Scheda di revisione: Introduction aux lois de Bernoulli et binomiale

📋 Plan du Cours

1. Succession d’épreuves indépendantes et produit cartésien
2. Épreuve de Bernoulli et variable de Bernoulli
3. Schéma de Bernoulli : répétition identique et indépendante
4. Espérance, variance et écart-type de la loi binomiale
5. Échantillonnage à partir d’une loi binomiale
6. Méthodes de calcul avec la calculatrice

📖 1. Succession d’épreuves indépendantes et produit cartésien

🔑 Notions clés & Définitions

• Produit cartésien : Le produit cartésien $\Omega_1\times\cdots\times\Omega_n$ décrit l’ensemble des issues possibles d’une succession d’épreuves en combinant les issues de chaque épreuve.
• Issue en n-uplet : Une issue d’une succession de $n$ épreuves est un n-uplet $(i_1,i_2,\dots,i_n)$ où $i_p$ est une issue de l’épreuve $E_p$.
• Arbre de probabilités : Un arbre de probabilités représente une succession d’épreuves, chaque chemin correspondant à une issue complète (un n-uplet).
• Épreuve de Bernoulli : Une épreuve de Bernoulli est une expérience aléatoire à deux issues, succès $S$ de probabilité $p$ et échec de probabilité $q=1-p$.
• Schéma de Bernoulli : Un schéma de Bernoulli est la répétition de $n$ épreuves de Bernoulli identiques et indépendantes.

📝 Points essentiels

• Si les épreuves $E_1,\dots,E_n$ sont indépendantes, l’univers des issues est $\Omega_1\times\cdots\times\Omega_n$ et une issue est un n-uplet $(i_1,\dots,i_n)$.
• La probabilité d’une issue $(i_1,\dots,i_n)$ vaut le produit des probabilités des issues individuelles correspondantes.
• Un chemin dans l’arbre correspond à une issue complète de la succession d’épreuves.
• Dans une épreuve de Bernoulli, les deux issues sont généralement appelées succès $S$ et échec, avec $P(S)=p$ et $P(\text{échec})=q=1-p$.
• Une variable aléatoire de Bernoulli $X$ prend seulement les valeurs $\{0,1\}$, avec $X=1$ pour le succès et $X=0$ pour l’échec.
• Un schéma de Bernoulli impose que les $n$ épreuves soient à la fois identiques et indépendantes, sinon le modèle ne s’applique pas.

💡 Astuce mémo

Produit cartésien = “toutes les combinaisons”, arbre = “un chemin = une issue”, probabilité = “produit des branches”.

📖 2. Épreuve de Bernoulli et variable de Bernoulli

🔑 Notions clés & Définitions

• Épreuve de Bernoulli : Une épreuve de Bernoulli est une expérience aléatoire qui ne possède que deux issues possibles, avec un succès défini selon le contexte.
• Succession d’épreuves de Bernoulli : Une succession de n épreuves de Bernoulli est la répétition de n essais identiques et indépendants, chacun ayant la même probabilité de succès.
• Schéma de Bernoulli : Un schéma de Bernoulli décrit n répétitions d’épreuves de Bernoulli identiques et indépendantes, utilisées pour modéliser un nombre de succès.
• Variable de Bernoulli : Une variable de Bernoulli modélise le résultat d’une épreuve de Bernoulli par une valeur liée au succès (et à son complément).

📝 Points essentiels

• Une épreuve de Bernoulli se reconnaît au fait qu’il y a exactement deux issues possibles.
• Le succès n’est pas universel : il dépend du contexte (ex. « la carte est un pique »).
• Si l’expérience a plus de deux issues (ex. couleur de carte), ce n’est pas une épreuve de Bernoulli.
• Pour une carte de 52, l’événement « la carte est un pique » a pour probabilité $p=\frac{13}{52}=0{,}25$.
• Dans un schéma de Bernoulli, les conditions « identiques » et « indépendantes » doivent être vérifiées à chaque situation.
• Une succession de n épreuves de Bernoulli correspond à $n$ répétitions d’essais avec la même probabilité de succès et sans influence entre essais.

💡 Astuce mémo

Deux issues = Bernoulli : succès choisi par le contexte, puis on répète n fois identique et indépendant.

📖 3. Schéma de Bernoulli : répétition identique et indépendante

🔑 Notions clés & Définitions

• Schéma de Bernoulli : Un schéma de Bernoulli regroupe n épreuves identiques et indépendantes où chaque épreuve a un succès de probabilité p.
• Épreuve de Bernoulli : Une épreuve de Bernoulli est une expérience à deux issues, avec un événement appelé succès et une probabilité p de succès.
• Succès : Le succès est l’issue choisie à chaque épreuve, dont la probabilité est notée p.
• Indépendance : L’indépendance signifie que le résultat d’une épreuve ne modifie pas la probabilité du succès aux épreuves suivantes.

📝 Points essentiels

• Un schéma de Bernoulli correspond à une répétition d’épreuves à deux issues, avec une probabilité p constante du succès à chaque répétition.
• Pour une urne avec remise, les tirages sont identiques car la composition de l’urne ne change pas entre deux tirages.
• Avec remise, les tirages sont indépendants car le résultat d’un tirage ne change pas les probabilités des tirages suivants.
• Dans l’exemple « boule bleue », chaque tirage est une épreuve de Bernoulli de succès « la boule est bleue » avec p = 2/3.
• Dans l’exemple « carte pique », l’événement « la carte est un pique » est un succès avec p = 1/4, mais ce n’est pas un schéma de Bernoulli si on ne répète pas l’expérience de façon identique.
• La loi binomiale s’applique quand on compte le nombre de succès sur n épreuves de Bernoulli identiques et indépendantes.

💡 Astuce mémo

Remise = même urne + même p ; donc identique et indépendant.

📖 4. Espérance, variance et écart-type de la loi binomiale

🔑 Notions clés & Définitions

• Loi binomiale : Une loi binomiale modélise le nombre de succès obtenus lors de $n$ épreuves de Bernoulli identiques et indépendantes, avec probabilité de succès $p$.
• Espérance de X : L’espérance $E(X)$ est la valeur moyenne théorique du nombre de succès $X$.
• Variance de X : La variance $V(X)$ mesure la dispersion de $X$ autour de sa moyenne.
• Écart-type de X : L’écart-type (X) est la racine carrée de la variance et exprime la dispersion en unités de $X$.

📝 Points essentiels

• Si $X\sim\mathcal{B}(n,p)$, alors $E(X)=np$.
• Si $X\sim\mathcal{B}(n,p)$, alors $V(X)=np(1-p)$.
• Si $X\sim\mathcal{B}(n,p)$, alors $\sigma(X)=\sqrt{np(1-p)}$.
• La variance $np(1-p)$ est maximale quand $p$ est proche de $0{,}5$ (car $1-p$ compense $p$).
• L’écart-type est exprimé dans la même unité que $X$ car il est la racine de la variance.

💡 Astuce mémo

Moyenne = $np$ ; dispersion = $np(1-p)$ ; écart-type = racine de la dispersion.

📖 5. Échantillonnage à partir d’une loi binomiale

🔑 Notions clés & Définitions

• Loi binomiale : La loi binomiale modélise le nombre de succès obtenus lors de n essais indépendants à probabilité de succès p constante.
• Variable aléatoire X : La variable aléatoire X compte le nombre de succès observés sur les n essais dans le cadre binomial.
• Espérance E(X) : L’espérance E(X) est la valeur moyenne de X sur un très grand nombre d’expériences répétées.
• Variance V(X) : La variance V(X) mesure la dispersion de X autour de sa moyenne.
• Écart-type σ(X) : L’écart-type σ(X) est la racine carrée de la variance et quantifie l’amplitude typique des fluctuations.

📝 Points essentiels

• Pour X ~ B(n,p), on a E(X)=np.
• Dans l’exercice des entretiens, E(X)=10×0,12=1,2 correspond au nombre moyen d’embauches par groupe de dix.
• Pour X ~ B(n,p), on a V(X)=np(1−p).
• Dans l’exercice, V(X)=10×0,12×0,88=1,056 et σ(X)=√1,056≈1,028.
• Pour calculer P(a≤X≤b) avec des bornes, on peut utiliser des équivalences du type P(0≤X≤b)=P(X≤b).
• Pour obtenir P(a≤X≤b)>0,95, on teste des choix de bornes en s’appuyant sur des probabilités cumulées fournies par la calculatrice, puis on ajuste a et b.

💡 Astuce mémo

Binomiale : moyenne = n×p ; dispersion = n×p×(1−p) ; écart-type = √(variance).

📖 6. Méthodes de calcul avec la calculatrice

🔑 Notions clés & Définitions

• Loi binomiale : La loi binomiale modélise le nombre de succès $X$ obtenus lors de $n$ épreuves indépendantes avec probabilité de succès $p$ à chaque épreuve.
• NumWorks : NumWorks est une calculatrice dont le menu permet de saisir directement une loi binomiale puis d’évaluer des probabilités selon le type d’événement.
• TI-83 : TI-83 est une calculatrice qui propose un menu de distributions pour entrer $n$, $p$ et $x$ et calculer des probabilités binomiales.
• CASIO : CASIO est une calculatrice qui permet de choisir un menu de loi binomiale et de renseigner les paramètres pour obtenir des probabilités binomiales.

📝 Points essentiels

• Sur NumWorks, ouvrir le menu puis saisir la loi binomiale, puis entrer $n$ et $p$ avant de choisir le type de probabilité.
• Pour NumWorks, calculer $P(X=k)$ revient à sélectionner l’option correspondante puis remplacer $k$ par la valeur demandée.
• Pour NumWorks, calculer $P(X\le k)$ revient à sélectionner l’option correspondante puis remplacer $k$ par la valeur demandée.
• Pour NumWorks, calculer $P(X>k)$ revient à sélectionner l’option correspondante puis remplacer $k$ par la valeur demandée.
• Pour NumWorks, calculer $P(a\le X\le b)$ revient à sélectionner l’option correspondante puis remplacer $a$ et $b$ par les valeurs demandées.
• Sur TI-83, aller dans le menu distrib puis choisir l’entrée binomiale pour renseigner $n$, $p$ et $x$ (avec $x=k$ pour $P(X=k)$).

💡 Astuce mémo

NumWorks/TI-83/CASIO : même idée—tu saisis $n$ et $p$, puis tu remplaces $k$ (ou $a,b$) selon le type d’inégalité.

📊 Tableaux de synthèse

Épreuve de Bernoulli vs non-Bernoulli

Critère	Épreuve de Bernoulli	Sinon
Nombre d’issues	Deux issues seulement (succès S et échec S)	Plus de deux issues possibles (ex. couleur de carte)
Succès	Succès défini selon le contexte, probabilité p	Succès non défini car le modèle à deux issues ne s’applique pas

⚠️ Pièges & confusions fréquents

1. Confondre produit cartésien et arbre : le produit cartésien liste les issues (n-uplets) alors que l’arbre sert à visualiser les chemins.
2. Croire que l’indépendance suffit : pour un schéma de Bernoulli, il faut aussi que les épreuves soient identiques (même probabilité p à chaque répétition).
3. Prendre un événement à deux issues comme Bernoulli sans préciser la répétition : « la carte est un pique » est une épreuve de Bernoulli, mais ce n’est pas un schéma si on ne répète pas identiquement.
4. Inverser p et 1−p : dans une épreuve de Bernoulli, l’échec a probabilité q=1−p, et pour X∈{0,1} on a P(X=1)=p.
5. Oublier que X compte le nombre de succès : dans la loi binomiale, X n’est pas une suite de résultats mais un total sur n épreuves.
6. Se tromper de formule : pour Bernoulli, E(X)=p et V(X)=p(1−p), alors que pour binomiale E(X)=np et V(X)=np(1−p).
7. Calculer P(a≤X≤b) comme P(X≤b) sans soustraire P(X≤a−1) (ou l’équivalent avec X>b).

✅ Checklist Examen

1. Écrire l’univers d’une succession de n épreuves indépendantes comme produit cartésien Ω1×…×Ωn et représenter une issue par un n-uplet (i1,…,in).
2. Utiliser la règle : la probabilité d’une issue (i1,…,in) vaut le produit des probabilités des issues individuelles correspondantes.
3. Vérifier qu’une expérience est une épreuve de Bernoulli en contrôlant qu’il y a exactement deux issues, puis préciser le succès S et sa probabilité p.
4. Définir une variable aléatoire de Bernoulli X à valeurs dans {0,1} avec X=1 pour le succès, et écrire P(X=1)=p et P(X=0)=1−p.
5. Donner E(X)=p, V(X)=p(1−p) et σ(X)=√(p(1−p)) pour une variable de Bernoulli.
6. Justifier qu’une expérience répétée est un schéma de Bernoulli en vérifiant les conditions « identiques » et « indépendantes » à chaque répétition.
7. Définir la loi binomiale B(n;p) : X compte le nombre de succès sur n épreuves de Bernoulli identiques et indépendantes.
8. Écrire la formule P(X=k)=C(n,k)p^k(1−p)^(n−k) et interpréter C(n,k) comme le nombre de chemins correspondant à k succès.
9. Calculer E(X)=np, V(X)=np(1−p) et σ(X)=√(np(1−p)) pour X~B(n,p).
10. Pour une question de type P(X≤k), P(X>k) ou P(a≤X≤b), choisir la bonne relation (complément ou différence) et l’appliquer.
11. Savoir utiliser la calculatrice : sur NumWorks entrer la loi binomiale puis sélectionner l’inégalité demandée, et sur TI-83/CASIO renseigner n, p et la borne (k ou a,b) selon le menu.