Propriétés et représentations des fonctions mathématiques

📋 Plan du Cours

1. Fonctions mathématiques
2. Domaine et image
3. Fonctions injectives
4. Fonctions surjectives
5. Fonctions bijectives
6. Représentations graphiques
7. Calculs de fonctions

📖 1. Fonctions mathématiques

🔑 Notions clés & Définitions

• Fonction : Relation qui associe à chaque élément d’un ensemble de départ (domaine) un seul élément d’un ensemble d’arrivée (codomaine). Notée $f : D \to E$.

• Domaine : Ensemble des valeurs possibles pour la variable indépendante (souvent $x$). Exemple : $D = \mathbb{R}$.

• Image : Pour un $x$ dans le domaine, l’image est $f(x)$. C’est la valeur de la fonction en ce point.

• Fonction injective : Fonction où chaque image est atteinte par au plus un élément du domaine. Si $f(x_1) = f(x_2)$, alors $x_1 = x_2$.

• Fonction surjective : Fonction où chaque élément du codomaine a au moins un antécédent dans le domaine.

• Fonction bijective : Fonction à la fois injective et surjective. Permet une correspondance biunivoque entre domaine et codomaine.

📝 Points essentiels

• La représentation graphique d’une fonction permet de visualiser la relation entre $x$ et $f(x)$.

• La croissance ou décroissance d’une fonction se détermine via sa dérivée : si $f'(x) > 0$, la fonction est croissante ; si $f'(x) < 0$, elle est décroissante.

• Les fonctions usuelles incluent : linéaire ($f(x) = ax + b$), affine, quadratique ($f(x) = ax^2 + bx + c$), exponentielle, logarithmique, trigonométrique.