et l’ordonnée à l’origine « p » a) Comment déterminer « m » et « p » par lecture graphique ? Exemple : soit (D) y = 2x - 2 - Graphiquement, (D) passe par le point de coordonnées (0 ; -2) donc")
36. Détail source à réviser : a) Comment déterminer « m » et « p » par lecture graphique ? Exemple : soit (D) y = 2x - 2 - Graphiquement, (D) passe par le point de coordonnées (0 ; -2) donc p = -2. C’est l’ordonnée du point d’abscisse 0. - Si l’accro (Source: "a) Comment déterminer « m » et « p » par lecture graphique ? Exemple : soit (D) y = 2x - 2 - Graphiquement, (D) passe par le point de coordonnées (0 ; -2) donc p = -2. C’est l’ordonnée du point d’abscisse 0. - Si l’accroissement (la différence) entre les abscisses de deux points de (D) est de 1, accroissement entre les ordonnées est de m = 2 Soit (D) : y =")
37. Détail source à réviser : 0. - Si l’accroissement (la différence) entre les abscisses de deux points de (D) est de 1, accroissement entre les ordonnées est de m = 2 Soit (D) : y = mx + p • Lecture de p : (D) passe par le point de coordonnées (0 ; (Source: "0. - Si l’accroissement (la différence) entre les abscisses de deux points de (D) est de 1, accroissement entre les ordonnées est de m = 2 Soit (D) : y = mx + p • Lecture de p : (D) passe par le point de coordonnées (0 ; p). C’est l’ordonnée du point d’abscisse 0 • Lecture de m : si l’accroissement (la différence) entre les abscisses de deux points de")
38. Détail source à réviser : point de coordonnées (0 ; p). C’est l’ordonnée du point d’abscisse 0 • Lecture de m : si l’accroissement (la différence) entre les abscisses de deux points de (D) est de 1, alors l’accroissement entre les ordonnées yB – (Source: "point de coordonnées (0 ; p). C’est l’ordonnée du point d’abscisse 0 • Lecture de m : si l’accroissement (la différence) entre les abscisses de deux points de (D) est de 1, alors l’accroissement entre les ordonnées yB – yA est égal à m Lecture de m : si l’accroissement (la différence) entre les abscisses de deux points de (D) est de 1, alors")
39. Détail source à réviser : les ordonnées yB – yA est égal à m Lecture de m : si l’accroissement (la différence) entre les abscisses de deux points de (D) est de 1, alors l’accroissement entre les ordonnées est égal à m Application : Deux méthodes (Source: "les ordonnées yB – yA est égal à m Lecture de m : si l’accroissement (la différence) entre les abscisses de deux points de (D) est de 1, alors l’accroissement entre les ordonnées est égal à m Application : Deux méthodes pour construire une droite Exemple : soit (D) : y = -2x + 3 1ère méthode * Si x = 0 alors y = 3 donc le point de coord. A(0 ; 3) ∈ (D)")
40. Détail source à réviser : : Deux méthodes pour construire une droite Exemple : soit (D) : y = -2x + 3 1ère méthode * Si x = 0 alors y = 3 donc le point de coord. A(0 ; 3) ∈ (D) * Si x = 1 alors y = 1 donc le point de coord. B(1 ; 1) ∈ (D) NB : c’ (Source: ": Deux méthodes pour construire une droite Exemple : soit (D) : y = -2x + 3 1ère méthode * Si x = 0 alors y = 3 donc le point de coord. A(0 ; 3) ∈ (D) * Si x = 1 alors y = 1 donc le point de coord. B(1 ; 1) ∈ (D) NB : c’est nous qui choisissons les valeurs de x un choix arbitraire 2ème méthode * Utilisant l’ordonnée à l’origine et le coefficient")
41. Détail source à réviser : coord. B(1 ; 1) ∈ (D) NB : c’est nous qui choisissons les valeurs de x un choix arbitraire 2ème méthode * Utilisant l’ordonnée à l’origine et le coefficient directeur * p = 3 donc A(0 ; 3) ∈ (D) * m = -2 l’accroissement (Source: "coord. B(1 ; 1) ∈ (D) NB : c’est nous qui choisissons les valeurs de x un choix arbitraire 2ème méthode * Utilisant l’ordonnée à l’origine et le coefficient directeur * p = 3 donc A(0 ; 3) ∈ (D) * m = -2 l’accroissement (la différence) entre les abscisses de deux points de (D) est de 1, alors l’accroissement entre les ordonnées est égal à -2 b)")
42. Détail source à réviser : = -2 l’accroissement (la différence) entre les abscisses de deux points de (D) est de 1, alors l’accroissement entre les ordonnées est égal à -2 b) Interprétation graphique du coefficient directeur « m » d’une droite (D) (Source: "= -2 l’accroissement (la différence) entre les abscisses de deux points de (D) est de 1, alors l’accroissement entre les ordonnées est égal à -2 b) Interprétation graphique du coefficient directeur « m » d’une droite (D) c) Comment calculer le coefficient directeur « m » d’une droite (D) connaissant deux points de (D) ? Soit A et B deux points de (D) donc")
43. Détail source à réviser : « m » d’une droite (D) c) Comment calculer le coefficient directeur « m » d’une droite (D) connaissant deux points de (D) ? Soit A et B deux points de (D) donc les coordonnées de A vérifient l’équation de (D) A(xA ; yA) (Source: "« m » d’une droite (D) c) Comment calculer le coefficient directeur « m » d’une droite (D) connaissant deux points de (D) ? Soit A et B deux points de (D) donc les coordonnées de A vérifient l’équation de (D) A(xA ; yA) ∈ (D) donc yA = mxA + p Soit B(xB ; yB) ∈ (D) donc yB = mxB + p • Donc yA = mxA + p • yB = mxB + p • De même, B(xB ; yB) ∈ (D) Donc yB – yA")
44. Détail source à réviser : de (D) A(xA ; yA) ∈ (D) donc yA = mxA + p Soit B(xB ; yB) ∈ (D) donc yB = mxB + p • Donc yA = mxA + p • yB = mxB + p • De même, B(xB ; yB) ∈ (D) Donc yB – yA = mxB + p – (mxA + p) • Calculons l’accroissement des ordonnée (Source: "de (D) A(xA ; yA) ∈ (D) donc yA = mxA + p Soit B(xB ; yB) ∈ (D) donc yB = mxB + p • Donc yA = mxA + p • yB = mxB + p • De même, B(xB ; yB) ∈ (D) Donc yB – yA = mxB + p – (mxA + p) • Calculons l’accroissement des ordonnées yB – yA : yB – yA = mxB + p – mxA – p yB – yA = mxB – mxA yB – yA = m(xB – xA) D’où m = (yB – yA) / (xB – xA) Formule à connaître")
45. Détail source à réviser : des ordonnées yB – yA : yB – yA = mxB + p – mxA – p yB – yA = mxB – mxA yB – yA = m(xB – xA) D’où m = (yB – yA) / (xB – xA) Formule à connaître Référir : A retenir : Si A(xA ; yA) et B(xB ; yB) sont deux points de (D) al (Source: "des ordonnées yB – yA : yB – yA = mxB + p – mxA – p yB – yA = mxB – mxA yB – yA = m(xB – xA) D’où m = (yB – yA) / (xB – xA) Formule à connaître Référir : A retenir : Si A(xA ; yA) et B(xB ; yB) sont deux points de (D) alors le coefficient directeur « m » de la droite (D) est : m = (yB – yA) / (xB – xA) Autrement dit : m = accroissement des")
46. Détail source à réviser : ; yB) sont deux points de (D) alors le coefficient directeur « m » de la droite (D) est : m = (yB – yA) / (xB – xA) Autrement dit : m = accroissement des ordonnées / accroissement des abscisses respectives Application : (Source: "; yB) sont deux points de (D) alors le coefficient directeur « m » de la droite (D) est : m = (yB – yA) / (xB – xA) Autrement dit : m = accroissement des ordonnées / accroissement des abscisses respectives Application : Déterminer l’équation de la droite (D) passant par A(-2 ; 3) et B(5 ; 1) 1- x ≠ xB donc (D) a une équation de la forme y = mx + p Calcul")
47. Détail source à réviser : Application : Déterminer l’équation de la droite (D) passant par A(-2 ; 3) et B(5 ; 1) 1- x ≠ xB donc (D) a une équation de la forme y = mx + p Calcul de m : m = (yB – yA) / (xB – xA) = (1 – 3) / (5 – (-2)) = -2 / 7 2- C (Source: "Application : Déterminer l’équation de la droite (D) passant par A(-2 ; 3) et B(5 ; 1) 1- x ≠ xB donc (D) a une équation de la forme y = mx + p Calcul de m : m = (yB – yA) / (xB – xA) = (1 – 3) / (5 – (-2)) = -2 / 7 2- Calcul de p : A(-2 ; 3) ∈ (D) donc y = -2/7 x + p Soit 3 = -2/7 × (-2) + p D’où 3 = 4/7 + p Donc p = 3 – 4/7 = 21/7 – 4/7 = 17/7")
48. Détail source à réviser : de la forme y = mx + p Calcul de m : m = (yB – yA) / (xB – xA) = (1 – 3) / (5 – (-2)) = -2 / 7 2- Calcul de p : A(-2 ; 3) ∈ (D) donc y = -2/7 x + p Soit 3 = -2/7 × (-2) + p D’où 3 = 4/7 + p Donc p = 3 – 4/7 = 21/7 – 4/7 (Source: "de la forme y = mx + p Calcul de m : m = (yB – yA) / (xB – xA) = (1 – 3) / (5 – (-2)) = -2 / 7 2- Calcul de p : A(-2 ; 3) ∈ (D) donc y = -2/7 x + p Soit 3 = -2/7 × (-2) + p D’où 3 = 4/7 + p Donc p = 3 – 4/7 = 21/7 – 4/7 = 17/7 Donc (D) : y = -2/7 x + 17/7 Méthode à connaître On peut aussi utiliser les coordonnées de B [Schémas et graphiques non")
49. Détail source à réviser : --- Page 1 --- 2/ Méthodes de résolution a) La méthode de substitution { 2x + y - 5 = 0 3x - 2y + 3 = 0 ⇔ { y = -2x + 5 3x - 2y + 3 = 0 ⇔ { y = -2x + 5 3x - 2(-2x + 5) + 3 = 0 ⇔ { y = -2x + 5 3x + 4x - 10 + 3 = 0 ⇔ { y = (Source: "--- Page 1 --- 2/ Méthodes de résolution a) La méthode de substitution { 2x + y - 5 = 0 3x - 2y + 3 = 0 ⇔ { y = -2x + 5 3x - 2y + 3 = 0 ⇔ { y = -2x + 5 3x - 2(-2x + 5) + 3 = 0 ⇔ { y = -2x + 5 3x + 4x - 10 + 3 = 0 ⇔ { y = -2x + 5 7x = 7 ⇔ { y = -2x + 5 x = 1 ⇔ { y = -2 × 1 + 5 x = 1 ⇔ { y = 3 x = 1 S = {(1; 3)} L’unique solution est le couple (1; 3) b) La...")
50. Détail source à réviser : y) dans les deux équations puis ajouter les deux équations (Source: "y) dans les deux équations puis ajouter les deux équations")
51. Détail source à réviser : 1) NB : Vous voyez que du début à la fin on reste toujours avec un système qui contient deux équations (Source: "1) NB : Vous voyez que du début à la fin on reste toujours avec un système qui contient deux équations")
52. Détail source à réviser : rendre les deux méthodes : Par substitution : https://www.youtube.com/watch?v=24VsDZK6bN0 https://www.youtube.com/watch?v=tzOCBkFZgUI Par combinaisons linéaires : Lui fait apparaître les mêmes coefficients et soustrait l (Source: "rendre les deux méthodes : Par substitution : https://www.youtube.com/watch?v=24VsDZK6bN0 https://www.youtube.com/watch?v=tzOCBkFZgUI Par combinaisons linéaires : Lui fait apparaître les mêmes coefficients et soustrait les deux lignes, c’est la même cho")
53. Détail source à réviser : 1637 dans la partie « Géométrie » de son célèbre Discours de la méthode (Source: "1637 dans la partie « Géométrie » de son célèbre Discours de la méthode")
54. Détail source à réviser : D’après Joseph Louis Lagrange : « Tant que l’algèbre et la géométrie ont été séparées, leurs progrès furent lents et leurs usages bornés ; mais lorsque ces deux sciences furent réunies, elles se sont prêtées des forces m (Source: "D’après Joseph Louis Lagrange : « Tant que l’algèbre et la géométrie ont été séparées, leurs progrès furent lents et leurs usages bornés ; mais lorsque ces deux sciences furent réunies, elles se sont prêtées des forces mutuelles et ont marché ensemble d’un pas rapide vers la perfection » (1795) • En mathématiques, une ligne droit")
55. Détail source à réviser : » (1795) • En mathématiques, une ligne droite est illimitée. Dans le français courant, la « ligne droite » désigne souvent une portion de route ou de voie ferrées sans virage. Certaines sont très longues ; la plus longue (Source: "» (1795) • En mathématiques, une ligne droite est illimitée. Dans le français courant, la « ligne droite » désigne souvent une portion de route ou de voie ferrées sans virage. Certaines sont très longues ; la plus longue ligne droite sur voie ferrée, en Australie, e")
56. Détail source à réviser : 0) ou u(1/-a/b) = u(b/-a) Donc un vecteur directeur de (D) est u(b/-a) Comment obtenir le coeff directeur d’une droite quand on connait un vecteur directeur (Source: "0) ou u(1/-a/b) = u(b/-a) Donc un vecteur directeur de (D) est u(b/-a) Comment obtenir le coeff directeur d’une droite quand on connait un vecteur directeur")
57. Détail source à réviser : teur directeur de (D) est 7u(3/1) = u(21/7) Cas général : si u(a/b) est un vecteur directeur d’une droite (D) alors un autre vecteur directeur de (D) est u(ka/kb) = u(a/b) et donc le coeff directeur de (D) est m = a/b (Source: "teur directeur de (D) est 7u(3/1) = u(21/7) Cas général : si u(a/b) est un vecteur directeur d’une droite (D) alors un autre vecteur directeur de (D) est u(ka/kb) = u(a/b) et donc le coeff directeur de (D) est m = a/b")
58. Détail source à réviser : D) • Si u(α/β) est un vecteur directeur de (D) --- Page 4 --- III/ Systèmes linéaires de deux équations à 2 inconnues 1/ Qu’est-ce que résoudre par le calcul un système dans R² ? Un système linéaire de 2 équations à 2 in (Source: "D) • Si u(α/β) est un vecteur directeur de (D) --- Page 4 --- III/ Systèmes linéaires de deux équations à 2 inconnues 1/ Qu’est-ce que résoudre par le calcul un système dans R² ? Un système linéaire de 2 équations à 2 inconnues est de la forme : { ax + by + c = 0 a’x + b’y + c’ =")
59. Détail source à réviser : Exemple : { 2x + y - 5 = 0 { 3x - 2y + 3 = 0 Résoudre un tel système c’est déterminer l’ensemble des couples (x, y) Exemple : { 2x + y - 5 = 0 { 3x - 2y + 3 = 0 Résoudre un tel système c’est déterminer l’ensemble des cou (Source: "Exemple : { 2x + y - 5 = 0 { 3x - 2y + 3 = 0 Résoudre un tel système c’est déterminer l’ensemble des couples (x, y) Exemple : { 2x + y - 5 = 0 { 3x - 2y + 3 = 0 Résoudre un tel système c’est déterminer l’ensemble des couples (x, y) Interprétation graphique : Soit (D) : y = -2x + 5 et 3x - 2y + 3 = 0 s’écrit aussi y = 3/2 x + 3/2 Alors (D) et (D’) sont deu...")
60. Détail source à réviser : Donc résoudre un système linéaire de 2 équations à 2 inconnues revient à déterminer les coordonnées du ou des points d’intersection entre (D) et (D’) (D) et (D’) sont sécantes en un point M(xM, yM) donc le système admet (Source: "Donc résoudre un système linéaire de 2 équations à 2 inconnues revient à déterminer les coordonnées du ou des points d’intersection entre (D) et (D’) (D) et (D’) sont sécantes en un point M(xM, yM) donc le système admet une solution unique : le couple (xM, yM) (D) et (D’) sont parallèles donc le système n’admet pas de so")
61. Détail source à réviser : e système admet une solution unique : le couple (xM, yM) (D) et (D’) sont parallèles donc le système n’admet pas de solution (D) et (D’) sont confondues donc le système admet une infinité de solutions : ce sont les (Source: "e système admet une solution unique : le couple (xM, yM) (D) et (D’) sont parallèles donc le système n’admet pas de solution (D) et (D’) sont confondues donc le système admet une infinité de solutions : ce sont les")
62. Détail source à réviser : signifie que : (D)//(D’) ⇔ m = m’ (D) et (D’) ont le même coefficient directeur, ainsi : --- Page 6 --- 1- Équation réduite de droite 1°) Généralités A retenir • Toute droite (D) non parallèle à l’axe (Oy) (axe des (Source: "signifie que : (D)//(D’) ⇔ m = m’ (D) et (D’) ont le même coefficient directeur, ainsi : --- Page 6 --- 1- Équation réduite de droite 1°) Généralités A retenir • Toute droite (D) non parallèle à l’axe (Oy) (axe des")
63. Détail source à réviser : lle représente la fonction f : x ↦ f(x) = mx + p • On note (D) : y = mx + p et on lit (D) "a pour équation" y = mx + p • L’équation de (D) est : -- Une relation entre l’abscisse et l’ordonnée de tout point de (D) -- Une (Source: "lle représente la fonction f : x ↦ f(x) = mx + p • On note (D) : y = mx + p et on lit (D) "a pour équation" y = mx + p • L’équation de (D) est : -- Une relation entre l’abscisse et l’ordonnée de tout point de (D) -- Une égalité liant les coordonnées d’un point quelco")
64. Détail source à réviser : l’origine du repère Elle représente une fonction f : x ↦ f(x) = mx f est une fonction linéaire (situation de proportionnalité) • Soit (D) : y = mx + p alors : -- m est le coefficient directeur de (D) (ou pente) -- p est (Source: "l’origine du repère Elle représente une fonction f : x ↦ f(x) = mx f est une fonction linéaire (situation de proportionnalité) • Soit (D) : y = mx + p alors : -- m est le coefficient directeur de (D) (ou pente) -- p est l’ordonnée à l’origine (quand x = 0, y = p) -- x et y sont les coordonnées d’un point quelconque de (D) -- Un point M(x; y) ∈ (D) si et s...")
65. Détail source à réviser : En effet, soit (D) : y = 3x + 1 On peut écrire l’équation de (D) sous la forme : 3x - y + 1 = 0 ou -3x + y - 1 = 0 ou 6x - 2y + 2 = 0 ou (Source: "En effet, soit (D) : y = 3x + 1 On peut écrire l’équation de (D) sous la forme : 3x - y + 1 = 0 ou -3x + y - 1 = 0 ou 6x - 2y + 2 = 0 ou")
66. Détail source à réviser : 29) Le coefficient directeur « m » et l’ordonnée à l’origine « p » a) Comment déterminer « m » et « p » par lecture graphique (Source: "29) Le coefficient directeur « m » et l’ordonnée à l’origine « p » a) Comment déterminer « m » et « p » par lecture graphique")
67. Détail source à réviser : st de 1, accroissement entre les ordonnées est de m = 2 Soit (D) : y = mx + p • Lecture de p : (D) passe par le point de coordonnées (0 ; (Source: "st de 1, accroissement entre les ordonnées est de m = 2 Soit (D) : y = mx + p • Lecture de p : (D) passe par le point de coordonnées (0 ;")
68. Détail source à réviser : B(1 ; 1) ∈ (D) NB : c’est nous qui choisissons les valeurs de x un choix arbitraire 2ème méthode * Utilisant l’ordonnée à l’origine et le coefficient directeur * p = 3 donc A(0 ; 3) ∈ (D) * m = -2 l’accroissement (la dif (Source: "B(1 ; 1) ∈ (D) NB : c’est nous qui choisissons les valeurs de x un choix arbitraire 2ème méthode * Utilisant l’ordonnée à l’origine et le coefficient directeur * p = 3 donc A(0 ; 3) ∈ (D) * m = -2 l’accroissement (la différence) entre les abscisses de deux points de (D) est de 1, alors l’accroissement entre les ordonnées est égal à -2 b) Interprétation gr...")
69. Détail source à réviser : c) Comment calculer le coefficient directeur « m » d’une droite (D) connaissant deux points de (D) (Source: "c) Comment calculer le coefficient directeur « m » d’une droite (D) connaissant deux points de (D)")
70. Détail source à réviser : p) • Calculons l’accroissement des ordonnées yB – yA : yB – yA = mxB + p – mxA – p yB – yA = mxB – mxA yB – yA = m(xB – xA) D’où m = (yB – yA) / (xB – xA) Formule à connaître Référir : A retenir : Si A(xA ; yA) et B(xB ; (Source: "p) • Calculons l’accroissement des ordonnées yB – yA : yB – yA = mxB + p – mxA – p yB – yA = mxB – mxA yB – yA = m(xB – xA) D’où m = (yB – yA) / (xB – xA) Formule à connaître Référir : A retenir : Si A(xA ; yA) et B(xB ; yB) sont deux points de (D) alors le coefficient directeur « m » de la droite (D) est : m = (yB – yA) / (xB – xA) Autrement dit : m = ac...")
71. Détail source à réviser : oints de (D) alors le coefficient directeur « m » de la droite (D) est : m = (yB – yA) / (xB – xA) Autrement dit : m = accroissement des ordonnées / accroissement des abscisses respectives Application : Déterminer l’équa (Source: "oints de (D) alors le coefficient directeur « m » de la droite (D) est : m = (yB – yA) / (xB – xA) Autrement dit : m = accroissement des ordonnées / accroissement des abscisses respectives Application : Déterminer l’équation de la droite (D) passant par A(-2 ; 3) et B(5 ; 1) 1- x ≠ xB donc (D) a une équation de la forme y = mx + p Calcul de m : m = (yB –...")
72. Détail source à réviser : 1) 1- x ≠ xB donc (D) a une équation de la forme y = mx + p Calcul de m : m = (yB – yA) / (xB – xA) = (1 – 3) / (5 – (-2)) = -2 / 7 2- Calcul de p : A(-2 ; (Source: "1) 1- x ≠ xB donc (D) a une équation de la forme y = mx + p Calcul de m : m = (yB – yA) / (xB – xA) = (1 – 3) / (5 – (-2)) = -2 / 7 2- Calcul de p : A(-2 ;")
73. Détail source à réviser : 1) ∈ (D) NB : c’est nous qui choisissons les valeurs de x un choix arbitraire 2ème méthode * Utilisant l’ordonnée à l’origine et le coefficient directeur * p = 3 donc A(0 ; 3) ∈ (D) * m = -2 l’accroissement (la différenc (Source: "1) ∈ (D) NB : c’est nous qui choisissons les valeurs de x un choix arbitraire 2ème méthode * Utilisant l’ordonnée à l’origine et le coefficient directeur * p = 3 donc A(0 ; 3) ∈ (D) * m = -2 l’accroissement (la différence) entre les abscisses de deux points de (D) est de 1, alors l’accroissement entre les ordonnées est égal à -2 b) Interprétation graphiqu...")
74. Détail source à réviser : 3) et B(5 ; 1) 1- x ≠ xB donc (D) a une équation de la forme y = mx + p Calcul de m : m = (yB – yA) / (xB – xA) = (1 – 3) / (5 – (-2)) = -2 / 7 2- Calcul de p : A(-2 ; 3) ∈ (D) donc y = -2/7 x + p Soit 3 = -2/7 × (-2) + (Source: "3) et B(5 ; 1) 1- x ≠ xB donc (D) a une équation de la forme y = mx + p Calcul de m : m = (yB – yA) / (xB – xA) = (1 – 3) / (5 – (-2)) = -2 / 7 2- Calcul de p : A(-2 ; 3) ∈ (D) donc y = -2/7 x + p Soit 3 = -2/7 × (-2) + p D’où 3 = 4/7 + p Donc p = 3 – 4/7 = 21/7 – 4/7 = 17/7 Donc (D) : y = -2/7 x + 17/7 Méthode à connaître On peut aussi utiliser les coord...")
75. Détail source à réviser : a) La méthode de substitution { 2x + y - 5 = 0 3x - 2y + 3 = 0 ⇔ { y = -2x + 5 3x - 2y + 3 = 0 ⇔ { y = -2x + 5 3x - 2(-2x + 5) + 3 = 0 ⇔ { y = -2x + 5 3x + 4x - 10 + 3 = 0 ⇔ { y = -2x + 5 7x = 7 ⇔ { y = -2x + 5 x = 1 ⇔ { (Source: "a) La méthode de substitution { 2x + y - 5 = 0 3x - 2y + 3 = 0 ⇔ { y = -2x + 5 3x - 2y + 3 = 0 ⇔ { y = -2x + 5 3x - 2(-2x + 5) + 3 = 0 ⇔ { y = -2x + 5 3x + 4x - 10 + 3 = 0 ⇔ { y = -2x + 5 7x = 7 ⇔ { y = -2x + 5 x = 1 ⇔ { y = -2 × 1 + 5 x = 1 ⇔ { y = 3 x = 1 S = {(1; 3)} L’unique solution est le couple (1; 3) b) La méthode d’addition (ou combinaisons linéa...")
76. Détail source à réviser : y) Exemple : { 2x + y - 5 = 0 { 3x - 2y + 3 = 0 Résoudre un tel système c’est déterminer l’ensemble des couples (x, y) Interprétation graphique : Soit (D) : y = -2x + 5 et 3x - 2y + 3 = 0 s’écrit aussi y = 3/2 x + 3/2 Al (Source: "y) Exemple : { 2x + y - 5 = 0 { 3x - 2y + 3 = 0 Résoudre un tel système c’est déterminer l’ensemble des couples (x, y) Interprétation graphique : Soit (D) : y = -2x + 5 et 3x - 2y + 3 = 0 s’écrit aussi y = 3/2 x + 3/2 Alors (D) et (D’) sont deux droites distinctes")
77. Détail source à réviser : p) -- x et y sont les coordonnées d’un point quelconque de (D) -- Un point M(x; y) ∈ (D) si et seulement si ses coordonnées satisfont (vérifient) l’équation de (D) Remarque : Une droite a une infinité d’équations équival (Source: "p) -- x et y sont les coordonnées d’un point quelconque de (D) -- Un point M(x; y) ∈ (D) si et seulement si ses coordonnées satisfont (vérifient) l’équation de (D) Remarque : Une droite a une infinité d’équations équivalentes")
78. Détail source à réviser : 3) ∈ (D) * Si x = 1 alors y = 1 donc le point de coord (Source: "3) ∈ (D) * Si x = 1 alors y = 1 donc le point de coord")
79. Détail source à réviser : d’ajouter les lignes car l’objectif est bien de supprimer soit les termes en x soit en y https://www.youtube.com/watch?v=UPIz65G4f48 --- Page 2 --- Chapitre 9 : Équation de droite et systèmes Histoire des maths • Ce chap (Source: "d’ajouter les lignes car l’objectif est bien de supprimer soit les termes en x soit en y https://www.youtube.com/watch?v=UPIz65G4f48 --- Page 2 --- Chapitre 9 : Équation de droite et systèmes Histoire des maths • Ce chapitre traite de la géométrie plan")
80. Détail source à réviser : Equation réduite de (D) → y = -a/b x - c/b (b ≠ 0) ou u(1/-a/b) = u(b/-a) Donc un vecteur directeur de (D) est u(b/-a) Comment obtenir le coeff directeur d’une droite quand on connait un vecteur directeur ? exemples : si (Source: "Equation réduite de (D) → y = -a/b x - c/b (b ≠ 0) ou u(1/-a/b) = u(b/-a) Donc un vecteur directeur de (D) est u(b/-a) Comment obtenir le coeff directeur d’une droite quand on connait un vecteur directeur ? exemples : si u(3/1) est un vecteur directeur d’une droite (D) alors un a")
81. Détail source à réviser : 29) Le coefficient directeur « m » et l’ordonnée à l’origine « p » a) Comment déterminer « m » et « p » par lecture graphique ? Exemple : soit (D) y = 2x - 2 - Graphiquement, (D) passe par le point de coordonnées (0 ; -2 (Source: "29) Le coefficient directeur « m » et l’ordonnée à l’origine « p » a) Comment déterminer « m » et « p » par lecture graphique ? Exemple : soit (D) y = 2x - 2 - Graphiquement, (D) passe par le point de coordonnées (0 ; -2) donc p = -2. C’est l’ordonnée du point d’abscisse 0. - Si")
82. Détail source à réviser : e à aller regarder ces vidéos pour bien comprendre les deux méthodes : Par substitution : https://www.youtube.com/watch?v=24VsDZK6bN0 https://www.youtube.com/watch?v=tzOCBkFZgUI Par combinaisons linéaires : Lui fait appa (Source: "e à aller regarder ces vidéos pour bien comprendre les deux méthodes : Par substitution : https://www.youtube.com/watch?v=24VsDZK6bN0 https://www.youtube.com/watch?v=tzOCBkFZgUI Par combinaisons linéaires : Lui fait apparaître les mêmes coefficients et")
83. Détail source à réviser : ux équations. { 6x - 4y - 2 = 0 -6x + 15y - 9 = 0 L1 ← 2×L1 L2 ← -3×L2 La flèche signifie « provient de » (ex : la nouvelle ligne 1 est 2 fois la précédente) ⇔ { 6x - 4y - 2 = 0 6x - 6x - 4y + 15y - 2 - 9 = 0 L1 ← L1 L2 (Source: "ux équations. { 6x - 4y - 2 = 0 -6x + 15y - 9 = 0 L1 ← 2×L1 L2 ← -3×L2 La flèche signifie « provient de » (ex : la nouvelle ligne 1 est 2 fois la précédente) ⇔ { 6x - 4y - 2 = 0 6x - 6x - 4y + 15y - 2 - 9 = 0 L1 ← L1 L2 ← L1 + L2 Ainsi la deuxième équation est uniq")
84. Détail source à réviser : x méthodes : Par substitution : https://www.youtube.com/watch?v=24VsDZK6bN0 https://www.youtube.com/watch?v=tzOCBkFZgUI Par combinaisons linéaires : Lui fait apparaître les mêmes coefficients et soustrait les deux (Source: "x méthodes : Par substitution : https://www.youtube.com/watch?v=24VsDZK6bN0 https://www.youtube.com/watch?v=tzOCBkFZgUI Par combinaisons linéaires : Lui fait apparaître les mêmes coefficients et soustrait les deux")
85. Détail source à réviser : Un système linéaire de 2 équations à 2 inconnues est de la forme : { ax + by + c = 0 a’x + b’y + c’ = 0 où a, b, c, a’, b’, c’ sont des coefficients donnés et x et y sont les inconnues (Source: "Un système linéaire de 2 équations à 2 inconnues est de la forme : { ax + by + c = 0 a’x + b’y + c’ = 0 où a, b, c, a’, b’, c’ sont des coefficients donnés et x et y sont les inconnues")
86. Détail source à réviser : - Si l’accroissement (la différence) entre les abscisses de deux points de (D) est de 1, accroissement entre les ordonnées est de m = 2 Soit (D) : y = mx + p • Lecture de p : (D) passe par le point de coordonnées (0 ; p) (Source: "- Si l’accroissement (la différence) entre les abscisses de deux points de (D) est de 1, accroissement entre les ordonnées est de m = 2 Soit (D) : y = mx + p • Lecture de p : (D) passe par le point de coordonnées (0 ; p)")
87. Détail source à réviser : 2 b) Interprétation graphique du coefficient directeur « m » d’une droite (D) c) Comment calculer le coefficient directeur « m » d’une droite (D) connaissant deux points de (D) ? Soit A et B deux points de (D) donc les c (Source: "2 b) Interprétation graphique du coefficient directeur « m » d’une droite (D) c) Comment calculer le coefficient directeur « m » d’une droite (D) connaissant deux points de (D) ? Soit A et B deux points de (D) donc les coordonnées de A vérifient l’équation de (D) A(xA ; yA) ∈ (D)")
88. Détail source à réviser : Exemple : soit (D) y = 2x - 2 - Graphiquement, (D) passe par le point de coordonnées (0 ; -2) donc p = -2 (Source: "Exemple : soit (D) y = 2x - 2 - Graphiquement, (D) passe par le point de coordonnées (0 ; -2) donc p = -2")
89. Détail source à réviser : Soit A et B deux points de (D) donc les coordonnées de A vérifient l’équation de (D) A(xA ; yA) ∈ (D) donc yA = mxA + p Soit B(xB ; yB) ∈ (D) donc yB = mxB + p • Donc yA = mxA + p • yB = mxB + p • De même, B(xB ; yB) ∈ ( (Source: "Soit A et B deux points de (D) donc les coordonnées de A vérifient l’équation de (D) A(xA ; yA) ∈ (D) donc yA = mxA + p Soit B(xB ; yB) ∈ (D) donc yB = mxB + p • Donc yA = mxA + p • yB = mxB + p • De même, B(xB ; yB) ∈ (D) Donc yB – yA = mxB + p – (mxA + p) • Calculons l’accroissement des ordonnées yB – yA : yB – yA = mxB + p – mxA – p yB – yA = mxB – mxA...")
90. Détail source à réviser : { 6x - 4y - 2 = 0 -6x + 15y - 9 = 0 L1 ← 2×L1 L2 ← -3×L2 La flèche signifie « provient de » (ex : la nouvelle ligne 1 est 2 fois la précédente) ⇔ { 6x - 4y - 2 = 0 6x - 6x - 4y + 15y - 2 - 9 = 0 L1 ← L1 L2 ← L1 + L2 Ains (Source: "{ 6x - 4y - 2 = 0 -6x + 15y - 9 = 0 L1 ← 2×L1 L2 ← -3×L2 La flèche signifie « provient de » (ex : la nouvelle ligne 1 est 2 fois la précédente) ⇔ { 6x - 4y - 2 = 0 6x - 6x - 4y + 15y - 2 - 9 = 0 L1 ← L1 L2 ← L1 + L2 Ainsi la deuxième équation est uniquement en y ⇔ { 6x - 4y - 2 = 0 11y = 11 ⇔ { 6x - 4y - 2 = 0 y = 1 ⇔ { 6x - 4 × 1 - 2 = 0 y = 1 ⇔ { 6x = 6...")
91. Détail source à réviser : Cette approche de la géométrie est aussi appelée cartésienne, du nom de René Descartes qui en a posé les bases en 1637 dans la partie « Géométrie » de son célèbre Discours de la méthode (Source: "Cette approche de la géométrie est aussi appelée cartésienne, du nom de René Descartes qui en a posé les bases en 1637 dans la partie « Géométrie » de son célèbre Discours de la méthode")
92. Détail source à réviser : elée cartésienne, du nom de René Descartes qui en a posé les bases en 1637 dans la partie « Géométrie » de son célèbre Discours de la méthode. Grâce aux méthodes cartésiennes, on peut résoudre des problèmes de géométrie (Source: "elée cartésienne, du nom de René Descartes qui en a posé les bases en 1637 dans la partie « Géométrie » de son célèbre Discours de la méthode. Grâce aux méthodes cartésiennes, on peut résoudre des problèmes de géométrie avec une approche calculatoire. D’après Jos")
93. Détail source à réviser : exemples : si u(3/1) est un vecteur directeur d’une droite (D) alors un autre vecteur directeur de (D) est 2u(3/1) = u(6/2) alors un autre vecteur directeur de (D) est 7u(3/1) = u(21/7) Cas général : si u(a/b) est un vec (Source: "exemples : si u(3/1) est un vecteur directeur d’une droite (D) alors un autre vecteur directeur de (D) est 2u(3/1) = u(6/2) alors un autre vecteur directeur de (D) est 7u(3/1) = u(21/7) Cas général : si u(a/b) est un vecteur directeur d’une droite (D) alors un autre vecteur directeur de (D) est u(ka/kb) = u(a/b) et donc le coeff directeur de (D) est m = a...")
94. Détail source à réviser : On note aussi l’équation réduite de la forme y = mx + p avec m et p constantes de ℝ (Source: "On note aussi l’équation réduite de la forme y = mx + p avec m et p constantes de ℝ")
95. Détail source à réviser : L’écriture y = 3x + 1 est appelée équation réduite de (D) (Source: "L’écriture y = 3x + 1 est appelée équation réduite de (D)")
96. Détail source à réviser : ) connaissant deux points de (D) ? Soit A et B deux points de (D) donc les coordonnées de A vérifient l’équation de (D) A(xA ; yA) ∈ (D) donc yA = mxA + p Soit B(xB ; yB) ∈ (D) donc yB = mxB + p • Donc yA = mxA + p • (Source: ") connaissant deux points de (D) ? Soit A et B deux points de (D) donc les coordonnées de A vérifient l’équation de (D) A(xA ; yA) ∈ (D) donc yA = mxA + p Soit B(xB ; yB) ∈ (D) donc yB = mxB + p • Donc yA = mxA + p •")

📅 Repères chronologiques

Date	Événement
1795	Citation de Joseph Louis Lagrange sur la réunion de l’algèbre et de la géométrie

📊 Tableaux de Synthèse

Thème	Contenu	Méthode / Caractéristique	Exemple / Formule	Auteur
Résolution systèmes linéaires	Deux méthodes fondamentales	Substitution, addition (combinaisons linéaires)	Résoudre par substitution ou addition	N/A
Solution d’un système	Types de solutions	Solution unique, aucune solution (droites parallèles), infinité (droites confondues)	Points d’intersection des droites	N/A
Vecteur directeur	Définition et calcul	U(α/β), autres vecteurs : u(ka/kb) = u(a/b)	Coefficient directeur m = β/α	N/A
Équation réduite d’une droite	Forme standard	y = mx + p, m et p constants réels	Exemple : y = 3x + 1	N/A
Coefficient directeur m	Calcul à partir de deux points ou vecteur directeur	m = (yB – yA) / (xB – xA) ou m = β/α si u(α/β) vecteur directeur	Exemple : si u(3/1), m = 1/3	N/A
Parallélisme de droites	Critère	Droites parallèles si m = m’ ou coefficients directeurs égaux	Equations : y = mx + p et y = m'x + p' avec m = m'	N/A

⚠️ Pièges & Confusions Fréquentes

1. Confondre la solution unique avec une infinité ou aucune solution sans vérifier les coefficients.
2. Oublier que deux vecteurs directeurs proportionnels représentent la même droite.
3. Mal interpréter l’équation réduite en ne distinguant pas bien m (pente) et p (ordonnée à l’origine).
4. Confondre l’équation d’une droite parallèle à l’axe Oy (x = k) avec celle d’une droite non parallèle.
5. Ne pas vérifier que deux points vérifient bien l’équation pour confirmer qu’ils appartiennent à la droite.
6. Mauvaise utilisation de la formule du coefficient directeur à partir de deux points.
7. Confusion entre vecteur directeur et coefficient directeur, qui sont liés mais distincts.

✅ Checklist Examen

• Connaître les deux méthodes de résolution des systèmes linéaires à deux inconnues.
• Savoir déterminer si un système a une solution unique, aucune ou une infinité.
• Comprendre la relation entre vecteur directeur et coefficient directeur d’une droite.
• Savoir calculer un vecteur directeur à partir d’un vecteur donné.
• Connaître la forme de l’équation réduite d’une droite : y = mx + p.
• Savoir calculer le coefficient directeur m à partir de deux points ou d’un vecteur directeur.
• Identifier une droite parallèle à un axe ou entre deux droites en comparant leurs coefficients directeurs.
• Savoir lire graphiquement le coefficient directeur et l’ordonnée à l’origine sur une droite.
• Maîtriser la construction graphique d’une droite à partir de son équation.
• Savoir vérifier qu’un point appartient à une droite en remplaçant ses coordonnées dans l’équation.
• Connaître la signification géométrique du coefficient directeur m.
• Savoir utiliser la formule du coefficient directeur m = (yB – yA)/(xB – xA).
• Comprendre que toute droite non parallèle à l’axe des ordonnées admet une équation sous la forme y=mx+p.