Les Relations d’Ordre en Mathématiques

📋 Plan du Cours

1. Relations d’ordre : définition et propriétés
2. Ordre partiel et ordre total
3. Minorants et majorants d’un ensemble
4. Maximum et minimum d’un ensemble
5. Bornes supérieure et inférieure
6. Axiomes et complétude des nombres réels
7. Valeur absolue, intervalles et parties denses

📖 1. Relations d’ordre : définition et propriétés

🔑 Notions clés & Définitions

• Relation d’ordre : Relation binaire sur un ensemble E qui permet de comparer des éléments via une relation notée ≤ en respectant des propriétés précises.
• Ordre partiel : Ensemble E muni de ≤ tel que ≤ soit une relation d’ordre mais que certains éléments restent incomparables.

📝 Points essentiels

• Une relation d’ordre vérifie la réflexivité (a ≤ a), l’antisymétrie (a ≤ b et b ≤ a ⇒ a = b) et la transitivité (a ≤ b et b ≤ c ⇒ a ≤ c).
• (E, ≤) est partiellement ordonné si, pour certains a, b, on n’a ni a ≤ b ni b ≤ a.
• Un ordre total ajoute la connexité : pour tous a, b, on a soit a ≤ b soit b ≤ a.

💡 Astuce mémo

Réflexif = “même élément”, Antisymétrie = “aller-retour ⇒ égal”, Transitif = “enchaînement logique”.

📖 2. Ordre partiel et ordre total

🔑 Notions clés & Définitions