Quiz: Introduction aux suites numériques — 14 domande

1. Qu’est-ce qu’une génération explicite d’une suite numérique ?

A. Une relation qui relie chaque terme au terme suivant

B. Une somme des termes consécutifs de la suite

C. Une règle qui n’utilise que les termes de départ

D. Une expression directe de u_n en fonction de n

Answer: (D)

Spiegazione

Une génération explicite donne directement u_n sous la forme d’une expression f(n). La relation entre termes consécutifs correspond, elle, à une génération par récurrence.

2. Dans une suite définie explicitement par une formule, comment obtient-on u_10 ?

A. En multipliant le premier terme par 10

B. En remplaçant n par 10 dans l’expression de u_n

C. En calculant d’abord u_0 puis tous les termes intermédiaires

D. En additionnant les dix premiers termes de la suite

Answer: (B)

Spiegazione

Pour une définition explicite, on remplace simplement n par la valeur demandée dans la formule. Il n’est pas nécessaire de reconstruire la suite terme à terme.

3. Quelle relation caractérise une suite arithmétique de raison r ?

A. u_{n+1}=u_n+r

B. u_n=u_0\,r^n

C. u_{n+1}=r\,u_n

D. u_{n+1}=u_n\times r^n

Answer: (A)

Spiegazione

Une suite arithmétique vérifie que l’on ajoute toujours la même quantité r d’un terme au suivant. La relation multiplicative correspond à une suite géométrique.

4. Quelle formule donne le terme général d’une suite arithmétique de premier terme u_0 et de raison r ?

A. u_n=u_0+n r

B. u_n=u_{n-1}+n r

C. u_n=u_0\,r^n

D. u_n=u_0+n+r

Answer: (A)

Spiegazione

Le terme général d’une suite arithmétique s’écrit u_n=u_0+nr. Cette expression traduit l’ajout répété de la raison r à partir du premier terme.

5. Que représente l’écriture S_n=u_0+u_1+\dots+u_{n-1} ?

A. La différence entre le premier et le dernier terme

B. Le produit des n premiers termes de la suite

C. Le terme général d’une suite arithmétique

D. La somme de n termes consécutifs de la suite

Answer: (D)

Spiegazione

Cette écriture regroupe exactement n termes consécutifs de la suite. Elle décrit donc une somme, et non un produit ni un terme général.

6. Quelle est la somme des n premiers entiers naturels ?

A. n(n+1)/2

B. n^2+n

C. (n+1)/2

D. 2n(n+1)

Answer: (A)

Spiegazione

Le cours donne la formule classique 1+2+\dots+n = n(n+1)/2. Les autres expressions ne correspondent pas à cette somme.

7. Quelle relation définit une suite géométrique de raison q non nul ?

A. u_n=u_0+nq

B. u_{n+1}=u_n+q

C. u_{n+1}=u_n-q

D. u_{n+1}=q\,u_n

Answer: (D)

Spiegazione

Dans une suite géométrique, chaque terme s’obtient en multipliant le précédent par q. La relation additive correspond à une suite arithmétique.

8. Quelle est la formule du terme général d’une suite géométrique de premier terme u_0 et de raison q ?

A. u_n=u_0+nq

B. u_n=q\,u_0+n

C. u_n=u_0+q^n

D. u_n=u_0\,q^n

Answer: (D)

Spiegazione

Le terme général d’une suite géométrique est u_n=u_0q^n. Cela reflète la multiplication répétée par q à chaque étape.

9. Si q=1, quelle forme prend la somme géométrique S_n=1+q+q^2+\dots+q^n ?

A. 1-q^{n+1}

B. n+1

C. n

D. (1-q^{n+1})/(1-q)

Answer: (B)

Spiegazione

Quand q=1, tous les termes valent 1, donc la somme contient n+1 termes identiques. La formule fractionnaire ne s’utilise que pour q différent de 1.

10. Quelle formule donne la somme géométrique quand q\neq1 ?

A. S_n=(1-q^{n+1})/(1-q)

B. S_n=n+1

C. S_n=(1+q^{n+1})/(1+q)

D. S_n=q^{n+1}-1

Answer: (A)

Spiegazione

Pour q\neq1, la somme géométrique s’écrit sous forme de fraction avec 1-q^{n+1} au numérateur et 1-q au dénominateur. C’est la formule standard du cours.

11. Quelle condition permet de conclure qu’une suite est croissante en étudiant la différence entre deux termes consécutifs ?

A. La raison q est inférieure à 1

B. La différence u_{n+1}-u_n est positive

C. Le premier terme u_0 est positif

D. La différence u_{n+1}-u_n est nulle

Answer: (B)

Spiegazione

Une suite est croissante lorsque, pour tout n, on a u_{n+1}>u_n, donc u_{n+1}-u_n est positive. La valeur de u_0 ne suffit pas à déterminer le sens de variation.

12. Dans le cas d’une suite géométrique, que signifie une raison q négative ?

A. Les termes deviennent tous égaux

B. La suite alterne les signes de ses termes

C. La suite est nécessairement croissante

D. La suite converge vers 0

Answer: (B)

Spiegazione

Une raison négative fait changer le signe des termes à chaque étape, donc la suite est alternée. Cela ne permet pas à elle seule de conclure à une convergence.

13. Quelle est la condition de convergence d’une suite géométrique, et quelle est alors sa limite ?

A. q est nul, et la limite vaut 1

B. q est différent de 1, et la limite dépend de n

C. q appartient à ]-1,1[, et la limite vaut 0

D. q est supérieur à 1, et la limite vaut u_0

Answer: (C)

Spiegazione

Une suite géométrique converge seulement si q est strictement compris entre -1 et 1, et dans ce cas sa limite est 0. Si q>1 ou q≤-1, elle ne converge pas vers une limite finie.

14. Que peut-on affirmer à propos d’une suite arithmétique lorsqu’on étudie sa limite ?

A. Elle converge toujours vers 0

B. Elle converge si u_0 est nul

C. Elle converge si r est positif

D. Elle ne converge pas

Answer: (D)

Spiegazione

Le cours indique que les suites arithmétiques ne convergent pas. Le signe de la raison r influence la variation, mais pas l’existence d’une limite finie.