Flashcard: Notions fondamentales sur les polynômes — 24 carte

Polynôme formel — définition ?

Suite finie d’éléments de K, devient nulle après un rang.

Espace K[X] — rôle ?

Ensemble des polynômes à coefficients dans K.

Notation P=∑ akX^k — signification ?

Polynôme avec coefficients a_k, degré n.

Polynôme nul — notation ?

0_{K[X]}, tous coefficients nuls.

Addition dans K[X] — mécanisme ?

Coefficient par coefficient, addition des coefficients.

Degré d’un polynôme — définition ?

Plus grand k avec a_k ≠ 0, sauf pour 0̃.

Convention deg(0) — valeur ?

−∞.

Coefficient dominant — rôle ?

Coefficient du terme de plus haut degré.

Degré d’un produit — règle ?

Sum of degrees of facteurs.

Degré de P+Q — formule ?

≤ max(deg(P),deg(Q)).

Cas deg(P)=deg(Q) — condition deg(P+Q) ?

= deg(P) sauf si cd(P)+cd(Q)=0.

Polynôme associé — signification ?

Diffèrent par une constante inversible.

Division euclidienne — résultat ?

A=BQ+R, avec deg(R)<deg(B).

PGCD — rôle ?

Plus grand diviseur commun, unique à une constante.

Identité de Bézout — expression ?

Existence U,V tels que PU+QV=PGCD(P,Q).

Racine d’un polynôme — définition ?

α tel que P(α)=0.

Facteur (X−α) — lien avec racine ?

α racine ⇔ (X−α) divise P.

Multiplicité d’une racine — définition ?

Max m tel que (X−α)^m divise P.

Racine simple — caractéristique ?

Multiplicité = 1.

Polynôme irréductible — dans C[X] ?

Degré 1 seulement.

Polynôme irréductible — dans R[X] ?

Degré 1 ou 2 avec Δ<0.

Décomposition en irréductibles — principe ?

Produit de irréductibles unitaires, unique à l’ordre et constante.

Polynôme scindé — définition ?

Facteur en produits de polynômes linéaires dans K.

Théorème d’irréductibilité dans C[X] — conclusion ?

Seuls degrés 1, tous polynômes de degré ≥2 sont réductibles.