Flashcard: Révisions de mathématiques de Première — 88 carte

Qu'est-ce qu'une suite numérique ?

Une liste ordonnée de nombres associant à chaque entier n un réel u_n.

Comment distingue-t-on une suite définie explicitement d'une suite par récurrence ?

La suite explicite exprime u_n en fonction directe de n, la suite par récurrence donne un terme initial et u_{n+1} en fonction de u_n.

Quand une suite est-elle strictement croissante ?

Quand u_{n+1} est strictement supérieur à u_n à partir d’un certain rang.

Qu'est-ce qui caractérise une suite convergente ?

Elle admet une limite finie quand n tend vers +∞.

Quelles sont les étapes d'une démonstration par récurrence ?

Initialisation, hérédité, puis conclusion pour tout n≥n_0.

Quelle condition définit une suite arithmétique ?

La différence u_{n+1}−u_n est constante.

Quelle formule donne u_n pour une suite géométrique ?

u_n = u_0 × q^n.

Comment étudie-t-on le sens de variation d'une suite ?

En étudiant le signe de u_{n+1}−u_n.

Quelle relation vérifie une suite arithmétique entre u_{n+1} et u_n ?

u_{n+1} = u_n + r où r est la raison.

Quelle est la formule du terme général d'une suite arithmétique ?

u_n = u_p + (n-p)r.

Quelle formule donne la somme des termes d'une suite arithmétique ?

9sum_{k=0}^{N} u_k = {N+1}{2}(u_0 + u_N).

Quelle relation vérifie une suite géométrique entre u_{n+1} et u_n ?

u_{n+1} = u_n q of9 q est la raison.

Quelle est la formule du terme ge9ne9ral d'une suite ge9ome9trique ?

u_n = u_p q^{n-p}.

Quelle formule donne la somme des termes d'une suite ge9ome9trique pour q e9gal e0 1 ?

Pour q e9gal e0 1, la somme est (N+1)u_0.

Quand une suite arithme9tique est-elle croissante ?

Quand r > 0.

Vers quoi tend une suite ge9ome9trique si |q| < 1 ?

Elle converge vers 0.

Qu'est-ce qu'un polynôme du second degré ?

Une fonction définie sur ℝ de la forme f(x)=ax²+bx+c avec a≠0.

Quelle est la forme canonique d'un polynôme du second degré ?

f(x)=a(x−α)²+β avec α=−b/(2a) et β=(b²−4ac)/(4a).

Comment se calcule le discriminant d'une équation ax²+bx+c=0 ?

Δ=b²−4ac.

Que signifie Δ<0 pour une équation du second degré ?

Elle n’a aucune solution réelle.

Comment est la parabole si a>0 ?

Elle est décroissante puis croissante et possède un minimum.

Comment se définit la dérivée de f en a ?

Par la limite de (f(a+h)-f(a))/h quand h tend vers 0.

Quelle est l'équation de la tangente à la courbe de f au point A(a,f(a)) ?

y = f'(a)(x - a) + f(a).

Quelle est la dérivée de la fonction x^n ?

nx^{n-1}.

Quelle est la dérivée de la fonction e^x ?

e^x.

Quelle est la dérivée du produit de deux fonctions f et g ?

(fg)' = f'g + fg'.

Quelle est la formule de la dérivée du quotient f/g ?

(f/g)' = (f'g - fg') / g^2.

Que fait-on pour étudier les variations d'une fonction dérivable ?

On calcule sa dérivée, on étudie son signe, puis on déduit les intervalles de croissance et décroissance.

Que signifie f'(x) > 0 sur un intervalle I pour la fonction f ?

f est strictement croissante sur I.

Que définit un point critique pour une fonction ?

Un point où la dérivée s’annule ou n’existe pas.

Que se passe-t-il si la dérivée change de signe de + vers − en a ?

f(a) est un maximum local.

Que signifie un changement de signe de la dérivée de − vers + en a ?

f(a) est un minimum local.

Que signifie l'absence de changement de signe de la dérivée en a ?

Il n’y a pas d’extremum local en a.

Comment comparer deux courbes par leurs fonctions ?

On étudie le signe de la différence de leurs fonctions.

Que signifie que la différence de deux fonctions est nulle en un point ?

Les courbes se coupent en ce point.

Quelle est la condition unique définissant la fonction exponentielle ?

f'(x) = f(x) pour tout réel x et f(0) = 1.

Sur quel ensemble la fonction exponentielle est-elle définie ?

Elle est définie sur ℝ.

Comment varie la fonction exponentielle sur ℝ ?

Elle est strictement croissante.

Quelles sont les limites de la fonction exponentielle aux bornes de ℝ ?

Elle tend vers +∞ en +∞ et vers 0 en −∞.

Quelle est la formule pour e^{a+b} en fonction de e^a et e^b ?

e^{a+b} = e^a × e^b.

Que vaut e^{-a} en fonction de e^a ?

e^{-a} = 1 / e^a.

Quelle équivalence existe entre e^a = e^b et les réels a et b ?

e^a = e^b équivaut à a = b.

Quelle méthode utilise-t-on pour résoudre une équation avec e^x ?

On pose X = e^x avec X > 0, puis on résout en X.

Qu'est-ce que le cercle trigonométrique dans un repère orthonormé ?

Un cercle de centre O et de rayon 1.

Comment mesure-t-on un angle en radians sur le cercle trigonométrique ?

Par la longueur de l’arc intercepté.

Quelles sont les coordonnées du point associé à l’angle θ sur le cercle trigonométrique ?

(cos θ, sin θ).

Quelle identité trigonométrique relie cos²(x) et sin²(x) ?

cos²(x) + sin²(x) = 1.

Quelle est la périodicité des fonctions sin et cos ?

sin(x + 2π) = sin x et cos(x + 2π) = cos x.

Quelle parité ont les fonctions sinus et cosinus ?

Le sinus est impair et le cosinus est pair.

Quelle est la formule du produit scalaire entre deux vecteurs ?

u·v = x_u x_v + y_u y_v = ||u|| ||v|| cos(θ).

Quelle condition caractérise l’orthogonalité de deux vecteurs ?

Leur produit scalaire est nul.

Quelle est la forme canonique d'un trinôme du second degré ?

f(x)=a(x-h)^2+k

Quel est le sommet d'une parabole en forme canonique ?

Le point (h,k)

Quelle est l'axe de symétrie d'une parabole en forme canonique ?

La droite x=h

Que signifie un coefficient a positif pour une parabole ?

Elle est ouverte vers le haut et possède un minimum

Que signifie un coefficient a négatif pour une parabole ?

Elle est ouverte vers le bas et possède un maximum

Quelle est la forme canonique de f_m(x)=x^2-2mx+m^2-1 ?

f_m(x)=(x-m)^2-1

Quel est le sommet de la parabole f_m(x)=(x-m)^2-1 ?

Le point (m,-1)

Quelles sont les racines de f_m(x)=(x-m)^2-1 ?

m-1 et m+1

Comment se définit la probabilité conditionnelle de B sachant A ?

C'est le rapport P(A∩B) sur P(A) lorsque P(A)≠0.

Quelle est la relation fondamentale des probabilités conditionnelles ?

P(A∩B) = P(A) × P_A(B).

Comment s'exprime P(B) avec une partition (A_i) de l'univers ?

P(B) = Σ P(A_i) P_{A_i}(B).

Comment s'exprime P(B) avec A et son complémentaire ?

P(B) = P(A)P_A(B) + P(Ā)P_Ā(B).

Quelle condition caractérise l'indépendance de A et B ?

P(A∩B) = P(A)P(B).

Que signifie P_A(B) si A et B sont indépendants et P(A)≠0 ?

P_A(B) = P(B).

Quelle est la formule de Bayes pour P_B(A) ?

P_B(A) = [P(A) × P_A(B)] / P(B).

Qu'est-ce qu'une variable aléatoire ?

Une fonction associant un réel à chaque issue d'une expérience aléatoire.

Que donne la loi de probabilité d'une variable aléatoire ?

Les valeurs possibles et leurs probabilités dont la somme vaut 1.

Quelle est la formule de l'espérance d'une variable aléatoire discrète ?

E(X)=∑ x_i P(X=x_i).

Quelle propriété linéaire vérifie l'espérance ?

E(aX+b)=aE(X)+b.

Comment se calcule la variance d'une variable aléatoire ?

V(X)=E[(X−E(X))²]=E(X²)−[E(X)]².

Comment se définit l'écart-type d'une variable aléatoire ?

σ(X)=√V(X).

Quelle est la propriété de la variance par translation ?

V(X+b)=V(X).

Comment varie la variance sous multiplication par un scalaire ?

V(aX+b)=a²V(X).

Quelle est la dérivée de la fonction f(x) = -2x² + 4x + 1 ?

La dérivée est f'(x) = -4x + 4.

Quelle est la forme canonique de f(x) = -2x² + 4x + 1 ?

La forme canonique est f(x) = -2(x - 1)² + 3.

Quelle est l'équation de la tangente à la courbe de f au point d'abscisse a ?

L'équation est y = f'(a)(x - a) + f(a).

Quelle est la première étape pour étudier les variations d'une fonction dérivable ?

Déterminer les zéros de sa dérivée.

Que fait-on après avoir trouvé les zéros de la dérivée pour étudier les variations ?

On établit le signe de la dérivée.

Comment déduit-on les intervalles de croissance et décroissance d'une fonction ?

On utilise le signe de la dérivée sur les intervalles.

Quelle est la contrainte pour maximiser l'aire d'un rectangle avec 100 m de clôture ?

La contrainte est 2x + y = 100.

Pour x = 25, quelles sont y et l'aire maximale du rectangle ?

y = 50 et l'aire maximale est 1250 m².

Quelle est la dérivée de la population modélisée par P(t)=50000e^{0,0191t} ?

P'(t)=0,0191P(t).

Quelle est la dérivée de la fonction f(x)=(2x-1)e^x ?

f'(x)=(2x+1)e^x.

En quel point la fonction f(x)=(2x-1)e^x atteint-elle son minimum ?

En x=-
2.

Quelle inégalité relie e^x et 1+x pour tout réel x ?

e^x 2 1+x.

Quelle inégalité relie 9ln(x) et x-1 pour tout x strictement positif ?

9ln(x) 2 x-1.

Pour quelle valeur de x le bénéfice B(x) = -2x² + 20x - 32 est-il maximal ?

Le bénéfice maximal est atteint pour x = 5 centaines d’objets.