Introduction à la dérivation et à l'étude des fonctions

📋 Plan du Cours

1. Limite en zéro
2. Nombre dérivé
3. Tangente à une courbe
4. Dérivées fonctions usuelles
5. Opérations sur dérivées
6. Étude variations fonctions
7. Extremums fonctions
8. Fonctions composées
9. Dérivée fonctions composées
10. Applications d'optimisation

📖 1. Limite en zéro

🔑 Notions clés & Définitions

• Limite en un point : La limite d'une fonction $f(x)$ lorsque $x$ tend vers un point $a$ est la valeur que $f(x)$ approche lorsque $x$ s'approche de $a$. (Monka, 2023) : « On dit que $f$ a pour limite $L$ lorsque $x$ tend vers 0 si, pour tout $\varepsilon > 0$, il existe $\delta > 0$ tel que si \ $|x| < \delta$, alors $|f(x) - L| < \varepsilon$. »

• Notations : La limite de $f(x)$ lorsque $x$ tend vers 0 est notée $\lim_{x \to 0} f(x) = L$. Cela signifie que lorsque $x$ s'approche de 0, $f(x)$ s'approche de $L$.

• Limite finie : Si $L$ est un nombre réel, alors $\lim_{x \to 0} f(x) = L$ est une limite finie. Exemple : si $f(x) = \frac{\sin x}{x}$, alors $\lim_{x \to 0} f(x) = 1$.

• Limite infinie : Si $f(x)$ devient arbitrairement grand ou petit lorsque $x$ tend vers 0, on dit que la limite est infinie, notée $\lim_{x \to 0} f(x) = +\infty$ ou $-\infty$. Exemple : $g(x) = \frac{1}{x}$ lorsque $x \to 0^+$, limite infinie positive.