Flashcard: Principes fondamentaux de la convexité — 20 carte

Convexité — définition ?

Inégalité f((1−λ)x+λy) ≤ (1−λ)f(x)+λf(y).

Interprétation graphique convexité

Courbe en dessous de toutes ses cordes.

Inégalité de Jensen — principe

Valeur en moyenne convexes ≤ moyenne des valeurs.

Caractérisation par pente croissante

f est convexe si x↦(f(x)-f(a))/(x−a) est croissante.

Convexité et dérivabilité

f est convexe si f' est croissante (si dérivable).

Fonctions convexes dérivables

Exemples : x², e^x ; caractérisées par f' croissante.

Inégalité des trois pentes

Pente entre deux points croît avec l'abscisse.

Points d'inflexion — définition

Changement de convexité, f'' change de signe.

Convexité stricte — définition

Strictement au-dessus de ses cordes, f' strictement croissante.

Épigraphe — convexité

Partie strictement convexe de R² au-dessus du graphe.

Convexité — définition formelle

f((1−λ)x+λy) ≤ (1−λ)f(x)+λf(y).

Interprétation graphique convexité

Courbe en dessous de ses cordes.

Inégalité de Jensen — formule

f(∑λi xi) ≤ ∑λi f(xi).

Caractérisation par croissance pente

x↦(f(x)-f(a))/(x−a) croissante.

Convexité et dérivées

f convex ⇔ f' croissante ; si deux fois dérivable, f'' ≥ 0.

Inégalité des trois pentes — expression

(f(y)-f(x))/(y−x) ≤ (f(z)-f(x))/(z−x).

Points d'inflexion — changement

Signe de f'' change, convexité inverse.

Convexité stricte — caractéristique

f' strictement croissante, courbe au-dessus de tangentes.

Épigraphe — convexité stricte

Partie strictement convexe, au-dessus du graphe.

Convexité — propriété clé

Courbe en dessous de ses cordes, f' croissante.