Flashcard: Introduction aux Espaces Vectoriels et Applications Linéaires — 24 carte

Espace vectoriel — définition ?

Ensemble stable par addition et scalaire, contenant 0.

Sous-espace — propriétés ?

Contient 0, fermé par addition et multiplication par scalaire.

Exemple sous-espace — {(x,y,z) | x+y+z=0} ?

Sous-espace de R^3 défini par une équation linéaire.

Dimension — définition ?

Nombre d’éléments dans une base d’un espace.

Base — rôle ?

Ensemble libre qui génère tout l’espace.

Application linéaire — propriété ?

Respecte addition et multiplication par scalaire.

Théorème du rang — formule ?

dim(E) = dim(Ker(f)) + dim(Im(f)).

Matrice — lien avec rang ?

Rang de la matrice = dimension de l’image.

Produit scalaire — rôle ?

Définit orthogonalité, norme, angles.

Orthogonalité — condition ?

(u|v)=0.

Sous-espace orthogonal — définition ?

F^⊥ = vecteurs orthogonaux à F.

Projection orthogonale — formule ?

proj_F(u) = Σ (u|e_i) e_i, base orthonormée.

Complément orthogonal — F^⊥ ?

Ensemble des vecteurs orthogonaux à F.

Valeur propre — condition ?

(A - λI)v=0 pour v ≠ 0.

Vecteur propre — définition ?

Vecteur non nul v tel que Av=λv.

Diagonalisation — condition ?

Existence d’une base de vecteurs propres.

Produit scalaire — propriétés ?

Bilinear, symétrique, défini positive.

Orthogonalité — vecteurs ?

Produit scalaire nul.

F^⊥ — propriété ?

Sous-espace de E, composé de vecteurs orthogonaux à F.

Projection — opérateur ?

Linéaire, idempotent, projette sur F.

Complément orthogonal — F^⊥ ?

Ensemble de vecteurs orthogonaux à F.

Vecteurs propres — relation ?

Associe λ et v tel que (A - λI)v=0.

Diagonalisation — avantage ?

Simplifie calculs de puissances et exponentielles.

Dimension — relation ?

Taille d’une base, nombre d’éléments libres.