Quiz: Introduction aux concepts fondamentaux en probabilités — 20 domande

1. Que désigne le complémentaire d’un ensemble A dans un ensemble E ?

A. L’ensemble de tous les sous-ensembles de A

B. L’ensemble des éléments communs à A et à E

C. L’ensemble des éléments de E qui n’appartiennent pas à A

D. L’ensemble des éléments de A qui n’appartiennent pas à E

Answer: (C)

Spiegazione

Le complémentaire de A dans E est formé exactement des éléments de E qui ne sont pas dans A. L’ensemble des sous-ensembles de A correspond plutôt à l’ensemble des parties.

2. Que contient la différence symétrique AΔB ?

A. Les éléments appartenant simultanément à A et à B

B. Les éléments appartenant à A ou à B, mais pas aux deux

C. Les éléments de A qui sont aussi dans B

D. Les éléments n’appartenant ni à A ni à B

Answer: (B)

Spiegazione

La différence symétrique regroupe les éléments qui appartiennent à exactement un des deux ensembles. Ce n’est donc pas une intersection, ni le complémentaire de l’union.

3. Quelle propriété caractérise une tribu sur un ensemble Ω ?

A. Elle est stable uniquement par intersections finies

B. Elle contient seulement les ouverts de Ω

C. Elle contient tous les sous-ensembles de Ω

D. Elle contient Ω et est stable par complémentaire et par réunions dénombrables

Answer: (D)

Spiegazione

Une tribu doit contenir Ω, être stable par complémentaire et par réunions dénombrables. La stabilité par tous les sous-ensembles n’est vraie que pour la tribu discrète P(Ω).

4. Qu’est-ce que la tribu borélienne d’un espace topologique ou métrique Ω ?

A. La famille de tous les fermés de Ω

B. La tribu des parties de Ω

C. La plus petite tribu contenant tous les ouverts de Ω

D. La plus petite famille stable par intersections finies

Answer: (C)

Spiegazione

La tribu borélienne est définie comme la plus petite tribu contenant tous les ouverts, donc elle est engendrée par les ouverts. Les fermés l’engendrent aussi, mais ils ne constituent pas la définition.

5. Quand une application f entre deux espaces mesurables est-elle mesurable ?

A. Quand l’image réciproque de tout ensemble mesurable du but est mesurable au départ

B. Quand elle est continue

C. Quand l’image directe de tout ensemble mesurable du départ est mesurable dans le but

D. Quand elle est injective

Answer: (A)

Spiegazione

La mesurabilité se définit par la stabilité des images réciproques des ensembles mesurables du but. L’image directe n’est pas le bon critère général.

6. Quelle propriété vérifie une mesure positive μ sur une famille d’ensembles mesurables ?

A. μ(A)=1 dès que A est non vide

B. μ(∅)=0 et μ est σ-additive sur les unions dénombrables disjointes

C. μ(A) prend toujours des valeurs dans [0,1]

D. μ(A∪B)=μ(A)+μ(B) pour tous A et B

Answer: (B)

Spiegazione

Une mesure positive prend des valeurs dans [0,+∞], s’annule sur l’ensemble vide et est σ-additive sur les familles disjointes. La borne [0,1] correspond à une probabilité, pas à une mesure positive quelconque.

7. Que vaut la probabilité d’une union dénombrable d’événements deux à deux disjoints ?

A. Le produit de leurs probabilités

B. La somme des probabilités de ces événements

C. La probabilité maximale parmi elles

D. La différence entre la première et la dernière probabilité

Answer: (B)

Spiegazione

La σ-additivité impose que la probabilité d’une union dénombrable d’événements disjoints soit la somme des probabilités. Le produit intervient dans d’autres contextes, notamment l’indépendance.

8. Quelle relation lie le saut de la fonction de répartition F en a et la masse en a ?

A. P(X=a)=1-F(a)

B. P(X=a)=F(a)+F(a−)

C. P(X=a)=F(a)-F(a−)

D. P(X=a)=F(a−)-F(a)

Answer: (C)

Spiegazione

La masse ponctuelle en a est exactement le saut de la fonction de répartition à ce point, soit F(a)-F(a−). Cela traduit la différence entre la valeur à droite et la limite à gauche.

9. Si X et Y sont indépendantes, que vaut Cov(X,Y) ?

A. 0

B. 1

C. E(X)E(Y)

D. Var(X)+Var(Y)

Answer: (A)

Spiegazione

L’indépendance implique la nullité de la covariance, mais l’inverse est faux en général. La covariance mesure une dépendance linéaire, pas l’indépendance complète.

10. Quelle égalité caractérise l’indépendance de deux variables aléatoires via l’espérance ?

A. E(f(X)+g(Y))=E(f(X))E(g(Y))

B. E(f(X)g(Y))=E(f(X))E(g(Y)) pour des fonctions intégrables appropriées

C. E(f(X))=E(g(Y)) pour toutes fonctions f et g

D. E(f(X)g(Y))=E(f(X)+g(Y))

Answer: (B)

Spiegazione

Sous indépendance, l’espérance d’un produit de fonctions séparées se factorise. C’est un critère fondamental, à condition que les fonctions soient intégrables.

11. Quelle propriété caractérise l’espace Lp des variables aléatoires ?

A. Les variables dont E(|X|^p) est finie

B. Les variables dont l’espérance est nulle

C. Les variables dont la variance est égale à 1

D. Les variables bornées presque sûrement

Answer: (A)

Spiegazione

Un espace Lp regroupe les variables aléatoires dont le moment d’ordre p, c’est-à-dire E(|X|^p), est fini. Ce n’est pas une condition de centrage ni de variance imposée.

12. Si X appartient à Lr avec 1≤p<r≤∞, quelle relation est vraie ?

A. X appartient à Lp seulement si p=1

B. X appartient aussi à Lp et ||X||p≤||X||r

C. X n’appartient pas forcément à Lp

D. X appartient aussi à Lp et ||X||r≤||X||p

Answer: (B)

Spiegazione

Quand r est plus grand que p, l’intégrabilité d’ordre r implique celle d’ordre p, avec l’inégalité ||X||p≤||X||r. C’est une propriété fondamentale de l’inclusion entre espaces Lp.

13. Quelle est la fonction caractéristique d’un vecteur aléatoire X dans R^d ?

A. t ↦ E(⟨t,X⟩)

B. t ↦ Var(⟨t,X⟩)

C. t ↦ E(e^{i⟨t,X⟩})

D. t ↦ P(⟨t,X⟩≤1)

Answer: (C)

Spiegazione

La fonction caractéristique est définie par ΦX(t)=E(e^{i⟨t,X⟩}). Elle dépend uniquement de la loi de X et est toujours bornée par 1 en module.

14. Quelle est la fonction caractéristique d’un vecteur gaussien X∼N_d(μ,C) ?

A. exp(⟨t,μ⟩+1/2 t^T C t)

B. exp(i⟨t,Cμ⟩−t^T μ t)

C. 1/(1+t^T C t)

D. exp(i⟨t,μ⟩−1/2 t^T C t)

Answer: (D)

Spiegazione

Pour un vecteur gaussien, la fonction caractéristique a une forme exponentielle quadratique : exp(i⟨t,μ⟩−1/2 t^T C t). C’est la signature analytique de la loi normale multidimensionnelle.

15. Quelle implication entre modes de convergence est toujours vraie pour p≥1 ?

A. La convergence en loi implique la convergence presque sûre

B. La convergence presque sûre implique la convergence dans Lp

C. La convergence en probabilité implique la convergence dans Lp

D. La convergence dans Lp implique la convergence en probabilité

Answer: (D)

Spiegazione

La convergence dans Lp entraîne la convergence en probabilité. En revanche, la réciproque est fausse en général, et la convergence en loi est plus faible encore.

16. Que permet d’affirmer le critère suivant : pour tout ε>0, P(limsup{|Xn−X|>ε})=0 ?

A. Xn converge presque sûrement vers X

B. Xn est indépendante de X

C. Xn converge dans Lp vers X

D. Xn converge en loi vers X

Answer: (A)

Spiegazione

Ce critère est équivalent à la convergence presque sûre. Il exprime que, pour chaque ε>0, l’événement « s’écarter de X de plus de ε infiniment souvent » a probabilité nulle.

17. Qu’est-ce que l’espérance conditionnelle E(X/G) ?

A. La variable G-mesurable qui vérifie l’égalité des intégrales sur chaque ensemble de G

B. La valeur de X sur l’ensemble où G est réalisé

C. La moyenne de X sur tout l’espace Ω

D. La probabilité que X soit mesurable par rapport à G

Answer: (A)

Spiegazione

L’espérance conditionnelle est une variable G-mesurable telle que, pour tout ensemble G de la tribu, l’intégrale de E(X/G) sur G coïncide avec celle de X. C’est la définition centrale de cette notion.

18. Si X est indépendante de la tribu G, quelle est E(X/G) ?

A. E(X/G)=0 presque sûrement

B. E(X/G)=X presque sûrement

C. E(X/G)=E(X) presque sûrement

D. E(X/G)=P(X∈G)

Answer: (C)

Spiegazione

Si X est indépendante de G, alors l’information apportée par G ne modifie pas l’espérance : E(X/G)=E(X) p.s. C’est une propriété de base du conditionnement.

19. Quelle méthode permet de simuler une variable de fonction de répartition F à partir d’une uniforme U[0,1] ?

A. Prendre E(U)

B. Prendre 1−U

C. Prendre F^{-1}(U)

D. Prendre F(U)

Answer: (C)

Spiegazione

La méthode d’inversion consiste à transformer une variable uniforme U par la pseudo-inverse F^{-1}(U). On obtient ainsi une variable de fonction de répartition F.

20. Quel est le principe de la méthode d’acceptation-rejet ?

A. Simuler directement la loi cible sans proposition

B. Remplacer la fonction de répartition par son inverse

C. Proposer selon g puis accepter avec une probabilité liée à f/(Mg)

D. Additionner deux variables uniformes indépendantes

Answer: (C)

Spiegazione

On génère d’abord une proposition selon une densité instrumentale g, puis on l’accepte avec une probabilité proportionnelle à f/(Mg). La loi obtenue a alors pour densité cible f.