Probabilités conditionnelles et indépendance

📋 Plan du Cours

1. Probabilités conditionnelles
2. Famille complète et probabilités totales
3. Arbres pondérés
4. Indépendance d'événements

📖 1. Probabilités conditionnelles

🔑 Notions clés & Définitions

• Probabilité de B sachant A : Probabilité conditionnelle qui mesure la chance de réaliser B lorsque A est déjà réalisée.
• Événement complémentaire : Ensemble des issues où l’événement ne se réalise pas, noté avec une barre au-dessus.

📝 Points essentiels

• Si p(A) ≠ 0, alors pA(B) = p(A∩B) / p(A).
• La probabilité conditionnelle vérifie pA(B) = 1 − pA(B̅).
• On a p(B∩A) = pA(B) × p(A).
• Si p(B) ≠ 0, alors p(A∩B) = pB(A) × p(B).
• Dans l’exemple, p(G∩L) = 1/35 et pG(L) = (1/35) / (20/35) = 1/20.

💡 Astuce mémo

pA(B) = p(A∩B) sur p(A) : on “divise par le fait que A est déjà vrai”.

📖 2. Famille complète et probabilités totales

🔑 Notions clés & Définitions

• Famille complète : Famille d’événements deux à deux disjoints dont la réunion est l’univers Ω.
• Partition de Ω : Cas particulier où les événements sont deux à deux disjoints et couvrent exactement Ω.

📝 Points essentiels

• Si A1,…,An est une famille complète, alors p(B) = Σk p(B∩Ak).
• Avec une famille complète, p(B) = Σk pAk(B) × p(Ak).
• Pour tout A et B, p(B) = p(B∩A) + p(B∩A̅).
• Pour tout A et B, p(B) = pA(B)×p(A) + pA̅(B)×p(A̅).

💡 Astuce mémo

Totaux = “somme des cas” : on découpe l’univers avec une famille complète puis on additionne.