Flashcard: Nombres complexes et transformations — 27 carte

Comment s'écrit un nombre complexe en forme algébrique ?

Sous la forme z = a + ib avec a,b réels et i² = -1.

Quelle est la forme trigonométrique d'un nombre complexe ?

z = ρ(cosθ + i sinθ) avec ρ = |z| et θ = Arg(z).

Comment calcule-t-on le module d'un nombre complexe z = a + ib ?

|z| = ρ = √(a² + b²).

Quelle condition caractérise l'égalité de deux nombres complexes a+ib et a'+ib' ?

Ils sont égaux si et seulement si a = a' et b = b'.

Comment s'expriment les racines n-ièmes d'un nombre complexe non nul Z = R(cosα + i sinα) ?

z_k = ⁿ√R [cos((α + 2kπ)/n) + i sin((α + 2kπ)/n)] pour k de 0 à n-1.

Quelle est l'affixe du vecteur \(\overrightarrow{AB}\) si \(A\) et \(B\) ont pour affixes \(z_A\) et \(z_B\) ?

L'affixe du vecteur \(\overrightarrow{AB}\) est \(z_B - z_A\).

Comment calcule-t-on l'affixe du milieu du segment \([AB]\) ?

L'affixe du milieu est \(\frac{z_A + z_B}{2}\).

Quelle condition caractérise l'alignement des points \(A\), \(B\) et \(C\) en termes d'affixes ?

Ils sont alignés si \(\frac{z_C - z_A}{z_B - z_A}\) est réel.

Quand les droites \(AB\) et \(AC\) sont-elles orthogonales selon les affixes ?

Elles sont orthogonales si \(\frac{z_C - z_A}{z_B - z_A}\) est un imaginaire pur.

Quel ensemble de points vérifie \(|z_M - z_A| = R\) ?

C'est le cercle de centre \(A\) et de rayon \(R\).

Quel ensemble de points vérifie \(|z_M - z_A| = |z_M - z_B|\) ?

C'est la médiatrice du segment \([AB]\).

Quelle condition caractérise la droite \((AB)\) privée de \(B\) en termes d'argument ?

C'est \(\operatorname{Arg}\left(\frac{z_M - z_A}{z_M - z_B}\right) = k\pi\).

Quelle condition caractérise le cercle de diamètre \(AB\) privé de \(B\) en termes d'argument ?

C'est \(\operatorname{Arg}\left(\frac{z_M - z_A}{z_M - z_B}\right) = \frac{\pi}{2} + k\pi\).

Quelle est la formule de Moivre pour \((\cos\theta+i\sin\theta)^n\)?

C'est \(\cos(n\theta)+i\sin(n\theta)\).

Quand un nombre complexe non nul est-il réel selon son argument?

Quand son argument est de la forme \(k\pi\).

Quand un nombre complexe non nul est-il imaginaire pur selon son argument?

Quand son argument est de la forme \(\frac{\pi}{2}+k\pi\).

Comment résoudre l'équation du second degré complexe $a+ib=x+iy$ ?

On identifie les parties réelle et imaginaire pour obtenir un système.

Quelle égalité obtient-on en identifiant les parties réelles de $a+ib=x+iy$ ?

On obtient $a=x$.

Quelle égalité obtient-on en identifiant les parties imaginaires de $a+ib=x+iy$ ?

On obtient $b=y$.

Qu'est-ce qu'une transformation plane ?

Une transformation plane associe à tout point M un unique point image M'.

Quand un point M est-il invariant par une transformation plane ?

Quand son image par la transformation est M lui-même.

Comment la translation de vecteur v transforme-t-elle un point M ?

Elle transforme M en M' tel que MM' = v.

Une translation de vecteur non nul a-t-elle des points invariants ?

Non, elle n'a aucun point invariant.

Quelle est la composition de deux translations de vecteurs u et v ?

C'est la translation de vecteur u + v.

Quel est l'inverse d'une translation de vecteur v ?

La translation de vecteur -v.

Quelle est l'expression complexe d'une homothétie de centre 9 et rapport k ?

z' = kz + (1 - k)9.

Quelle est l'expression complexe d'une rotation de centre 9 et d'angle  ?

z' = e^{i}z + (1 - e^{i})9.