Scheda di revisione: Principes et Calculs en Énergie Mécanique

📋 Plan du Cours

1. Énergie cinétique et variation avec l’altitude
2. Travail infinitésimal et puissance d’une force
3. Théorème de l’énergie cinétique pour un point matériel
4. Travail d’une force le long d’un chemin
5. Calcul du travail en mouvement rectiligne et circulaire
6. Forces conservatives et énergie potentielle
7. Énergies potentielles du poids et de la gravitation
8. Énergie potentielle élastique et choix de l’origine
9. Oscillateur harmonique issu d’une énergie potentielle
10. Énergie mécanique et conditions d’accessibilité
11. Énergie cinétique d’un système et théorème à deux points

📖 1. Énergie cinétique et variation avec l’altitude

🔑 Notions clés & Définitions

• Énergie cinétique : L’énergie cinétique est une grandeur scalaire positive associée au mouvement d’un point matériel, valant $E_c=\tfrac12 mv^2$ dans un référentiel donné.
• Puissance d’une force : La puissance d’une force mesure le débit de travail de cette force au cours du temps, reliant force et vitesse via une expression différentielle.
• Travail d’une force : Le travail d’une force quantifie l’énergie transférée par cette force au cours d’un déplacement, obtenu par une intégration le long du chemin.
• Variation d’altitude : La variation d’altitude $\Delta z$ est la différence de position verticale entre l’état initial et l’état final, utilisée pour relier pesanteur et variation d’énergie.

📝 Points essentiels

• Pour un objet lancé verticalement dans le champ de pesanteur, l’équation du mouvement donne $m\ddot z=-mg$ et conduit à une relation entre $v$ et $z$.
• On obtient $\tfrac12(v^2-v_0^2)=-g(z-z_0)$, puis en multipliant par $m$ : $\Delta\left(\tfrac12 mv^2\right)=-mg\Delta z$.
• La relation $\Delta E_c=-mg\Delta z$ montre que la hausse d’altitude diminue l’énergie cinétique sous l’action de la pesanteur.
• L’énergie cinétique $E_c$ s’exprime avec la vitesse, donc elle dépend du référentiel choisi pour décrire le mouvement.
• L’énergie cinétique est une grandeur scalaire positive : $E_c\ge 0$, et son unité SI est le joule (J).
• La variation d’énergie cinétique s’interprète comme un bilan de travail : la pesanteur réalise un travail $W=-mg\Delta z$ qui modifie $E_c$.

💡 Astuce mémo

Altitude ↑ ⇒ vitesse ↓ : $\Delta E_c=-mg\Delta z$ (signe négatif pour la pesanteur).

📖 2. Travail infinitésimal et puissance d’une force

🔑 Notions clés & Définitions

• Énergie cinétique : Grandeur scalaire positive associée au mouvement d’un point matériel, valant $E_c=\tfrac12 mv^2$ dans un référentiel donné.
• Puissance d’une force : Grandeur scalaire définie par $P=\vec F\cdot\vec v$, qui mesure le débit d’énergie transmis par la force au point.
• Travail infinitésimal : Quantité élémentaire de travail notée $\delta W$ pour un déplacement infinitésimal $d\vec r$, définie par $\delta W=\vec F\cdot d\vec r$.
• Théorème de l’énergie cinétique : Relation reliant la variation d’énergie cinétique à la puissance ou au travail de la résultante des forces dans un référentiel galiléen.

📝 Points essentiels

• L’énergie cinétique vérifie $E_c\ge 0$ et dépend du référentiel car elle utilise la vitesse $\vec v$.
• La dérivée temporelle de $E_c=\tfrac12 m\,\vec v^{\,2}$ donne $\dfrac{dE_c}{dt}=m\,\vec v\cdot\dot{\vec v}$.
• Dans un référentiel galiléen, avec $m\dot{\vec v}=\vec F$, on obtient $\dfrac{dE_c}{dt}=\vec F\cdot\vec v$.
• La puissance $P$ a pour unité le watt $\mathrm{W}$ et $1\,\mathrm{W}=1\,\mathrm{J/s}$.
• Le signe de $P$ dépend de l’angle entre $\vec F$ et $\vec v$ : $P\ge 0$ si l’angle est dans $[0,\pi/2]$ et $P\le 0$ si dans $[\pi/2,\pi]$.
• Si $\vec F\perp\vec v$, alors $P=0$ : la force ne modifie pas l’énergie cinétique à cet instant (travail nul).

💡 Astuce mémo

Puissance : $P=\vec F\cdot\vec v$ (même idée que “force qui pousse dans la direction du mouvement”).

📖 3. Théorème de l’énergie cinétique pour un point matériel

🔑 Notions clés & Définitions

• Énergie cinétique : Grandeur mécanique associée au mouvement d’un point matériel, dont la variation entre deux positions est liée aux travaux des forces.
• Travail d’une force le long d’un chemin : Somme des travaux infinitésimaux d’une force le long d’une trajectoire reliant deux points, calculée par une intégrale curviligne.
• Trajectoire C : Chemin suivi par le point matériel entre deux points, qui conditionne la valeur du travail d’une force.
• Résultante des forces : Somme vectorielle des forces appliquées au point matériel, dont le travail total gouverne la variation d’énergie cinétique.
• Décomposition d’un chemin : Procédé consistant à scinder une trajectoire en segments successifs et à additionner les travaux sur chaque segment.

📝 Points essentiels

• Dans un référentiel galiléen, la variation d’énergie cinétique entre A et B vaut le travail de la résultante des forces le long de la trajectoire.
• Pour un déplacement découpé en segments infinitésimaux, les variations d’énergie cinétique s’additionnent et les termes intermédiaires s’annulent deux à deux.
• On obtient Ec(B) − Ec(A) = ∑i δW_{Pi→Pi+1} puis, en passant au continu, Ec(B) − Ec(A) = ∫_{A→C B} F⃗ · d⃗r.
• Le travail d’une force F⃗ le long du chemin C entre A et B s’écrit W_{A→C B} = ∫_{A→C B} F⃗ · d⃗r.
• Le travail dépend du chemin : en général, pour deux trajectoires C1 et C2 reliant A à B, W⃗F_{A→C1 B} ≠ W⃗F_{A→C2 B}.
• Si K est un point intermédiaire sur la trajectoire, alors W_{A→C B} = W_{A→C1 K} + W_{K→C2 B} lorsque C = C1 ∪ C2.

💡 Astuce mémo

Énergie cinétique = travail total : découpe le chemin, additionne, et les énergies intermédiaires s’annulent.

📖 4. Travail d’une force le long d’un chemin

🔑 Notions clés & Définitions

• Distance parcourue : La distance parcourue est la longueur $d\ell$ associée à un déplacement infinitésimal entre $t$ et $t+dt$.
• Vecteur unitaire de déplacement : Le vecteur unitaire $\vec u(t)$ indique la direction du déplacement instantané et sert à écrire $d\vec r=d\ell\,\vec u(t)$.
• Travail d’une force : Le travail d’une force sur un trajet est l’intégrale scalaire $\int \vec F\cdot d\vec r$ le long du chemin suivi.
• Force colinéaire au déplacement : Une force de la forme $\vec F(t)=F\,\vec u(t)$ est colinéaire au déplacement, ce qui simplifie le produit scalaire.
• Intégrale le long d’un trajet : Le calcul du travail se fait en intégrant la composante pertinente de la force sur la variable géométrique du mouvement.

📝 Points essentiels

• Pour un déplacement infinitésimal, on écrit $d\vec r=d\ell\,\vec u(t)$ où $d\ell$ est la distance élémentaire et $\vec u(t)$ la direction du mouvement.
• Le travail élémentaire s’obtient par $\delta W=\vec F\cdot d\vec r$ puis le travail total par $W=\int_A^B \vec F\cdot d\vec r$ le long du chemin.
• Si $\vec F=F\,\vec u(t)$ avec $F$ constante, alors $\vec F\cdot d\vec r=F\,d\ell$ et $W=F\,L$ où $L$ est la distance parcourue entre $A$ et $B$.
• Pour une trajectoire non rectiligne, $L\neq \|\overrightarrow{AB}\|$ : le travail dépend de la longueur réellement parcourue.
• Cas ressort (déplacement rectiligne) : avec $\vec F=-k(x-\ell_0)\,\vec u_x$ et $d\vec r=dx\,\vec u_x$, on a $\delta W=-k(x-\ell_0)dx$.
• Pour le ressort, le travail entre $x=\tfrac{3\ell_0}{2}$ et $x=\tfrac{\ell_0}{2}$ vaut $W=\dfrac{k\ell_0^2}{8}$ (résultat de l’intégration donnée).

💡 Astuce mémo

Produit scalaire = direction : si $\vec F$ est colinéaire à $d\vec r$, alors $W$ devient $F\times$ distance ($W=F L$).

📖 5. Calcul du travail en mouvement rectiligne et circulaire

🔑 Notions clés & Définitions

• Différentielle totale : La différentielle totale $df$ décrit la variation infinitésimale d’une fonction $f$ quand on modifie ses variables.
• Intégrale d’une différentielle : L’intégrale d’une différentielle $\int_A^B df$ vaut la variation de la fonction entre $A$ et $B$, sans dépendre du chemin.
• Force conservative : Une force est conservative s’il existe une énergie potentielle $E_p(\vec r)$ telle que $dE_p=-\vec F\cdot d\vec r$.
• Énergie potentielle : L’énergie potentielle $E_p$ est une fonction de l’espace dont la variation relie le travail d’une force conservative.
• Travail d’une force conservative : Le travail d’une force conservative entre $A$ et $B$ s’exprime directement avec la variation de l’énergie potentielle.

📝 Points essentiels

• Pour une fonction à une seule variable $f(x)$, on a $df=\frac{\partial f}{\partial x}dx=f'(x)dx$.
• Pour un chemin $C$ reliant $A$ à $B$, \int_A^C_B df se calcule en découpant $C$ en segments infinitésimaux puis en sommant les variations de $f$.
• L’intégrale d’une différentielle ne dépend pas du trajet : \int_A^C_B df=f(B)-f(A).
• Si $\vec F$ est conservative et associée à $E_p$, alors $W_{A\to B}=\int \vec F\cdot d\vec r=-\int dE_p= -\Delta E_p=-(E_p(B)-E_p(A))$.
• Pour vérifier qu’une force est conservative, on cherche une fonction $E_p$ telle que $dE_p=-\vec F\cdot d\vec r$.
• Le signe de l’énergie potentielle de la pesanteur dépend de l’orientation de l’axe $(Oz)$ : avec $Oz$ vers le haut, $E_p(z)=mgz+\text{cte}$, et vers le bas $E_p(z)=-mgz+\text{cte}$.

💡 Astuce mémo

Différentielle = variation : $\int df=\Delta f$ ; Travail conservative = $W=-\Delta E_p$.

📖 6. Forces conservatives et énergie potentielle

🔑 Notions clés & Définitions

• Forces conservatives : Forces conservatives : forces dont le travail ne dépend que des positions initiale et finale, ce qui permet d’introduire une énergie potentielle associée.
• Énergie potentielle Ep : Énergie potentielle Ep : fonction de l’espace telle que la différentielle vérifie dEp = −⃗F · d⃗r pour la force conservative ⃗F.
• Travail nul des forces ne travaillant pas : Forces ne travaillant pas : forces dont le travail élémentaire est nul car elles sont perpendiculaires au déplacement.
• Constante additive de Ep : Constante additive : Ep est définie à une constante près, car ajouter C ne change pas les variations d’énergie potentielle.
• Additivité des énergies potentielles : Additivité : pour des forces conservatives indépendantes, l’énergie potentielle de la résultante est la somme des énergies potentielles associées.

📝 Points essentiels

• Si un mobile perd de la vitesse après un tour complet, alors le travail des forces de frottement sur le trajet fermé est négatif, donc WA→A < 0.
• Les forces poids, réaction normale et tension d’un fil ne travaillent pas si elles sont perpendiculaires au déplacement, donc δW = 0.
• Si des forces avaient un caractère conservatif, le travail entre deux passages successifs au même point A serait nul car Ep(A) − Ep(A) = 0.
• Pour les forces qui ne travaillent pas, on peut associer une énergie potentielle constante puisque dEp = −δW est toujours vérifiée.
• L’énergie potentielle est définie à une constante additive près : Ep et Ep + C donnent les mêmes variations Ep(B) − Ep(A).
• Le choix de l’origine revient à fixer la position où Ep est pris égal à 0, sans modifier le comportement du système car seules les variations comptent.

💡 Astuce mémo

Conservatif = travail de boucle nul (WA→A = 0) ; non-conservatif (frottement) = WA→A < 0.

📖 7. Énergies potentielles du poids et de la gravitation

🔑 Notions clés & Définitions

• Force conservative : Une force conservative est une force qui dérive d’une énergie potentielle, via une relation différentielle reliant travail et variation d’énergie.
• Énergie potentielle Ep : L’énergie potentielle $E_p$ est une fonction dont la variation détermine le travail des forces conservatives.
• Gradient d’une fonction : Le gradient d’une fonction $f$ est le vecteur qui relie la différentielle $df$ à un déplacement infinitésimal quelconque par produit scalaire.
• Opérateur gradient : L’opérateur gradient, noté $\nabla$, permet d’écrire le gradient d’une fonction scalaire en coordonnées cartésiennes ou polaires.
• Position d’équilibre : Une position d’équilibre est une position telle que, si on lâche le système sans vitesse, il reste immobile.

📝 Points essentiels

• Pour une énergie potentielle $E_p(x)$ ne dépendant que de $x$, la force conservative vérifie $F_x=-\dfrac{dE_p}{dx}$ et $F_y=F_z=0$.
• Pour une énergie potentielle $E_p(r)$ ne dépendant que de $r$, la force conservative vérifie $F_r=-\dfrac{dE_p}{dr}$ et $F_\phi=F_z=0$.
• La relation générale s’écrit $dE_p=-\vec F\cdot d\vec r$, ce qui donne $\vec F=-\nabla E_p$ pour une force conservative.
• En coordonnées cartésiennes, $\nabla f=\dfrac{\partial f}{\partial x}\,\vec u_x+\dfrac{\partial f}{\partial y}\,\vec u_y+\dfrac{\partial f}{\partial z}\,\vec u_z$.
• En coordonnées polaires $(r,\phi)$, $\nabla f=\dfrac{\partial f}{\partial r}\,\vec u_r+\dfrac{1}{r}\dfrac{\partial f}{\partial \phi}\,\vec u_\phi$.
• Équilibre stable : après une petite perturbation, le système tend à revenir ; équilibre instable : après une petite perturbation, il tend à s’en éloigner.

💡 Astuce mémo

Conservative = dérivée : $\vec F=-\nabla E_p$ (le signe « - » fait descendre l’énergie).

📖 8. Énergie potentielle élastique et choix de l’origine

🔑 Notions clés & Définitions

• Énergie potentielle : Grandeur scalaire associée aux forces conservatives, dont les variations déterminent la force via une relation de type travail-énergie.
• Extremum de l’énergie potentielle : Point où la dérivée de l’énergie potentielle par rapport à la coordonnée spatiale s’annule, correspondant à une position d’équilibre.
• Équilibre stable : Équilibre correspondant à un minimum de l’énergie potentielle, où une petite perturbation tend à ramener le système vers la position d’équilibre.
• Équilibre instable : Équilibre correspondant à un maximum de l’énergie potentielle, où une petite perturbation tend à éloigner le système de la position d’équilibre.
• Choix de l’origine curviligne : Choix d’un point O et d’un sens positif pour définir l’abscisse s, variable qui repère la position le long d’une trajectoire.

📝 Points essentiels

• Sur un système à 1 degré de liberté, l’équilibre vérifie $P_\phi=0$ ce qui équivaut à $\dfrac{dE_p}{d\phi}=0$ (extremum de $E_p$).
• Pour $E_p(\phi)=mgR\sin\phi$, on obtient un maximum en $\phi=\pi/2$ et un minimum en $\phi=-\pi/2$.
• La stabilité se déduit du signe de la dérivée seconde : $\dfrac{d^2E_p}{dx^2}(x_e)>0$ donne un équilibre stable et $\dfrac{d^2E_p}{dx^2}(x_e)<0$ un équilibre instable.
• Autour d’un équilibre stable $x_0$, on pose $x(t)=x_0+\varepsilon(t)$ avec $\varepsilon$ petite et on développe $E_p$ au second ordre.
• Si $k=\dfrac{d^2E_p}{dx^2}(x_0)>0$, alors $E_p(x)\approx E_p(x_0)+\dfrac12 k(x-x_0)^2$ et la force vaut approximativement $F\approx -k(x-x_0)$.
• En posant $X(t)=x(t)-x_0$ et $\omega_0^2=k/m$, l’équation devient $\ddot X+\omega_0^2 X=0$ (oscillateur harmonique).

💡 Astuce mémo

Extremum → équilibre : $dE_p/dx=0$ ; stabilité = courbure : $d^2E_p/dx^2$ > 0 stable, < 0 instable ; autour de $x_0$ : $E_p\sim (x-x_0)^2$ donc force $\sim -(x-x_0)$.

📖 9. Oscillateur harmonique issu d’une énergie potentielle

🔑 Notions clés & Définitions

• Énergie potentielle : Énergie potentielle : grandeur associée aux forces conservatives, dont la variation détermine la force via sa dérivée spatiale.
• Position d’équilibre stable : Position d’équilibre stable : point $x_0$ où l’énergie potentielle a une courbure positive, ce qui rend la force de rappel vers $x_0$.
• Raideur équivalente k : Raideur équivalente $k$ : constante définie par la courbure de $E_p(x)$ au voisinage de $x_0$, avec $k=\left.\dfrac{d^2E_p}{dx^2}\right|_{x_0}$.
• Pulsation $\omega_0$ : Pulsation $\omega_0$ : fréquence angulaire de l’oscillateur harmonique obtenue par $\omega_0^2=\dfrac{k}{m}$.

📝 Points essentiels

• Développement limité de $E_p(x)$ au voisinage de $x_0$ : $E_p(x)\approx E_p(x_0)+\dfrac12 k(x-x_0)^2$ avec $k=\left.\dfrac{d^2E_p}{dx^2}\right|_{x_0}>0$.
• Force de rappel issue de l’énergie potentielle : $\vec F\approx -\dfrac{dE_p}{dx}\,\vec u_x=-k(x-x_0)\,\vec u_x$.
• Équation du mouvement sur l’axe $Ox$ : $m\dfrac{d^2x}{dt^2}=-k(x-x_0)$.
• Changement de variable $X(t)=x(t)-x_0$ : l’équation devient $\ddot X+\omega_0^2X=0$ avec $\omega_0^2=\dfrac{k}{m}$.
• Universalité du résultat : pour un mouvement 1D soumis à des forces conservatives (ou qui ne travaillent pas) autour d’un équilibre stable, le comportement est harmonique à faible amplitude.
• Hypothèses minimales utilisées : existence d’une position d’équilibre et absence de forces non conservatives qui travaillent (ou forces qui ne travaillent pas).

💡 Astuce mémo

Courbure positive $\Rightarrow$ rappel : $E_p''(x_0)=k>0$ puis $F\propto-(x-x_0)$ puis $\ddot X+\omega_0^2X=0$.

📖 10. Énergie mécanique et conditions d’accessibilité

🔑 Notions clés & Définitions

• Énergie mécanique : L’énergie mécanique est la somme de l’énergie cinétique et de l’énergie potentielle du système, notée $E_m=E_c+E_p$.
• Énergie cinétique : L’énergie cinétique est l’énergie liée au mouvement du point matériel, qui vaut $E_c=\tfrac12 mv^2$.
• Énergie potentielle : L’énergie potentielle est l’énergie associée aux forces conservatives, fonction de la position $x$ et notée $E_p(x)$.
• Position d’équilibre stable : Une position d’équilibre stable est un minimum de l’énergie potentielle : si le système s’en écarte, la dynamique tend à le ramener vers ce minimum.

📝 Points essentiels

• Pour une position $x$ entre deux abscisses, l’égalité $E_c+E_p=E_m$ relie directement $E_c(x)$ à l’écart entre $E_p(x)$ et la valeur constante $E_m$.
• Graphiquement, la distance entre la courbe $E_p(x)$ et la droite horizontale $E_m$ correspond à l’énergie cinétique à cette abscisse.
• L’énergie cinétique est maximale quand l’énergie potentielle est minimale, donc lorsque $x=\ell_0$ si $E_p$ présente un minimum en $\ell_0$.
• Si la masse part de $x=12{,}5\,\text{cm}$ et se déplace vers la droite, la diminution de l’écart $E_m-E_p(x)$ entraîne une diminution de $E_c$ jusqu’à annulation en $x_2$.
• En $x_2$, la vitesse s’annule : la masse est immobile et soumise à $\vec F=-\,\dfrac{dE_p}{dx}\,\vec u_x$, orientée vers la gauche car $E_p(x)$ croît en $x_2$.
• La masse repart vers la gauche : $E_c$ augmente jusqu’au maximum en $x=\ell_0$, puis diminue et s’annule en $x_1$.

💡 Astuce mémo

Énergie mécanique = réservoir : $E_c$ = “reste” entre $E_m$ et $E_p(x)$ ; max de $E_c$ au creux de $E_p$.

📖 11. Énergie cinétique d’un système et théorème à deux points

🔑 Notions clés & Définitions

• Énergie cinétique : Énergie cinétique : énergie associée au mouvement d’un système, somme des énergies cinétiques de ses points matériels.
• Énergie potentielle extérieure : Énergie potentielle extérieure : partie de l’énergie potentielle due aux interactions du système avec des sources externes (ex. pesanteur).
• Énergie potentielle intérieure : Énergie potentielle intérieure : partie de l’énergie potentielle due aux interactions internes entre les points du système (ex. ressorts).
• Énergie mécanique : Énergie mécanique : somme de l’énergie cinétique et des énergies potentielles extérieure et intérieure du système.
• Collision élastique : Collision élastique : collision où l’énergie cinétique totale du système est conservée.

📝 Points essentiels

• Énergie potentielle de pesanteur d’un système : $E_{p,pes}(S)=\sum_i m_i g z_i = M g z_c$ avec $M z_c=\sum_i m_i z_i$.
• Centre de masse : $\vec r_c=\frac{1}{M}\sum_i m_i\vec r_i$ relie les hauteurs $z_i$ à la hauteur $z_c$.
• Travail du ressort (deux points) : $\delta W=-k(\ell-\ell_0)\,d\ell$ et on définit $E_p(\ell)=\frac{k}{2}(\ell-\ell_0)^2$ tel que $\delta W=-dE_p$.
• Énergie potentielle intérieure (extension) : elle se construit comme la somme des énergies potentielles associées à chaque paire $\{M_i,M_j\}$.
• Énergie mécanique : $E_m=E_c+E_p$ avec $E_p=E^{ext}_p+E^{int}_p$.
• Théorème de l’énergie mécanique (référentiel galiléen) : $\Delta E_m=W^{ext,nc}+W^{int,nc}$, donc les forces conservatives ne changent pas $E_m$ via leur travail.

💡 Astuce mémo

Pesanteur → centre de masse : $E_{p}=Mgz_c$ ; ressort → travail = variation opposée : $\delta W=-dE_p$.

📊 Tableaux de synthèse

Forces : travail et rôle dans les théorèmes

Type de force	Travail	Conséquence énergétique
Motrice	Travail positif	Tend à augmenter la vitesse (via le théorème de l’énergie cinétique)
Résistante	Travail négatif	Tend à diminuer la vitesse (via le théorème de l’énergie cinétique)
Ne travaille pas	Travail nul (δW=0)	Ne modifie pas la norme de la vitesse ; n’intervient pas dans les théorèmes énergétiques
Conservative	Travail dépend seulement des positions A et B	W=−ΔEp ; permet d’introduire Ep
Non conservative (ex. frottements)	Travail non nul sur un trajet fermé	ΔEm = Wnc (énergie mécanique non conservée)

⚠️ Pièges & confusions fréquents

1. Confondre énergie cinétique et vitesse : Ec=1/2 mv^2 dépend du référentiel car v dépend du référentiel.
2. Oublier le signe dans W=−ΔEp pour une force conservative : le travail est l’opposé de la variation d’énergie potentielle.
3. Croire qu’une force est motrice/résistante de façon absolue : le caractère dépend du contexte (ex. poids en ascension vs descente).
4. Penser que le travail d’une force conservative ne dépend pas du chemin : en réalité il dépend seulement de A et B, mais pas du chemin.
5. Se tromper sur les forces qui ne travaillent pas : réaction normale et tension d’un fil ne travaillent pas car elles sont perpendiculaires au déplacement.
6. Confondre “δW” et une variation : δW est une quantité infinitésimale de travail, pas une petite variation d’une grandeur W.
7. Prendre l’énergie potentielle à une constante près comme si elle changeait la physique : seules les variations Ep(B)−Ep(A) comptent.

✅ Checklist Examen

1. Écrire Ec=1/2 mv^2, préciser Ec≥0, l’unité (J) et rappeler que Ec dépend du référentiel via v.
2. Donner P=F·v, interpréter le signe de P selon l’angle (et rappeler P=0 si F ⟂ v).
3. Démontrer/énoncer dEc/dt = F·v dans un référentiel galiléen et relier cette forme à la puissance.
4. Définir le travail infinitésimal δW=F·d r et montrer que si F est colinéaire au déplacement alors δW=F dℓ.
5. Énoncer la forme infinitésimale et la forme intégrale du théorème de l’énergie cinétique : dEc=δW et Ec(B)−Ec(A)=∫_A→C_B F·dr.
6. Savoir calculer un travail le long d’un chemin : W_A→C_B=∫_A→C_B F·dr et rappeler que le travail dépend du chemin en général.
7. Calculer un travail en mouvement rectiligne pour une force constante ou colinéaire au déplacement (W=F·L) et traiter le cas du ressort avec δW=−k(x−ℓ0)dx.
8. Calculer un travail en mouvement circulaire en utilisant d r = R dφ uφ et intégrer δW=−mgℓ sinφ dφ (pendule) ou la forme générale avec Fφ(φ).
9. Définir une force conservative et écrire la relation de travail conservative : W_A→C_B=−ΔEp, avec Ep définie à une constante additive près.
10. Établir Ep pour le poids selon l’orientation de l’axe Oz (Ep=mgz+cte ou Ep=−mgz+cte) et rappeler l’idée “signe dépend de l’axe”.
11. Utiliser l’additivité des énergies potentielles : si F1 et F2 sont conservatives, Ep,total=Ep,1+Ep,2 et (F1+F2)·dr=−d(Ep,1+Ep,2).
12. Caractériser les équilibres à 1 ddl via Ep(x) : dEp/dx=0 pour l’équilibre et d2Ep/dx2>0 stable / <0 instable ; relier ensuite la courbure à l’oscillateur harmonique (k=d2Ep/dx2(x0), ω0^2=k/m).
13. Énoncer l’énergie mécanique Em=Ec+Ep et le théorème : ΔEm=Wnc (ou dEm=δWnc), puis exploiter le diagramme énergétique pour l’accessibilité (Ec≥0 ⇒ Ep(x)≤Em).
14. Pour un système : écrire Ec(S)=Σ 1/2 mi vi^2 et distinguer travail des forces extérieures et intérieures dans dEc=δWext+δWint ; puis définir Ep,pes(S)=Mgzc et Ep,ressort(ℓ)=k/2(ℓ−ℓ0)^2 (énergie potentielle intérieure).