Introduction à la géométrie, suites et dérivées

📖 1. Second degré

🔑 Notions clés & Définitions

• Trinôme du second degré : Un trinôme du second degré est une fonction $A(x)=ax^2+bx+c$ définie sur $\\mathbb{R}$ avec $a\\neq 0$.
• Forme canonique du trinôme : La forme canonique d’un trinôme réécrit $A(x)$ sous la forme $A(x)=a(x-\\alpha)^2+\\beta$ avec $\\alpha$ et $\\beta$ calculables à partir de $a,b,c$.
• Discriminant : Le discriminant d’un trinôme $ax^2+bx+c$ est le nombre $\\Delta=b^2-4ac$, qui détermine l’existence et la nature des racines.

📝 Points essentiels

• Le sommet de la parabole est atteint en $x=\\alpha=-\\dfrac{b}{2a}$ et vaut $\\beta=f(\\alpha)=-\\dfrac{b^2-4ac}{4a}$, avec un minimum si a>0 et un maximum si a<0.
• Si \\Delta<0, le trinôme $ax^2+bx+c$ n’a aucune solution réelle et il conserve toujours le signe de $a$.
• Si $\\Delta=0$, il a une unique solution réelle double en $x=\\alpha=-\\dfrac{b}{2a}$ et il se factorise en $a(x-\\alpha)^2$.
• Si \\Delta>0, il admet deux racines $x_1=\\dfrac{-b-\\sqrt{\\Delta}}{2a}$ et $x_2=\\dfrac{-b+\\sqrt{\\Delta}}{2a}$, et il se factorise en $a(x-x_1)(x-x_2)$ tout en étant du signe de $a$ en dehors de $x_1$ et $x_2$.
• Quand \\Delta>0, les racines vérifient $x_1+x_2=-\\dfrac{b}{a}$ et $x_1x_2=\\dfrac{c}{a}$.

💡 Astuce mémo

\Delta négatif : 0 racine (toujours signe de $a$) ; \Delta nul : 1 racine double ; \Delta positif : 2 racines et factorisation en produit.

📖 2. Suites numériques et géométriques