Scheda di revisione: Introduction à la physique électromagnétique

📋 Plan du Cours

1. Systèmes de coordonnées
2. Champs scalaires et vectoriels
3. Opérateur nabla
4. Invariance et symétrie
5. Charges électriques et interaction
6. Champs électrique et magnétique
7. Potentiels électrostatique et magnétique
8. Équations locales et interfaces
9. Conducteurs en équilibre
10. Condensateurs et capacité

📖 1. Systèmes de coordonnées

🔑 Notions clés & Définitions

• Coordonnées cartésiennes : Système de coordonnées qui repère un point dans l’espace à l’aide d’axes perpendiculaires, généralement notés $x$, $y$ et $z$.
• Coordonnées cylindriques : Système de coordonnées qui décrit un point avec une distance à un axe, une coordonnée angulaire et une hauteur, pour exploiter une symétrie autour d’un axe.
• Coordonnées sphériques : Système de coordonnées qui décrit un point par sa distance à l’origine et deux angles, pour exploiter une symétrie radiale.
• Longueur surface volume : Notions géométriques utilisées pour exprimer des grandeurs associées aux formes rencontrées en intégration (segments, surfaces, volumes) dans chaque système de coordonnées.

📖 2. Champs scalaires et vectoriels

🔑 Notions clés & Définitions

• Champ scalaire : Un champ scalaire associe à chaque point M une valeur réelle, donc une fonction f(M) = f(x,y,z).
• Surfaces planes d’un champ scalaire : Les surfaces planes sont les ensembles des points qui vérifient f(x,y,z)=C avec C constante.
• Intégrale de ligne : L’intégrale de ligne d’un champ scalaire ou vectoriel s’évalue le long d’une courbe entre deux points A et B.
• Champ vectoriel : Un champ vectoriel associe à chaque point M un vecteur, soit a(M)=a(x,y,z).

📝 Points essentiels

• Si vous connaissez la dérivée f′(x), alors la variation de f entre x% et x& s’obtient par la relation ∫_{x&}^{x%} df = f(x%)−f(x&).
• En 3D, pour un scalaire f(x,y,z), l’élément différentiel s’écrit df = (∂f/∂x)dx + (∂f/∂y)dy + (∂f/∂z)dz.
• Une intégrale de champ scalaire le long d’une courbe s’écrit comme ∫ f(M),dl entre A et B pour définir une quantité totale le long du trajet.
• Les intégrales de surface (doubles) et de volume (triples) généralisent le même principe en intégrant f(M) sur une surface ou dans un volume.
• Pour la circulation, une intégrale de ligne vectorielle mesure l’accumulation le long d’un contour via ∮ a·dC.
• Le flux s’interprète avec un élément de surface représenté par un pseudo-vecteur dS de norme dS, orienté perpendiculairement à la surface.

📖 3. Opérateur nabla

🔑 Notions clés & Définitions

• Opérateur nabla : L’opérateur nabla regroupe les dérivées partielles spatiales et sert d’outil de calcul local pour les champs en coordonnées cartésiennes.
• Gradient : Le gradient est l’application de nabla à un champ scalaire, donnant un champ vectoriel qui indique la variation locale et la direction de plus forte augmentation.
• Divergence : La divergence est l’application de nabla à un champ vectoriel, produisant un scalaire qui mesure la divergence locale du champ.

📝 Points essentiels

• Dans le repère cartésien, l’opérateur nabla vaut ∇=e_x∂/∂x+e_y∂/∂y+e_z∂/∂z.
• Si f(x,y,z) est un champ scalaire, alors ∇f=(∂f/∂x)e_x+(∂f/∂y)e_y+(∂f/∂z)e_z.
• Pour un gradient, la circulation entre A et B vaut ∫_A^B ∇f·dl=f(B)−f(A) et ne dépend pas du chemin, donc elle est conservative.
• Le gradient ∇f est perpendiculaire aux surfaces de niveau f=constante, car sur ces surfaces df=0 donc ∇f·dl=0.
• Si a⃗=(a_x,a_y,a_z) est un champ vectoriel, alors ∇·a⃗=∂a_x/∂x+∂a_y/∂y+∂a_z/∂z est un scalaire lié au flux à travers les fermées.

💡 Astuce mémo

Gradient → variation locale : direction de ∇f et circulation conservative (∫∇f·dl=f(B)−f(A)).

📖 4. Invariance et symétrie

🔑 Notions clés & Définitions

• Invariance translationnelle : L’invariance translationnelle signifie que les effets d’un système ne changent pas lorsqu’on déplace l’observation le long d’une direction donnée.
• Invariance rotationnelle : L’invariance rotationnelle signifie que les effets d’un système restent identiques quand on fait tourner le système autour d’un axe ou d’un point.
• Plan de symétrie : Un plan de symétrie est un plan tel que, lorsqu’on prend deux points miroirs par rapport à lui, certains effets se transforment de façon prévisible.
• Pseudo-vecteur : Un pseudo-vecteur est une grandeur qui change de signe différemment d’un vecteur lors d’une symétrie, notamment par rapport à un plan.

📝 Points essentiels

• Si le système est invariant par translation le long de z, alors les effets ne dépendent pas de z et on peut utiliser des coordonnées cartésiennes (x,y) avec une forme f=f(x,y).
• Si le système est invariant par translation suivant deux axes (x,y), alors les effets ne dépendent que de z et s’écrivent f(z).
• Si le système est invariant par translation suivant trois axes, tous les effets sont constants partout, donc f=constante.
• Si le système est invariant par rotation autour d’un axe z, alors les effets ne dépendent pas de l’angle θ (ils dépendent seulement de ρ et z en coordonnées cylindriques).
• Si le système possède un plan de symétrie, tout effet vectoriel vérifie sa composante normale nulle et le vecteur est contenu dans le plan de symétrie.
• Si le système possède un plan de symétrie, tout effet pseudo-vectoriel est perpendiculaire au plan de symétrie.

💡 Astuce mémo

Vecteur dans le plan (composante normale nulle) ; pseudo-vecteur hors du plan (perpendiculaire).

📖 5. Charges électriques et interaction

🔑 Notions clés & Définitions

• Charge ponctuelle : Une charge ponctuelle est modélisée comme ayant une taille négligeable, tout en portant une valeur de charge électrique qui crée des forces à distance.
• Densité de charge : La densité de charge décrit la charge électrique répartie dans le volume sous forme continue, via $\mathrm{d}q=\rho(P)\,\mathrm{d}V$.
• Densité surfacique : La densité surfacique $\sigma$ modélise une charge répartie sur une surface quand l’épaisseur est négligeable, avec $\mathrm{d}q=\sigma(P)\,\mathrm{d}S$.
• Densité linéique : La densité linéique $\lambda$ modélise une charge répartie le long d’une ligne quand la section est négligeable, avec $\mathrm{d}q=\lambda(P)\,\mathrm{d}l$.
• Loi de Coulomb : La loi de Coulomb relie la force électrostatique entre charges immobiles à leurs charges et à leur distance, avec une dépendance en $1/r^2$.

📝 Points essentiels

• Chaque proton porte $+e$ et chaque électron porte $-e$ avec $e=1,6\times 10^{-19}\,\mathrm{C}$, d’où une charge élémentaire quantifiée et invariante.
• La force électrostatique entre deux charges immobiles $q_1$ et $q_2$ vaut $|\vec F_{12}|=k\,\dfrac{|q_1q_2|}{r^2}$ avec $k=\dfrac{1}{4\pi\varepsilon_0}\approx 9\times 10^{9}$ et $\varepsilon_0=8,85\times 10^{-12}$ en SI.
• Deux charges de même signe se repoussent et deux charges de signes opposés s’attirent mutuellement.
• Les interactions électrostatiques se somment indépendamment : la force totale sur une charge est la somme vectorielle des forces dues à toutes les autres, $\vec F=\sum_i \vec F_i$.
• Quand la charge est répartie dans un volume $\tau$, la charge totale vaut $Q=\iiint_{\tau}\rho\,\mathrm{d}V$.
• Quand l’objet chargé est très plat, on remplace $\rho$ par une densité surfacique $\sigma$ et $\mathrm{d}q=\sigma\,\mathrm{d}S$; quand il est très fin, on remplace par une densité linéique $\lambda$ et $\mathrm{d}q=\lambda\,\mathrm{d}l$.

📖 6. Champs électrique et magnétique

🔑 Notions clés & Définitions

• Champ électrique E : Le champ électrique est un vecteur qui, en chaque point de l’espace, décrit l’effet d’une charge sur une autre charge par l’intermédiaire de la force de Coulomb.
• Champ magnétique B : Le champ magnétique est un pseudo-vecteur qui décrit la partie de la force liée au mouvement des charges, en plus de l’effet électrique.
• Force de Lorentz : La force de Lorentz est la force totale exercée sur une charge mobile, somme de la contribution électrique et de la contribution magnétique $q(\vec v\wedge\vec B)$.
• Loi de Gauss : La loi de Gauss relie le flux du champ électrique à la charge enfermée dans une surface fermée, via la permittivité du vide.
• Biot et Savart : La loi de Biot et Savart donne le champ magnétique créé en un point par un courant stationnaire, en intégrant la contribution de chaque élément de courant.

📝 Points essentiels

• Le champ électrique créé par une charge ponctuelle $q$ en un point $M$ s’écrit $\vec E(M)=\dfrac{q}{4\pi\varepsilon_0}\dfrac{\vec r}{r^3}$, avec $\vec r$ vecteur de $q$ vers $M$.
• Le flux électrostatique sur une surface fermée vaut $\Phi=\displaystyle\iint \vec E\cdot d\vec S=\dfrac{q_{\text{int}}}{\varepsilon_0}$, donc il est nul si la charge est à l’extérieur.
• Dans le référentiel galiléen, la force sur une charge mobile $q$ est $\vec F=q\vec E+q(\vec v\wedge\vec B)$, ce qui définit le couplage électromagnétique $\vec E$–$\vec B$.
• Le champ magnétique est un pseudo-vecteur, associé à des plans de symétrie et d’antisymétrie (il change de signe par symétrie au bon sens).
• Le champ magnétique d’un fil parcouru par un courant stationnaire $I$ est $\vec B(M)=\dfrac{\mu_0}{4\pi}\,I\,\dfrac{\,d\vec l\wedge \vec r\,}{r^3}$, et sa version volumique remplace $I\,d\vec l$ par $\vec J\,dV$.
• Le théorème d’Ampère donne $\displaystyle\oint \vec B\cdot d\vec l=\mu_0 I_{\text{encl}}$, avec extension par somme algébrique des courants si plusieurs courent.

💡 Astuce mémo

E : charges fixes (flux Gauss) ; B : charges en mouvement (courants via Biot–Savart/Ampère).

📖 7. Potentiels électrostatique et magnétique

🔑 Notions clés & Définitions

• Potentiel électrostatique : Le potentiel électrostatique est un scalaire $V$ tel que le champ électrique se déduise par $\vec E=-\nabla V$.
• Superposition des potentiels : En électrostatique, le potentiel total est la somme des potentiels dus à chaque charge, car les contributions s’additionnent.
• Potentiel magnétique : Le potentiel magnétique $\vec A$ est un vecteur associé aux courants, dont la forme découle mathématiquement du champ $\vec B$.

📝 Points essentiels

• Pour une charge ponctuelle $q$, le potentiel vaut $V(r)=\dfrac{1}{4\pi\varepsilon_0}\dfrac{q}{r}$ (avec la référence choisie à $V(\infty)=0$).
• Le champ électrostatique est un gradient : $\vec E=-\mathrm{grad}\,V$, donc $\nabla\times\vec E=\vec 0$ dans le cadre électrostatique.
• Si une distribution de charges crée des contributions $V_i$, alors $V(M)=\sum_i V_i$, ce qui remplace une somme vectorielle par des intégrales scalaires.
• Le travail du champ électrostatique quand une charge $q'$ va de l’état initial i à l’état final f vérifie $W_{i\to f}=q'\bigl(V_i-V_f\bigr)$.
• Le potentiel magnétique pour une distribution volumique de courant s’écrit $\vec A(M)=\dfrac{\mu_0}{4\pi}\int \dfrac{\vec j\, dV}{r}$, où le vecteur dépend de la géométrie via la distance d’intégration.

💡 Astuce mémo

Echelle d’énergie : $W=q'(V_i-V_f)$ et la tension se lit comme une « hauteur » dont $\vec E$ pointe la pente avec $\vec E=-\nabla V$.

📖 8. Équations locales et interfaces

🔑 Notions clés & Définitions

• Équation de Poisson : Équation locale reliant le potentiel électrostatique $V$ à la densité de charge volumique $ho$ via un opérateur laplacien.
• Équation de Laplace : Équation locale du potentiel $V$ valable dans une région où la densité de charge volumique est nulle, donc où $V$ est harmonique.
• Interface électrostatique : Surface de séparation entre deux milieux où le champ électrique peut changer de façon contrôlée par la présence éventuelle d’une charge surfacique.
• Jauge de Coulomb : Choix de condition sur le potentiel vecteur $abla imes abla imes ext{(via div)}$ imposant $abla ext{div} eq 0$ (formulée ici comme $abla ext{div} eq$) pour fermer l’écriture locale du champ magnétique.

📝 Points essentiels

• Le champ électrostatique s’écrit localement comme un gradient : $abla imes abla V=0$ puis $\vec E=-\nabla V$, ce qui mène à l’équation de Poisson $\Delta V=-\rho/\varepsilon_0$ en tout point.
• Si en un point $\rho(M)=0$, alors l’équation de Poisson devient $\Delta V=0$, appelée équation de Laplace.
• À l’interface entre un volume chargé et son extérieur, la composante normale du champ $\vec E$ est continue et la composante tangentielle $\vec E_{//}$ est continue, donc $\vec E$ reste continue.
• À la surface d’un volume chargé avec densité surfacique $\sigma$, la composante tangentielle $\vec E_{//}$ reste continue et la composante normale vérifie $\vec n\cdot\big(\vec E_{\text{extérieur}}-\vec E_{\text{intérieur}}\big)=\sigma/\varepsilon_0$.
• Le potentiel électrostatique $V$ reste continu à l’interface.
• Pour le champ magnétique, la condition locale $\nabla\cdot \vec B=0$ traduit le fait que le flux magnétique est conservatif.

📖 9. Conducteurs en équilibre

🔑 Notions clés & Définitions

• Conducteur : Un conducteur est un corps où des charges libres peuvent se déplacer sous l’action des champs électriques.
• Équilibre électrostatique : Un équilibre électrostatique correspond à un état où les charges libres ne produisent aucun mouvement collectif et donc aucun courant permanent.
• Cage de Faraday : Une cage de Faraday est un conducteur creux qui maintient le champ électrique nul à l’intérieur en présence de perturbations extérieures.
• Effet de pointe : L’effet de pointe décrit l’augmentation de l’intensité du champ près d’un sommet, car les lignes de champ se resserrent autour de la pointe.
• Chargement sous influence : Le chargement sous influence est le phénomène où un conducteur perd ensuite sa référence à la terre ou au générateur, mais conserve une charge acquise pendant la mise en influence.

📝 Points essentiels

• À l’équilibre électrostatique d’un conducteur, le courant est nul car les charges libres n’ont pas de mouvement collectif et la dynamique donne $I=0$.
• Dans un conducteur à l’équilibre, le champ électrique interne est nul partout : $\vec E=\vec 0$.
• Un conducteur creux présente la même charge électrique qu’un conducteur plein, si on compare des configurations de mêmes charges et de même isolement géométrique.
• Dans une cage de Faraday, on a $\vec E=\vec 0$ à l’intérieur du conducteur creux pour toute perturbation extérieure.
• Au voisinage d’une pointe, le sommet est modélisé par des sphères électriquement connectées partageant le même potentiel, ce qui impose $\sigma_1/\sigma_2=R_2/R_1$ et donc un champ plus intense pour une sphère plus petite.
• Si un conducteur est mis à la terre pendant l’influence puis que la terre est supprimée avant de retirer l’influenceur, il reste chargé : c’est le chargement sous influence.

💡 Astuce mémo

Pointe → petites sphères → plus de densité $\sigma$ → plus fort $E$ (même $V$ donc $\sigma\propto 1/R$).

📖 10. Condensateurs et capacité

🔑 Notions clés & Définitions

• Condensateur : Un condensateur est formé de deux conducteurs en influence totale, capables de stocker des charges grâce à une différence de potentiel entre leurs armatures.
• Capacité d’un conducteur : La capacité d’un conducteur isolé mesure le rapport entre sa charge totale et son potentiel, et dépend uniquement de sa géométrie.
• Matrice d’influence : La matrice d’influence décrit comment la charge d’un conducteur varie quand on impose des potentiels à plusieurs conducteurs, par superposition géométrique.

📝 Points essentiels

• La capacité du conducteur isolé est définie par $C=\dfrac{Q}{V}$, avec un potentiel constant sur tout le conducteur.
• Pour deux armatures d’un condensateur, la charge stockée sur une armature est proportionnelle à la différence de potentiel : $Q_1=C\,(V_1-V_2)$ et $Q_2=-C\,(V_1-V_2)$.
• Dans la formulation par matrice d’influence, en prenant la référence de potentiel avec $V_2=0$, on obtient la relation $C_{11}=-C_{12}$.
• L’énergie électrostatique stockée par un condensateur vaut $E=\dfrac{1}{2}C\,(V_1-V_2)^2$ (équivalent à $E=\dfrac{1}{2}Q(V_1-V_2)$).
• Pour un condensateur, relier les armatures par un fil permet de décharger, et l’énergie dissipée correspond à la quantité d’énergie électrostatique stockée.

💡 Astuce mémo

Capacité = « combien de charge pour combien de tension » : $C=Q/\Delta V$, et énergie $E=\tfrac12 C(\Delta V)^2$.

📊 Tableaux de synthèse

Vecteur vs pseudo-vecteur dans un plan de symétrie

Type	Transformation	Conséquence géométrique
Vecteur	Se transforme en son homologue symétrique	Il est contenu dans le plan de symétrie (composante normale nulle).
Pseudo-vecteur	Se transforme en son homologue antisymétrique	Il est perpendiculaire au plan de symétrie.

⚠️ Pièges & confusions fréquents

1. Confondre intégrale de ligne de scalaire (le long d’une courbe) et intégrale de surface/volume (sur une surface ou dans un volume).
2. Croire que ∫_A^B ∇f·dl dépend du chemin : c’est conservative, donc seulement f(B)−f(A).
3. Mélanger gradient et divergence : ∇f est un champ vectoriel, ∇·a⃗ est un scalaire.
4. Inverser le rôle de E et B en symétrie : B est un pseudo-vecteur (ses signes/champs suivent les règles de pseudo-vecteur).
5. Prendre la continuité de E à l’interface sans nuances : la composante normale et la composante tangentielle ont des continuités/discontinuités spécifiques (et V reste continu).
6. Oublier que le flux via un pseudo-vecteur dS dépend de l’orientation (vers l’extérieur pour une surface fermée, dépendant du contour pour une surface ouverte).
7. Penser que la capacité C dépend de la charge : elle ne dépend que de la géométrie du conducteur (C=Q/V).

✅ Checklist Examen

1. Savoir définir coordonnées cartésiennes, cylindriques et sphériques, et leurs intervalles usuels (r, θ, z, φ) tels qu’indiqués.
2. Savoir écrire les éléments de volume et de surface dans chaque système (dV et d(S) selon x,y,z ou r,θ,z ou r,θ,φ).
3. Savoir définir un champ scalaire f(M) et les “surfaces de niveau” f(x,y,z)=C.
4. Savoir utiliser df et la relation ∫ df = f(valeur finale)−f(valeur initiale) en 1D et en 3D (df=(∂f/∂x)dx+...).
5. Savoir écrire l’intégrale de ligne d’un champ scalaire (le long d’une courbe) et généraliser en intégrale de surface (double) et de volume (triple).
6. Savoir définir un champ vectoriel a⃗(M) et distinguer circulation (∫ a⃗·dC) et flux (∫ a⃗·dS⃗).
7. Savoir donner ∇ en cartésien et appliquer ∇ à un scalaire (gradient) puis à un champ vectoriel (divergence).
8. Savoir caractériser la circulation d’un gradient : ∫ ∇f·dl = f(B)−f(A), et expliquer qu’elle est conservative (indépendante du chemin).
9. Savoir interpréter divergence et flux via la surface fermée (théorème de Green-Ostrogradski) et la condition div a⃗=0.
10. Savoir utiliser le rotationnel : rappeler qu’un champ avec rot=0 correspond à un gradient (circulation conservative), et que div(rot)=0.
11. Savoir sélectionner le repère par invariance (translation selon z ou x,y ou les trois axes ; rotation autour d’un axe) et appliquer les règles de symétrie pour vecteurs/pseudo-vecteurs.
12. Savoir modéliser charges ponctuelles et distributions (dq=ρ dV, dq=σ dS, dq=λ dl), puis appliquer Coulomb, superposition, et identifier E (charges fixes) vs B (courants).
13. Savoir écrire E d’une charge ponctuelle, le flux de Gauss sur une surface fermée, et la loi de Lorentz q(E+v∧B).
14. Savoir utiliser Biot–Savart et Ampère (∮ B⃗·dl = μ0 I_encl) pour B créé par un courant stationnaire.